基于随机回收率的信用违约掉期溢价建模

金融公司和研究人员通常认为回收率是恒定的，但实际上实际回收率随时间而变化。这一假设很重要，因为当回收率不恒定时，会引入额外的风险。我们通过考虑随机回收率来建立信用风险模型，以便对CDS溢价段进行合理定价。在研究CDSP SRR模型之前，我们对CD SP-CRR模型进行了描述。参考实体的固定回收率是参考实体未偿名义债务的一部分，在违约事件发生后可收回。常数参数由介于0和1之间的R表示。在CD S合同中，可以根据合同金额确定此参数。金额的损失赔偿金为1- R、 通过表示信贷事件的随机时间τ和掉期分支的随机现金流，提供了CDS价格【10】。由于现实市场中的参数是随机的，它们相互影响，并通过各种条件进行估计。了解这些参数的特点并以正确的方式选择它们是至关重要的。现在，我们假设回收率是随机的，并在违约强度γ上下降，然后为其建立模型。这应该满足三个必要的属性。首先，随机恢复率的do-ma-in在R+上。第二个关键条件是，为了确保违约概率与回收率的负相关性，我们需要使用一个具有负或非正第一导数的函数。众所周知，实际回收率与总违约率呈负相关。因此，我们对隐含回收率施加相同的条件。所以我们有rt=β+βeβγt，它在0和1之间。

一种方便的可能性是指数函数，考虑到上述性质，我们得到β，β∈ (0, 1), β≤ 现在，根据这些假设，我们提出了CDSP SRRmodel的基于强度的表示，然后找到了CDS违约期限的创新模型。命题4.1设r为短期利率及其相应的贴现因子DtsbeF预测表，则公平CDS违约具有以下基于强度的表达式CTS=EhRs+Ts（1- Rt）Dtsγtexp{-Rtsγudu}dt | FsiEhRs+TsDtsexp{-Rtsγudu}dt | Fsi，s<t.（4.1）证明：通过应用引理2.4并使用Bielecki et al.[4]的结果，我们得到p VP L（CTs）=EhZs+TsDtsI{τ>t}CTsdt | Gsi=CTsI{τ>s}EhZs+TsDtsexp{-Ztsγudu}dt | FsiP VDL（Rt）=Eh（1- Rt）DτsI{τ<s+T}| Gsi=I{τ>s}EhZs+Ts（1- Rt）Dtsγtexp{-Ztsγudu}dt | Fsi。因此，将上述方程中的两个现值相等，我们得到了结果。命题4.2（Credi t triangle）我们假设连续支付的保费CTS在s开始日期未确定≥ 0，并且在合同期限【s，s+T】，na中期流动溢价期间是时变的。那么，所有期限的违约损失率γ都相等≡ C和CTS=（1- Rs）γs，（4.2）其中，stoc-hastic恢复率Rsisβ+βeβγs。每天进行观察，但我们的数据中可能会出现准时差距，因此对于0<s<t，s：=t- 1，我们通过以下sCTt=（1）将CDS premia的日志返回等效为默认速率过程的日志返回- Rt）γt=（1- β- βeβγt）γt，（4.3）因此- 对数=低g1.- Rt1- 卢比+ 日志γtγs=ZtsYudu（4.4），其中{Yt，t>0}是L'evy驱动的CARMA过程，如第2.5节模拟研究和实际数据所述，本节模拟了不同阶数的CARMA（p，q）过程。我们展示了如何模拟CARMA（p，q）。

在第5.1小节中，我们用带正态分布跳跃的复合泊松过程来解释模型的示意图。在第5.2小节中，我们使用实体公司（242家公司）的真实数据来比较CDSP-CRR模型和引入的CDSP-SRR模型。在这种情况下，我们使用lo g-似然和BIC来比较这些模型。5.1模拟我们使用CAR（1）、CAR（2）和CARMA（2,1）过程评估CDSP-SRR的性能。我们根据所提供的模型修改了Yuima软件包[16]，并将所需步骤描述如下。1、作为模拟函数中的默认值，连续过程在等间距的时间点0、h、2h、…、，N h，其中N是观察次数，h是步长。在这种情况下，h=1，N=3000，需要每天的时间。我们为CARMA模型过程的参数设置了一个初始值。此外，我们使用长度为5的movingaverages来处理丢失的数据。图1:CDSP-CRR模型下CARMA（2,1）的模拟。2、在引入的模型中，我们将在此步骤中估计控制隐含回收率RTI的参数。对于具有随机恢复率的模型，我们估计了参数β、β和β，而对于具有常数恢复率的模型，我们仅将β=r设为常数参数。马尔可夫链蒙特卡罗方法允许对95%置信区间进行精确计算，以确定β参数的可信区间。3、我们使用拟极大似然估计方法来估计CARMA模型的参数。qmle函数中的参数提供了newYuima函数Carma。估计L'evy增量的噪声。最后，我们比较了CDSP-CRR和CDSP-SRR模型的BIC，以选择适合CDS溢价的模型。

我们通过下面的仿真示例实现了仿真技术，并在表1和表2中显示了结果。按照模拟步骤，我们在图1和图2中展示了CDSPCRR和CDSP-SRR模型下的CARMA（2,1）过程。结果表明，由于回收率随时间变化，CDSP SRRmodel比其他模型具有更大的波动性。示例5.1我们模拟了系数a=6的CAR（1）的样本路径，即（D+a1=6）Yt=DLt。我们选择β=0.378，β=-0.0095，β=0.637。CDSP-CRR和CDSP-SRR模型的模拟如图1和图2所示，比较结果如表1所示。例5.2根据模拟，我们生成了一组参数为a=1.39631、a=0.050 29、b=1和b=2的ARMA（2,1）样本路径。该过程的相应随机微分方程为（D+1.39631D+图2:CDSP-SRR模型下的CARMA（2,1）模拟。模型BIC log likeliho odCDSP SRR 2123.2826-1033.6413CDSP-CRR 4562.5487-2269.2648表1：具有CDSP-CRR和CDSP-SRR模型的CAR（1）的BIC和log可能性。0.05029）Yt=（2+D）DLt。我们选择合适的β=0.0378，β=-0.0095和β=0.6 37。然后，我们根据（4.4）中定义的CDSP-CRR和CDSP-SRR模型生成数据。BIC和对数似然值的结果记录在表2中。BIC log likeliho odCDSP SRR 4801.2438-2380.6068CDSP-CRR 8740.4511-4350.2096表2:CDSP-SRR和CDSP-CRR模型的CARMA（2,1）BIC和log likeliho od。这些差异会影响实际市场中CDS溢价的价格，所有公司都会受到随机ic回收率的影响。5.2真实数据为了比较拟议模型的性能，我们考虑了2002年1月至2012年11月（2829个交易日）期间每日观察到的N=2 42家公司的5年期CDS利差（T=5）。

参考实体来自欧洲和北美的公司，包括不同的行业，如银行、电力和其他金融公司。对于任何公司，我们有不同的起始日期和终止日期，到期时间T=tmin，tmin+h，tmin+2h。。。，具有统一步长h的Tmax。图3：ING银行数据的实现。图4：使用CAR（1）流程安装ING银行数据。我们的模型基于观察到的（一个周期）日志返回，表示（4.4）定义的离散时间观察。图1和图2显示，ING真实数据银行明确了CDSP-SRR模型的影响。通过将CDSP-CRR a ndCDSP SRR模型应用于CDS的每个信贷实体，我们将CARMA模型应用于数据，然后估计参数。此外，我们还比较了表3中一些公司的BIC。在该表中，我们显示CDSP-SRR模型的BICITOR小于CDSP-CRR模型。结论为了对CDS利差等金融时间序列数据进行建模，我们回顾了引入的模型并对其进行了推广。考虑到CDSis的恢复率不是常数，我们通过考虑随机恢复率对该模型进行了改进。这一假设使得模型比前一个更好、更灵活。由L'evy驱动的连续时间ARMA过程是平稳的，用于拟合CDS的Premium。根据对数似然值和BIC，我们得出CDS-SRR模型对跳跃的NIG分布具有更好的性能。本文的实证研究基于一些公司useCAR（1）、CAR（2）和CARMA（2,1）的CDS利差。

然而，除了对CARMA模型的估计外，该模型还有一些局限性，结果更好，可以与CDSP-SRR车型CDSP-CRR车型AmericanExpress-10137.9672-9228.8668 BMW-11448.7974-10104.0573SANO-12684.5042-11175.8189KPN-12889.6028-11596.5878戴姆勒-11892.0160-10742.6483ING-8114.2239-7088.9918德意志-11218.7720-9945.8812康菲-11113.9200-9626.3721沃尔玛-10856.7632-9825进行比较.9177麦当劳-11676.4504-10211.3201康卡斯特-5211.7253-4661.1184表3：如果我们在模型中设置实际可行的恢复率，则将模型性能与BICbetter进行比较。此外，通过改变随机回收率的结构，我们可以提高模型的效率。参考文献[1]E.Altman（2006）《违约恢复率和登录信贷风险模型与实践：对文献和经验证据的更新，信贷衍生的牛津手册》。[2] M.J.P.Anson、F.J.Fabozzi、M.Choudhry和Ren Raw Chen（2004）《信贷衍生品：工具、应用和定价》，WILEY。[3] G.Bakshi，D.Madan，F.Zhang（2001），《了解可恢复的独立风险模型的作用：经验比较和改进的恢复率》，SSRNElectronic Journal，DOI:10.2139/ssrn。28594 0.[4] T.R.Bielechi，M.Rutkowski（2002）《信用风险：建模、评估和对冲》，柏林斯普林格。[5] T.Bjo rk（2009）《连续时间套利理论》，牛津大学出版社。[6] P.J.Brockwell，R.A.Davis（2000）《时间序列与预测导论》，斯普林格出版社。[7] P.J.Brockwell，R。A、 Davis，Y.Yang（2011）《非负L’evydriven CARMA过程的估计》，商业与经济统计杂志，29250-259。[8] P.J.Brockwell，V.Ferrazzano，C。

Kluppelberg（2013）《连续时间移动平均过程的高频采样与核估计》，时间序列分析杂志，34，DOI:10.1111/j t sa。1 2022.[9] D.Duffee（2005）《信贷风险模型与流程》，银行与金融杂志，2 9，2751-2802。[10] M.Eifert（2015）《信贷违约掉期溢价的时间序列模型》，信贷风险杂志，3，21-44。[11] J.Hull和A.White（2003）《信用违约掉期期权的估价》，衍生杂志，10，40-50。[12] M.Jakovelev（2007）《信用违约掉期利差的确定：来自欧洲信贷驱动市场的证据》，拉彭兰塔科技大学，论文。[13] M.Jaskowaki，M.McAleer（2011）《隐含再变化率的估计》。维也纳经济与商业大学CDS传播市场案例研究。[14] R.A.Jarrow，D.Lando，S.Turnbull（1997）《信用风险价差期限结构的Markove链模型》，修订版。财务部。螺柱。，10,2 , 481-523.[15] CH.Kitwiwattanachai（2012）《CDS中的随机恢复率：经验测试和模式l》，沃金论文。[16] S.M.Iacus，L.Mercuri（2015）《在YuimaPackage中实现Levy C ARMA模型》，计算统计，30,41111-1141。[17] E.Schlemm，R.Stelzer（2012），《强混合状态空间模型和多元l'evy驱动的CARMA过程的拟极大似然估计》，Electron J stat，62185-22 34。[18] H.Tomasson（2015）《高斯CARMA建模的所有方面的一些计算》，随机比较杂志，25375-387。[19] Tuan博士（1997）《有理谱密度函数连续时间高斯平稳过程的参数估计》。，Biometrika，64385-399。[20] D.Wemanhove（2009）《信用违约掉期标准普尔阅读模型：描述性，关于CDS利差的决定因素》，特温特大学，论文。【21】S.M Iacus，N。

Yoshida（2017）与YUIMA，Springer，https://cran.rproject.org/web/packages/yuima/index.html.