电力定价的逆向选择方法

由于r0，1s是凸紧的，我们可以应用Sion的极大极小定理[37]来获得SUPCa0minyPr0，1s“pgγpxq'gγpyqqφptqcγγ'ψpt，yq*”minyPr0,1ssupca0“pgγpxq'gγpyqqφptqcγ'ψpt，yq*”minyPr0,1st'81xay'ψpt，yqu”ψpt，xq，因为ψ是非递减的。最后，很容易看出，当gγ定义为引理中的语句时，我们有supca0minyPr0,1s“pg pxq'gγpyqqφptqcγγ′ψpt，yq*“supca0minyPr0,1stpx'yqc'ψpt，yqu，对应于经典的凸共轭，因此是Fenchel-Moreau定理所期望的结果。定理5.2的证明。我们首先对pè进行优化。对于固定x，首先用ψxppèq定义ψx:Lpr0、T s^r0、1sq'YИR：“zTzx` gγpxqfpxq` gγpxqF pxq'gγpxq'gγpxq'gγpxq'gγpxqBp'Bxpt，xqdx'K^T，zx'γφptqgγpxqBp'Bxpt，xqγfpxqdx'dt ` pF pxq'1qH。（C.2）ψxis明显连续且可区分，而且它也是凹的，因为K在C中是凸的。

此外，对于任何q P Lpr0，T s^r0，1sq，我们有ψxpp媫；qq“zTzx ` gγpxqfpxq ` gγpxqF pxq'gγpxq'gγpxqBqBxpt，xqdxdt'T'xBqBxpt，xqγ^Bp"eBxpt，xq'1'γγγ'γ'γφptqgγpxq'γfpxqBKBcpt，Apt，xqdxdt Bp媫Bxpt，xq˙γfpxqdx.由于ψxis凹，固定xisψxpp媫问题的必要且有效的最优性条件；qqd0，@q P TC ` pxqpp媫q，（C.3）式中，TC`pxqpp媫q表示在由TC`pxqpp媫q定义的点p媫处闭集C`pxq的切锥：“z，Dε2610，@h p r0，εs Dwphq p C`pxq，| p媫hz媫wphq |”phq.（使用局部函数，我们可以看到不等式（C.3）几乎所有地方都必须满足r0、T s^rx、1s的要求，也就是说，对于每个q P TC ` pxqpp媫q和几乎每个pt、xq P r0、T s^rx、1s，我们有BQbxpt、xq"pgγpxqfpxq'gγpxpf pxq'1qqgγpxq'Bp媫Bxpt、xq'1'γγγ^γφptqgγpxq'γfpxqBKBcpt、Apt、xqqd 0.因此，最佳pèp C ` pxq应验证BPèBxpt，xq“°φptqγ”gγpxqfpxq ` gγpxqF pxq'gγpxq''fpxqBKBcpt，Apt，xqq'''γ1'γgγpxqγ，（C.4）带有`”maxta，0u，正部分运算符。根据上述等式，我们必须有Apt，xq^BKBcpt，Apt，xqq'γ“φ1'γptq'x'gγpxqfpxq'gγpxqF gγpxq‰`fγpxq,1'γdx。现在，letgKpcq：“c^BKBcpt，cq˙1'γ，cě0。由于K是严格凸的，并且相对于c是递增的，因此可以直接检查gk也是递增的（onR`），因此我们推导出apt，xq“gp'1qK'φ1'γptq'x'gγpxfqfpxq'gγpxq'fγpxq'1'γdx'''。因此，用（c.4）.因此，我们减少了问题（5.2）的累积“supxPr0,1szT¨φ1'γptq'pxqγ'BKBcpt，Apt，xqq'γ1'γ'K¨T，φ1'γptq'pxq'BKBcpt，Apt，xqq'1'γ''pxq'1qH。作为x的函数，上面的右侧显然是一个连续函数。因此，它在某些（可能）下在紧集r0，1s上达到最大值非唯一）x媫。

我们将滥用符号，并用xèa genericmaximiser表示。如果p媫是u'凸的，因为p也是u'凸的（通过定义），那么p媫必然是p的u'变换，因此p p，这意味着我们实际上有RUP“UP”。对于唯一性结果，定义αpxq：“zT¨φ1'γptq'pxqγ'BKBcpt，Apt，xqqγ1'γ'K¨T，φ1'γptq'pxq'BKBcpt，Apt，xqq'1'γ'pxq'1qH。请注意，α不会在L以外的任何间隔上达到其最大值，因为存在常数（因此Apt，'px¨qtoo）和F在增加。然后，由于超过L，我们有αpxq“zT^1'γγ˙φptq1'γ'pxq'BKBcpt，Apt，xqq'γ1'γdt'fpxqH”'T^1'γγ˙φptq1'γβpxq'BKBcpt，Apt，xqq'γ1'γdt fpxqH。在定理的假设下，α在这两种情况中的每一种都在L上递减，因此α是严格凹的。定理5.4的证明。我们将证明分为两种情况。“情况1：γP p0，1qIn本案例我们有\'pxq“x\\u p2x'1q1'γdx“1'γ2p2'γq^1'p2x'1q'2'γ1'γ'因此，很明显x'Φpxq在r0，s中增加，因此它有助于溶解xpr1{2,1s！BγpT q'pxqnp1'γqn'γ'px'1qH）。Lety：“p2x'1q1'γ，AγpT q：”BγpT q'γ2p2p2p'γ˙np1'γqn'γ。通过Φpyq定义映射Φ：r0，1s'Y~nR：“ΦИy1'γ'1'，我们推导Φpyq“AγpT q'1'y2'γ'np1'γqn'γ'y1'γ'1'H。接下来，我们可以直接检查Φ在r0，1s上是凹的，对于任何yP r0，我们有1sΦpyq“1'γy'γ'H'2nAγpT q2'γn'γy'1'y2'γ'pn'1qn'γ'184；。最后表示任何yP r0，1sχpyq：”H\'2nAγpT q2'γn'γp2x'1q1'γ'1'y2'γ'γpn'1qn'γ。对于任何yP r0，我们都有1sχpyq“2np2'γqpn'γqAγpT q'1'y2'γ'n'γpn'2qn'γpn'1qp2'γqy2'γ'259; 0，因为γP p0，1q。因此，由于我们还有χp0q“H\\2610和limy\\210; 1χpyq”'8，所以有一个唯一的yèP p0，1q（因此有一个唯一的xèP p1{2，1q），使得pyΦè”q“0，Φ的最大值为。

最后，我们可以显式计算任意pt的p媫pt，xq p r0，T s^r0，1s asp媫pt，xq“HT ` Mptq'pp2x'1q'q1'γ'p2x'1q1'γ，其中我们定义了simplicityMptq：“1'γ2γ'2p2'γq1'γ'pn'γ'φnptqkγptq'n'γ'1'p2x'1q2'γ'pn'γ。然后可以直接检查任何cě0映射xTh'Y~nxφptqcγ{γ'p媫pt，xq在r0，1s上是凹的，并且在点x媫pcq处达到最大值：“1ca'2γMptqp1'γqφptq'γ'1'p1'γqφptq2γM ptq'1'γγc1'γ184'cd'2γMptqp1'γqφptq'γ。因此，我们立即推断出对于任何pt，cq P r0，T s^R'ppt，cq“$”“”“”“&”“%φptqcγγ\'Mptq'p2x'1q1'γ'1'HT，如果ca^2γM ptqp1'γqφptq'γ，φptqcγ2γ''''''φptq'1'γc'HT'Mptqp2x'1q1'γ，否则。接下来，我们注意到，对于任何pt，xq P r0，T s'r0，1s，映射cTh'Y~nxφptqcγ{γ'ppt，cq在R′if xa1{2上递减，并且在R′if xě1上是凹的{2，使其在点Cèpt，xq处达到最大值：“^2γM ptqp1'γqφptq'γp2x'1q1'γxPp1{2，1s。p媫总是非递减且是凸的，因此引理C.1是u'凸的，因此我们得出结论，p媫p。可以很容易地表明，以下次优但更简单的塔里夫将在所选试剂、最佳消耗和委托人效用方面给出相同的结果。事实上，由于没有消费者选择Ca'2γMptqp1'γqφptq'γ来代替t'此处的tari off部分使用了更高的函数，这意味着更昂贵的合同不会修改结果。

对于任何pt、cq P r0、T s^R\'，以下tarif也是可接受的PPT，cq“φptqcγ2γ`''φptq'1'γ1'γM ptq'1'γc'HT'Mptqp2x''1q1'γ。”案例2：γP P'8，0q现在，我们实际上有了'pxq'21'γ'xp1'xq1'γdx“21'γ^1'γ2'γ˙p1'xq2'γ1'γ。现在要解决的问题是supxpr0,1s！BγpT q'pxqnp1'γqn'γ'px'1qH）。可以直接检查上述贴图对于xP r0，1s实际上是严格凹的，因此它达到最大atpx'：“"1'HBγpT qn'γnp1'γq'n'γnp1'γq'γ2'γ1'γ729;'γpn'1qnp1'γq'γnnp1'γq'γq'γ'''γ''''''最后，我们可以显式计算任意pT的p'pT、xq p r0、T s'r0、1s asp'pT、xq”HT'xMptq'px'px'q1其中，我们定义了simplicityxMptq：我们直接推断，在这种情况下，我们直接推断，在这种情况下，我们直接推断，在这种情况下，我们直接直接推断，在这种情况下，我们直接推断，在这种情况下，在这种情况下的地图X2211111411111111114111111，在这种情况下的情况下，我们的情况下，我们的地图X221111111114111111111111111111411111111111111411111111111111111111114111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111㨨¨所以PPT，cq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'LemmaC.1的u'凸性，以至于我们得出p p p p的结论。可以很容易地证明由于没有消费者选择ca'''γxMptqφptqp1''γq'γ，因此，ng次优但更简单的塔里效应将在所选试剂、最佳消费量和委托人效用方面产生相同的结果。对于任何pt，cq Pr0，T s^R\'，以下tari fff也是可接受的PPT，cq“'γc^'φptqγ˙γ'1'γxMptq'1'γγγ'HT'xMptqp1'px'q1'γ.D第6D.1节技术成果证明提案6.6。

定义PC'Kppq上的以下函数：“zTK't，zX媫ppq'γφptqgpxqBpBxpt，xq'γfpxqdx'dt，Jppq：”zt<<X媫ppq'gpxgpbxpt，xq'ppt，xq'fpxqdx ffdt。提案6.6规定，如果Y媫pp'q具有正度量，则p'不是一个pTh'YniJPPQ'Kppq在TPC'上的最大值。实际上，在这种情况下，我们可以找到区间rc，dsAYèppèq（请记住，这是一个具有正贝格测度的开放集，后者是正则的），因此zTpèpt，xqdt“Hpxq，对于每个x P rc，ds。接下来，定义”tt P r0，T s：Pèpt，cqaPèpt，dqu。由于H严格递增，我们得到T `具有正勒贝格测度。对于每个T P T，定义rc，ds上的连续递增函数q，满足qpt，cq：“Pèpt，cq，qpt，dq：“p媫pt，dq和qpt，xqap媫pt，xq over pc，dq。考虑对p媫ppt，xq的以下修改：“#qpt，xq，if pt，xq p T\'rc，ds，p媫pt，xq，xq R T\'rc，ds。我们有X媫p^pq”X媫pp媫qzpc，dq，因此还有Kp媫pqaKpp”媫q.此外，Jp^pq“Jpp媫q'T<<zdc^gpxqgpxqBp媫Bxpt，xq'p媫pt，xq'fpxqdx FFDT“Jppèq'dc^gpxqgpxqHpxq'Hpxq'fpxqdxaJppèq，其中我们使用了假设6.4。由于^p在x中也是非递减的，因此我们得出结论，pè不是最优的。命题6.9的证明。注意，在优化问题pPa、bq中，我们可以在不丧失一般性的情况下，限制我们对r0、T s^xèpa、bq上可行图的关注。

换言之，对于固定pa，bq P A，我们定义了闭凸集Fa，bas映射集q P W1。mxpXèpa，bqq，使得对于每个t P r0，t s，x'Y~nqpt，xq是连续且不递减的，Qpxq：“每x P xèpa、bq和Qpanq的sTqpt、xqdtěHpxq”Hpanq、Qpbnq“everyně1的Hpbnq。我们表明，在Banach空间\'W1，mxpXèpa，bqq，| | | | |èm，Xèpa，bq上看到的ψpa，bq对Fa，b是强制的。”情况1：γP p0，1Q首先观察到，如果pqnqnPNAFa，bis，则| qn | Lmpr0，T s^Xèpa，bqq'Y”尼n尼88，那么，因为对于每个n P n，mapxTh'YsTqnpt，xqdt在Xèpa，bq上由H从下方限定，我们有'TzXèpa，bqnpt，xqfpxdxdt'Yn尼8'8.（D.1）接下来，定义：“zXèpa，bqfpxq^γφptqgpxqγdx，B：”zTkptqdt。根据映射ψApxq“Xγm，ψBpxq”xnγm的Jensen不等式，我们得到了（回想一下，m是这样的，γma1和na1）zTK  t，zX媫pa，bq^γφptqgγpxqBqnBxpt，xq˙γfpxqdx,dtěTkptqzX媫pa，bq^γφptqgγpxqnbxpt，xq˙γfpxqdx,ndtěAnp1'γmqztkptqq媫X媫pa，bq^γptqgγpxq˙γˇBqnBxpt，xqˇmfpxqdx,nγmdtěAnp1'γmqBp1'nγmqztzX媫pa，bqptqgγpxqˇγnbxpt，xqˇmfpxdxdt'nγměAnp1'γmqBp1'nγmqIˇBqnBx nγLmpr0，T s^Xèpa，bqq。因此，我们已经证明，用mψpa的共轭表示，bqpqnq，gγgγLmpr0，T s^X媫pa，bqq，BqnBx，Lmpr0，T s^X媫pa，bqq，Anp1，γmqB1，nγmI，BqnBx，nγLmpr0，T s^X媫pa，bqq。这与（D.1）一起清楚地表明，ψpa，bq在Fa，b中确实是强制性的。“情况2：γa0在这种情况下γgγa0。由于bqnbxis是非负的，如果| | | BqnBx | | Lmpr0，T s^Xèpa，bqqè8，我们就得到了zTzXèpa，bqgγpxqgγpxqBqnBxpt，xqfpqdx dtè8。然后，根据（D.1）和K的正性，我们得出结论，ψpa，bq在Fa，b中是强制的。为了得出结论，请注意W1，mxpXèpa，bqq是一个反射Banach空间，因此ψpa，bq的矫顽力意味着它在Fa，b中至少具有一个最大值pè。

因此，任何q P W1。mxp0，1q，x中连续且无下降，与xèpa中的pè一致，bq，使得Qpxq“sTqpt，xqdt满足QpxqaHpxq对于x P r0，1szXèpa，bq是对pPa的解决方案，bq。命题6.13的证明。设Pè为问题pPa，bq的解决方案。对于这样的n，Pè不能严格大于H对于pan，bnq。否则，根据命题6.11，它将是一个凸映射，与Pèpanq“Hpanq，Pèpbnq相矛盾“Hpbnq。然后，存在P媫”H的正测度的pan，bnq的子集，因此我们使用命题6.6得出结论。在证明命题6.14。引理D.1之前，我们陈述了以下引理。设P媫是pPa，bq。definetb“”t P r0，t s的解：Bp媫Bxpt，xq”0，@x P p0，bq*，Ta“”t P r0，t s：Bp媫Bxpt，xq“0，@x P pa，1q*。如果Tahas正Lebesgue测度，则对于每个x P p0，bq，gpxqf pxq\'gpxqf pxqd0。如果Tb具有正Lebesguemeasure，则对于每个x P pa，1q，gpxqfpxq\'gpxqf pxq\'gpxqd0。证明。我们考虑Tahas正Lebesgue测度的情况。假设存在rx，xsA，1s suchthat for every x P rx，xsgpxqfpxq\'gpxqf pxq\'gpxqa0。那么，对于任何q P W1，mxp0，1q满足qpt，xq“0，@pt，xq R Ta^rx，1s，xTh'Y~nqpt，xq在rx，xs，@t P Ta和qpt，xq中增加“qpt，xq，@pt，xq P Ta^rx，1s，映射P媫εq属于C媫pa，bq代表εě0。因此，ψpa，bqpp媫；qqd0，这意味着zTazxxbqbbxpt，xqfpxqgpxq\'gpxqF pxqgpxqd0，因此是矛盾的。命题6.14的证明。让我们证明情况IApa，1q，情况IAp0，bq是相似的。从P媫的凸性来看，对于P媫严格大于H的每个区间，我们推导出cP ra，1q的存在使得每x P pc，1s的PèpxqaHpxq和每x P ra，cs的Pèpxq“Hpxq。引理D.1得出，Tais为空集或对于每t P状态，定理6.10中的最优性条件保持为ut”0。

CallT“r0，T szpN Y Taq和define for every T P Txptq“inf”x P pc，1q:BpèBxpt，xqa0*。我们有Pèpt，¨q在rxptq，1s中严格递增，由（6.6）给出。define nextT`:“tt P T，uTa0u，T'：”tt P T，uTa0u。我们将证明T'和T'的勒贝格测度等于零。考虑任何映射q P W1，W1 mxp0，1q满足#qpt，xq“0，@pt，xq R T'pxptq，1s，x'qpt，xq在rxptq，1s，@T P T'中增加。然后P媫'εq P C'pa，bq对于每个ε'0，soψpp媫；qq'0。由于ψpp媫；qq”T'xptq'bxpt'bxpt，xqutdxdt，我们得出结论，T是一个空集。接下来，取任意'x'P pc 1q，使PèPèxqaHpèxq，并在必要时为每个T P重新定义点xptq，以满足xptqěx。选择 a0，然后定义q:r0，T s^r0，1s'Y~nR byqpt，xq：“1ttPT”，xěxptquBp媫Bxpt，xptqpx'xptqq'p媫pt，xptqq'p媫pt，xqp'pt，xptqq'Bp媫Bxpt，xptqp1'xptqq.由于p媫pt，¨q是凸的，我们得到q是非递增的，p媫pt，¨q'εqpt，¨q对于ε0和ppt是非递减的，1q'qpt，1q'ppt，1q'. 因此，p媫`εq p C ` pa，bq表示ε0 soψpp媫；qqd0。自ψpp媫；qq“zT`zxptq'BqBxpt，xqutdx dt，我们得出结论，集合T`具有等于零的勒贝格测度。命题6.15的证明。我们证明了在命题的条件下，P媫”H在0的一些子集上，如Y rb，1q具有正勒贝格测度，结果遵循命题6.6。假设不是，那么对于几乎每个t P r0，t s，我们有bpèBxpt，xq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'&\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'%φptqγ”gγpxqfpxq ` gγpxqF pxq'fpxqBKBcpt，Apt，a，bqqγ1'γgγpxqγ，x P p0，bq，'φptqγ”gγpxfqfpxqfqf pxq'gγpxq'fpxqBKBcpt，Apt，a，bqqγ1'γgγpxqγ，x P pa，1q。因此BxpaqaHpaq orBPèBxpbqaHpbq，这与^xèppèq“r0，bq Y pa，1s相矛盾。定理6.18的证明。

首先，我们回顾，我们在选择pis在rb媫，a媫s上等于的映射p时有一定的自由度，因为它在p媫最大化的标准中不起任何作用。当然，如果我们想得出结论，这个映射最终必须是u'凸的。因此，如果我们可以选择p媫在x中是C凸的，我们可以应用引理C.1并得出p媫确实是u凸的结论。当且仅当p媫在a媫处的导数大于或等于p媫在b媫处的导数时，才可以进行此操作，该导数可以立即显示为等于γ，a媫b媫的值。此外，如果这不满足，则p媫不是凸的，我们可以应用引理C.1的第二部分来得出p媫不是u媫凸的结论。现在，我们将证明分为两步。”病例（i）：γP＜0，1q。考虑到上面的讨论，在这种情况下，我们唯一要做的就是计算p。表示为simplicityLγptq：“γNγp1'γqφptq'γ。我们知道映射x''xφptqcγ{γ'p'pt，xq在r0，1s上是凹的。注意，由于aa1{2，我们有1{2ěa''1{2'b'。