一个显式违约传染模型及其在信贷中的应用

然而，对于给定的强度族∧，证明FY条件马氏链X的存在是相当困难和技术性的，这是下一节的主要主题。3默认流程的特征在本节中，我们分三个步骤提供了前一节中介绍的默认流程X的特征。首先，我们制定了保证FYconditional Markov链X存在的条件，该条件用于在我们的框架中建模默认过程，请参见第3.1节中的假设3.1和3.2以及定理3.4。其次，我们通过计算X的条件概率和期望来推导X的动力学。一般违约强度族下的关键结果在定理3.5中得到，这对于信贷衍生品的定价和套期保值问题至关重要。第三，我们在假设3.7中为强度族指定了一类过程，并在推论3.9和3.11.3.1中将定理3.5的结果简化为更易于处理的形式。默认过程的存在在本小节中，我们在假设3.1和3.2下刻画了FY条件马尔可夫链X的存在性，并在定理3.4中给出了结果。正如引言中所提到的，这样的aMarkov链X将用于在我们的框架中建模默认流程。为了构建FY条件马尔可夫链X，我们从给定的外部Rd值随机过程Y开始，该过程捕获宏观经济信息（或因素）。在本节中，为了获得一般性，我们不指定Y的动力学。我们在下一节中考虑了定价问题，当Y由一个有效的跳跃扩散过程建模时。此外，我们给出了一系列随机过程M，如下所述。假设3.1。M=（MEF（t））t≥0是强度等于1的泊松过程族，其中E，F∈ N和E F

此外，泊松族M和宏观经济过程是相互独立的。接下来，我们总结了强度族∧（或λ）应满足的条件，并假设这些条件在本文的其余部分中成立。假设3.2。强度族∧=（λEF（t））t≥0，其中E，F∈ N、 是FY AdaptedProcess的一个系列，对于所有t≥ 0：（A1）∧EF（t）=0（或λEF（t）=0），如果E 6=F或F 6=E∪ {i} ，其中i∈ 欧共体。（A2）∧EE（t）=-PE6=F∧EF（t）或λEE（t）=-PE6=FλEF（t）！。为便于记法，设∧E（t）：=-∧EE（t）和λE（t）：=-λEE（t）。（A3）∧EF（t）是t的增函数，其中∧EF（0）=0。（A4）限制→+∞∧EF（t）=+∞ 对于所有F=E∪ {i} 而我∈ 欧共体。备注3.3。假设3.2的基本部分是（A1），它相当于假设2.1中的条件（i）。（A2）是马尔可夫转移密度要求。（A3）和（A4）对于在族λ上引入正性假设至关重要：=（λEF（t））t≥0、我们不对强度系列∧或λ的结构作进一步假设，这将使我们的框架更加灵活和多功能，以捕捉违约传染。我们以以下关键定理结束这一小节，该定理解决了当外生过程Y和强度族∧给定时默认过程X的存在性问题。定理3.4。假设给定一个外生过程Y，假设3.1和3.2指定了两个过程族M和∧，则存在一个FY条件马尔可夫链X，强度族∧，X=.证据通过仔细计算一系列非齐次泊松过程的跳跃时间，并通过验证条件定义2.3和2.4，可以构建这样一个FY条件马尔可夫链X。X的存在性是在非常一般的假设下得到的，我们的框架包含了一类广泛的信用风险模型。

详细证明分为三个部分，延迟至附录A.3.2默认过程的动力学在本小节中，使用定理3.4的结果，我们通过推导默认过程X的条件概率和期望来获得其动力学，参见定理3.5。为了继续，我们引入了一些符号，以便于以下关键结果的呈现。对于任何E、F∈ N满足E F和| F/E |=n，用∏（F/E）表示所有F/E置换的集合。这里，F/E是集合F“负”集合E，即F/E={x:x∈ F和x 6∈ E} 。对于任意π=（π，···，πn）∈ π（F/E），定义集合序列（Fπk）k=0,1，···，nbyFπ：=E和Fπk：=Fπk-1.∪ {πk}，k=1，2，···，n.（3.1）下面的定理包含有关默认过程X动力学的关键结果。定理3.5。假设给出了宏观经济过程Y，假设3.1和3.2成立。对于任何0≤ s≤ t<+∞ 和F∈ N、 我们有Xt=F | FXs∨ FYt公司=XE公司F{Xs=E}·G（s，t；E，F），（3.2），进一步，对于任何有界（非负）FYt可测随机变量ξ，E{Xt=F}·ξ| FXs∨ 财政年度=XE公司F{Xs=E}·EhξG（s，t；E，F）FYsi，（3.3），其中g（s，t；E，F）：=H（s，t；E），如果E=FPπ∈π（F/E）H | F/E |（s，t；Fπ，···，Fπ| F/E |），如果E F（3.4）H（s，t；E）：=E-RtsλE（u）du，Hk+1（s，t；Fπ，···，Fπk+1）：=ZtsλFπkFπk+1（v）·E-RtvλFπk+1（u）du·Hk（s，v；Fπ，···，Fπk）dv。（3.5）证明。定理3.5的证明推迟到附录B.1。注意λE（t）=-λEE（t）=PE6=FλEF（t），对于所有E∈ N、 定理3.5明确描述了X在FX下的条件动力学∨ 一旦默认强度λ=（λEF（t））t≥0是已知的。考虑到定理3.5中X的动态性，在下一节中（2.1）中的损失过程L被完全描述并用于信用衍生品的定价。

定理3.5的一个有趣且重要的特征是，泛函G（作为从集合E到集合F的转换核）只涉及缺省强度λ。注意，当强度族λ完全任意时，（3.2）中条件概率的计算复杂度非常高，因为涉及F/E的置换。然而，如果我们将一个更易于处理的结构分配给λ，则（3.2）的计算将大大简化。这为我们在定价和对冲信用衍生品时提供了计算优势，请参见下一节中的示例。在我们的建模中，有N个债务人，其中N是一个正整数。当N=1或2时，定理3.5中的结果可以是更简单的形式，如下推论所示。推论3.6。假设给出了宏观经济过程Y，假设3.1和3.2成立。如果只有一个债务人且λ{1} =λ>0，我们有，对于所有0≤ s≤ t<+∞, thatP公司Xt= | FXs公司∨ 财政年度= 1{Xs=}e-λ（t-s） ，PXt={1}| FXs∨ 财政年度= 1{Xs=}1.- e-λ（t-s）+ 1{Xs={1}}。如果有两个债务人且所有E的λEF=λ>0 {1，2}和F=E∪ {i} ，我∈ Ec，我们有，总共0≤ s≤ t<+∞, thatP公司Xt= | FXs公司∨ 财政年度= 1{Xs=}e-2λ（t-s） ，PXt={i}| FXs∨ 财政年度= 1{Xs=}e-λ（t-s）- e-2λ（t-s）+ 1{Xs={i}}}e-λ（t-s） ，i=1，2，PXt={1，2}| FXs∨ 财政年度= 1{Xs=}1.- e-λ（t-s）+ 1{Xs={1或2}}1.- e-2λ（t-s）+ 1{Xs={1,2}}。当N=2时（两个债务人的情况），我们观察到，从Xs开始={}, 当t- s=ln（2）/λ。此外，当t- s∈ [0，ln（2）/λ]且当t- s∈ [ln（2）/λ+∞).3.3强度族的建模在上一小节中，我们获得了定理3.5中默认过程X的动力学，它完全由默认强度族λ决定。

当经济中的债务人数量较少（N=1，2）时，我们将定理3.5的结果简化为滚动3.6中更易于处理的形式。然而，在许多金融产品中，N通常很大，如iTraxx和CDX，这使得计算（3.2）中的条件概率既耗时又高效。Oneremedy是以特定形式对默认过程X的强度族λ进行建模，然后开发定理3.5的更适用版本。然后，本小节的其余部分将致力于强度族λ的建模，同时考虑宏观经济因素和集团间传染的依赖性。我们考虑强度族λ的以下模型，该模型满足假设3.2中施加的所有条件。假设3.7。Let（βi）i∈Nand（ρij）i，j∈Nbe非负常数，h（·）是h（0）=1的正重值函数。我们为所有人定义E∈ N、 thatLE（一）：=h（| E |）·Pj∈Eρji，如果E 6=βi，如果E=（3.6）和LE：=Xi∈EcLE（i），LN：=0。（3.7）设Φ（·，·）为[0]的正函数映射，∞) ×Rdto R.强度族λ=（λEF（t））t≥0，其中E，F∈ N、 默认过程的X由λEF（t）给出=Φ（t，Yt）·LE（i），如果F=E∪ {i} 而我∈ 欧共体-Φ（t，Yt）·LE，如果E=F0，否则，（3.8），其中（Yt）t≥0是宏观经济过程，上述（3.6）和（3.7）定义了LE（·）和LEare。备注3.8。在假设3.7中，函数Φ（t，Yt）描述了从宏观经济因素（如经济低迷、商业周期和金融危机）继承下来的违约率。函数（i）描述了E中违约义务人对生存期的集团间违约传染率，以及E中违约义务人对Ec中所有幸存者的总体影响；ρji是从j到i的个体传染率。函数h衡量群体间传染的程度。

因此，（3.8）给出的λ模型能够捕捉宏观经济因素和集团间传染对违约强度的影响。最后，我们注意到模型（3.8）包含了广泛的违约传染模型，如同质传染模型和近邻传染模型，见Herbertsson（2008）。在LE（i）的定义中，集团间传染程度函数h和传染率矩阵（ρij）可能对总违约风险的严重程度产生相反的影响。例如，Jorionand Zhang（2007）发现，在CDS市场中，信贷事件可能会产生传染和竞争效应，即存在好的和坏的信贷传染。通过采用他们的发现，函数h可能会对信贷利差产生积极（h>1）或消极（0<h<1）的影响。在第5节的数值研究中，我们取h（n）=e-δn，其中δ根据CDO份额报价进行校准。我们的发现表明，δ对5Y和7Y CDX均为正值。不适用。HY，这意味着CDX中的信贷事件。不适用。HYgroup对整体竞争（负面）有影响。回想一下∏（F/E）包含F/E的所有置换 F∈ N，其中，N是不大于N的正整数，并选择任意π=（π，····，πN）∈ π（F/E），定义π（n）：=n-1Yk=0LFπk（πk+1），（3.9），其中Fπ·和L·（·）分别由（3.1）和（3.6）定义。设l，l，···，Ln为n+1个不同的实数，其中n为正整数。对于所有m=1，2，···，nand i=0，1，···，m- 1，我们定义α（m）i（l，···，lm）：=α（m-1） i（l，···，lm-1） lm公司- liandα（m）m（l，···，lm）：=-m级-1Xi=0α（m）i（l，···，lm），（3.10），α（0）（l）：=1。当强度族λ由（3.8）给出时，我们简化了下面推论中定理3.5的结果，这是本小节的关键结果。推论3.9。

假设给出了宏观经济过程Y，假设3.1和3.7成立。选择任意E、F∈ N带E F和| F\\E |=n。如果LFπi6=LFπjwhere i 6=j和π∈ π（F/E），然后给定{Xs=E}，我们得到所有0≤ s≤ t<+∞ thatPhXt=FFXs公司∨ FYti公司=经验值-乐·RtsΦ（u，Yu）du, 如果E=FPπ∈π（F/E）bLπ（n）nPi=0α（n）i（π）·exp-LFπi·RtsΦ（u，Yu）du, 如果E Fand进一步，对于任何非负（或有界）FYt可测随机变量ξ，Eh{Xt=F}·ξFXs公司∨ FYsi公司=Ehξ·e-乐·RtsΦ（u，Yu）duFYsi，如果E=FPπ∈π（F/E）bLπ（n）nPi=0α（n）i（π）·Eξ·e-LFπi·RtsΦ（u，Yu）du财政年度, 如果E 其中L·和BL由（3.7）和（3.9）定义，α（n）i（π）：=α（n）i（LFπ，LFπ，···，LFπn），α（n）由（3.10）定义。证据关于推论3.9的证明，请参考附录B.2。备注3.10。在推论3.9中，条件期望依赖于时间无关的blπ和α（n）i，只需要yrtsΦ（u，Yu）du。相比之下，定理3.5中的一般结果要求对所有0≤ h类≤ 与推论3.6类似，当只有一个债务人时，我们可以进一步将推论3.9中的结果简化为更简单的形式，这些结果在下面的推论中进行了总结。推论3.11中获得的结果与经典强度模型中的结果一致，参见，例如Duffeeet al.（2000）和Collin Dufresne et al.（2004）。推论3.11。

假设给出了宏观经济过程Y，假设3.1和3.7成立。如果只有一个债务人，且其违约时间由τ给出，则以下结果适用于所有0≤ s≤ t<+∞:（i） 条件生存概率由p给出τ>tFXs公司∨ 财政年度= PXt={}|FXs公司∨ 财政年度= 1{Xs=}· Ehe公司-β·RtsΦ（u，Yu）duFYsi，其中β是（3.6）中L定义的常数，Φ是强度模型（3.8）中的常数。（ii）条件违约概率由P给出τ≤ t型FXs公司∨ 财政年度= 1{Xs=}·1.- Ehe公司-β·RtsΦ（u，Yu）duFYsi公司+ 1{Xs={1}}。证据结果立即通过计算L得出= β、 L{1}=0，LFπ=β，LFπ=0，bLπ（1）=β，α（1）=-1/β和α（1）=1/β。备注3.12。根据推论3.11中的断言（i），我们得出-rt·P（τ>t）=E经验值-Zt（βΦ（u，Yu）+r）du.因此，我们可以将βΦ（t，Yt）解释为时间t的瞬时违约风险溢价，并将到期日为t的可违约债券定价为风险调整贴现率β·Φ+r.4下的无风险债券。在有效跳跃扩散强度下的信用衍生品定价。在本节中，我们将推论3.9中的结果应用于违约传染模型下的合成CDO和CDX指数的定价。根据假设4.1的规定，强度族λ由（3.8）在一个跳跃微分模型下给出。命题4.4给出了一般结果，在命题4.6和4.8.4.1中的两个特殊模型下，跳跃扩散强度在第3.3节中，我们在假设3.7中指定了强度族λ的结构，其中函数Φ和宏观经济过程Y是一般形式。为了获得信贷衍生品的明确定价公式，我们进一步对Φ和Y进行以下假设。假设4.1。假设3.7成立，强度过程λef由（3.8）给出。

取Φ（t，Yt）≡ Ytfor all t公司≥ 假设Y的动力学由以下一维跳跃扩散过程控制：dYt=κ（θ- Yt）dt+σpYtdWt+dJt，其中Y=Y，（4.1），其中κ、θ和σ是（正）常数，W=（Wt）t≥0是标准布朗运动，J=（Jt）t≥0是一个复合泊松过程，其跳跃时间来自强度为l的泊松分布，跳跃大小与平均u呈指数分布。过程W和J是相互独立的。备注4.2。在上述模型（4.1）中，参数κ是Y对长期水平θ的平均回复率。复合泊松过程J的跳跃捕获了可能导致经济中债务人违约的突发信贷恶化事件。Du ffe et al.（2000）和Ding et al.（2009）考虑了这种跳跃扩散模型。一个特例是Feller（1951）的无跳跃（l=0）模型，Cox等人（1985）使用该模型对随机利率进行建模。在推导续集中信用衍生品的定价公式时，需要使用以下引理，例如，见Duffee和Garleanu（2001）和Mortensen（2006）的附录。引理4.3。假设4.1成立。对于任何g>0和t≥ 0，我们有他-gRtYsdsi=eA（g，0，t）+y·B（g，0，t），（4.2），其中A（g，0，t）和B（g，0，t）由B（g，0，t）=1给出- ebtc+债务，A（g，0，t）=κθγgbcdlnc+债务-γ/克+κθct+l（cd- cd）bccdlnc+债务c+d+信用证- lt、 γ=pκ+2gσ，c=-γ+κ2g，d=c+κg，c=1-uc，d=d+uc，b=dg+gκc-σγ.4.2指数和展期综合债务抵押债券（CDO）是一个由债务人的N个单名信用违约掉期（CDS）组成的投资组合，违约时间为ν，ν，···，ν和回收率R，R，··，RN。标准的做法是假设所有债务人的名义价值相同，就像iTraxx和CDx的情况一样。在不丧失一般性的情况下，将标称值设置为1。

那么累积损失L由（2.1）给出。通常，L表示为时间0时总标称值的百分比（等于N）。在下文中，我们将lt=RX（t）N，t设置为轻微滥用符号≥ 0，（4.3），其中RX（t）：=Pi∈Xt（1- Ri）。注意，用RX（t）表示，（4.3）中的分子是（2.1）中的loss L。CDO由附着点0=p<p<p<p<····<pK确定≤ 1和相应的部分-1，pi]，其中i=1，2，···，K。关于第一批贷款的协议是一项双边合同，其中保护卖方同意向保护买方支付在此期间发生的所有信用损失【pi】-1，pi]。然后，卖方在T之前或T时的相应默认时间付款。作为保护的交换，买方支付与第一期至T期的当前未偿价值成比例的定期保费，可能会因发生的违约损失而减少。第一期累计损失由L（i）（Xt）定义：=（Lt- pi-（1）+- （Lt- pi）+=RX（t）N- pi-1.+-RX（t）N- pi+. （4.4）假设买方支付的保险费在离散时间0=t<t<t····<tm=t，随时间增加k： =塔卡- tk公司-1对于k=1，2，···，m，无风险利率为常数。在实践中，通常假设保费按季度支付，即：。，k=1/4，这正是我们在数值研究中选择的参数。在协议开始时，根据不同的产品结构，如CDX和iTraxx等，买方通常需要支付预付费。