欧式期权价格的奇异Fourier-Pad级数展开

在本试验中，SFP方法的R最小∞安德烈罗斯，带着R∞且小于5.8e-13当走向从1增加到200时，U=64。Italso还产生了其他任何方法都无法比拟的全局谱收敛性。这表明，本文提出的截断范围可以比Fang和Oosterlee（2009a）提出的范围更长。在表4中，我们使用相同的参数（BSM–Para1）来检验COS和SFP方法对现金或无现金认沽期权定价的能力。同样，这两种方法可以实现非常低的收敛误差和谱收敛。表5引用了第三次测试（BSM–Para2），并复制了Ortiz Gracia和Oosterlee（2016）中的表3。在这次测试中，SFP方法比SWIFT和COS方法具有更高的精度，所需的术语更少。例如，当T=50时，在SFP方法中，我们只需要32个项就可以获得7位数精度的truesolution，而其他两个项需要更多项才能获得1位数精度。最后，在上一次测试（BSM–Para4）中，由于累积量太小，无法为COS和过滤COS方法创建有意义的截断范围，我们使用（76）允许该方法生成相关期权价格。

在图4中，SFP方法主导了其他四种方法，以产生远离跳跃的全球光谱收敛速度，而2017年11月15日的输入定量金融Singcfseurov13重新格式化了GBM模型的密度-0.05 0.05y050100015002000 GBM模型的密度-1 0 1 2y00.511.522.53 GBM模型的密度-5 0 5 10 15y00.050.150.20.25 GBM模型的密度t=50T=100图2：概率密度函数由三组参数生成：BSM–Para1（左上）、BSM–Para3（右上）和BSM–Para2（下）。0 50 100 150 200Strike-6-4-202log10jErrorjCONV0 50 100 150 200Strike-4-3-2-1012log10jErrorjLewis-FRFT0 50 100 150 200Strike-20-15-10-505log10jErrorjCOS0 50 100 150 200Strike-20-15-10-50log10jErrorjSFPFigure 3：在BSM模型下，采用CONV、Lewis FRFT、COS和SFP方法对欧洲deepat/in/out of the money看跌期权进行定价的误差包络线，罢工次数从1次增加到200次。术语/网格点的数量按8（红线）、16（蓝线）、32（绿线）和64（黑线）的顺序增加。在SFP方法中观察到谱收敛。参数取自BSM–Para1。非光滑PDF（见右上角，图2）的行为类似于Dirac Delta函数，在原点附近有一个几乎非常薄的尖峰。在表6中，当我们在跳跃S=99.999时测试期权价格的准确性时，SFP方法主导了其他方法。当S=95和6.269e时，绝对误差为零- 05当U=64时，当S=99.999时，与真解的误差。这与Driscoll和Fornberg（2011）的发现一致，因为当函数非常困难时，SFP在跳跃时提供4-6位数的精度。显然，上一次测试中的非光滑PDF很难近似，因为它的行为类似于狄拉克三角洲。最后，使用BSM–Para3的相同参数，我们通过图5中的SFP近似值恢复调用Delta和Gamma。

在图中，SFP提供了一种除了跳跃之外的极高精度和全局谱收敛的解决方案。8.1.2. 方差Gamma模型。VG过程（Madan and Seneta 1990，Madan and Milne 1991，Madan et al.1998）是一个有限的活动列维过程，是布朗运动的从属版本（参见Cont and Tankov 2004）。该模型最重要的特点是布朗运动是在随机时间t内进行计算的*（由独立递增的L'evyth确定Dirac Delta函数是实数线上的一个广义函数或分布，除0外，其他地方均为零。2017年11月15日，量化金融SingCfseurov13重新格式化表3:误差收敛和CPUtime中CONV、Lewis FRFT、COS和SFP方法的比较在BSM模型下。k的范围是1到200。在SFP方法中观察到谱收敛。参数取自BSM–Para1。CONV Lewis FRFTN R公司∞RTime N R∞RTime8 20.49 180.1 0.00806 8 32.53 356 0.0211116 6.292 53.54 0.00941 16.1 156.4 0.025532 1.998 13.83 0.01012 32 7.933 69.38 0.0457164 0.5709 3.286 0.01641 64 4.765 38.81 0.09151COS SFPN R∞RTime U R∞RTime8 5.046 10.06 0.00706 8 1.028e-01 5.893e-01 0.0090116 5.109 8.447 0.00841 16 2.818e-04 1.559e-03 0.0095132 5.111 8.449 0.01113 32 1.598e-09 3.732e-09 0.0131264 5.111 8.449 0.01423 64 1.991e-13 5.801e-13 0.01731表4：在BSM模型下，比较COS和SFP方法在误差收敛和CPU时间方面对Europeancash或nothing看跌期权定价的影响。K的范围为80到120。在COS和SFP方法中观察到谱收敛。

参数取自BSM–Para1。COS SFPN R∞RTime U R∞RTime8 6.395e-02 7.711e-01 0.00716 8 3.673e-03 3.974e-02 0.0090116 2.562e-03 2.831e-02 0.0083116 3.801e-06 2.646e-05 0.0093132 7.681e-08 8.794e-07 0.011232 5.702e-12 2.668e-11 0.0134264 1.772e-15 4.015e-15 0.01523 64 1.156e-14 2.297e E-14 0.01791表5：在BSM模型下，比较COS、SWIFT和SFP方法对看涨期权定价的绝对误差。使用Black-Scholes分析公式计算参考值：99.202592852532000（T=50）和99.99456094213000（T=100）。SFP方法比其他方法更精确，所需的求和项更少。参数取自BSM–Para3。方法错误（T=50）错误（T=100）SWIFT（m=0）1.91e- 01 2.50e- 05COS（N=35）4.98e- 01 2.05e+02SFP（U=32）2.653e- 07 7.067e- 08SWIFT（m=1）7.78e- 09 3.20e- 06COS（N=70）2.79e- 08 2.02e-05SFP（U=64）2.251e- 10 7.037e- 11process-a Gamma过程）而不是日历时间t。假设VG过程b（t*; θ、 σ）定义为θt*+ σWt*, 其中随机时间t*由伽马过程给出，伽马（t；1，ν）具有单位均值和方差，θ是t处的漂移*, 和Wt*表示标准布朗运动。然后，我们将VG过程驱动的股价动态定义如下：ST=Se（r-q-ω） t+θ伽马（t；1，ν）+σWGamma（t；1，ν），（98）2017年11月15日定量金融Singcfeurov13重新格式化80 90 100 110 120股价-1-0.500.511.52log10jErrorjCONV80 90 100 110 120股价-2-1012log10jErrorjLewis-FRFT80 90 100 110 120股价00.511.5log10jErrorjfilter-COS80 90 100 110 120股价-15-10-50log10jErrorjSFPFigure 4：在BSM模型下对欧洲货币看涨期权进行定价时，CONV、Lewis FRFT、Filter COS和SFP方法的误差包络线在80到120之间。

术语/网格点的数量按8（红线）、16（蓝线）和32（绿线）的顺序增加。在SFP方法中，在远离跳跃的地方观察到谱收敛。参数取自BSM–Para4。表6：根据BSM模型下看涨期权定价的绝对误差，比较CONV、COS、FILTER COS和SFP方法。参考值为0（S=95）和0.007491657716010（S=99.999）。SFP方法比其他方法更精确，所需的求和项更少。参数取自BSM–Para4。S=95 CONV filter COS SFP S=99.999 COS filter COS SFPN/U Error Error Error N/U Error Error Error Error 8 2.004e+01 5.099 2.813e-04 8 2.475e-01 4.482e-01 3.849e-0216 1.940e+01 4.987 7 7 7 7.268e-08 16 1.307e-01 1.944e-01 4 4.704e-0332 1.311e+01 5.001 0.000 32 7.008e-02 1.030e-01 3.473e-0364 6.696 5.000 0.000 64 3.960e-2 5.587e-02 6.268e-05及其特征函数由Д（U）=exp给出iu（r- q- ω） t型1.- iθνu+σνu！tИ，u∈ R、 （99）此处ω=-νlog1.- θυ -συ. 实验参数从以下各项中选择：VG–Para1：S=100，σ=0.12，θ=-0.14，ν=0.2，r=0.1，T=0.1，q=0，（100）VG–Para2：K=1，σ=0.1213，θ=-0.1436，ν=0.1686，r=0.03，T=1，q=0.01。（101）之所以选择第一组参数，是因为Lord等人（2008年）报告的期限很短的Conv方法收敛速度相对较慢。最后一组来自Pistorius andStolte（2012），其来源于Madan等人（1998）。这些试验的参考值基于VG分析公式。我们通过图6中的SFP方法展示了所有恢复的PDF，并且可以通过VG–Para1获得非平滑恢复的PDF（红线）。我们在（74）和（76）的截断区间内设置L=10。

在第一次数值测试（VG–Para1）中，我们检查了从80到120 K范围内250种不同看涨期权价格的收敛行为，然后检查了跳跃前后/跳跃时的个别看涨期权价格。图7中报告了SFP方法的全局谱收敛远离跳跃。在表7中，当K=90时，SFP方法可以达到13位精度，需要128项。这一结果要好得多，2017年10月15日，量化金融Singcfseurov13重新格式化80 90 100 110 120股价-0.500.511.5Delta值delta80 90 100 110 120股价-0.200.20.40.6Gamma值gamma80 90 100 110 120股价-20-15-10-50log10jErrorjDelta80 90 100 110 120股价-15-10-50log10jerrorjgammafigure 5：恢复的呼叫增量 （左上）和GammaΓ（右上），通过BSMmodel下的SFP方法，打击次数从80增加到120，其相应的误差包络：Delta （左下）和GammaΓ（右下）。术语数量按8（红线）、16（蓝线）和32（绿线）的顺序增加。在SFP方法中，在远离跳跃的地方观察到谱收敛。参数取自BSM–Para4-3-2-1 0 1 2 3 Y02468101214 VG模型的密度图6：VG模型的恢复密度函数通过两组参数生成：VG–Para1（红线）和VG–Para2（蓝线）。与其他两种方法相比，它们只能达到4或5位数的精度。在同一项测试中，Fang和Oosterlee（2009a）表明，COS方法需要1024项才能实现2.52e的误差差-08从真正的解决方案。显然，他们的结果表明，COSmethod无法与SFP方法竞争。当S=102.336时，买入价格在跳跃时测量。我们可以看到，看涨期权价格的收敛速度变得代数化。

与其他方法相比，SFP方法精度更高，精度为6位数，只需128项。这与Driscoll和Fornberg（2011）的结论一致，即如果函数非常困难，SFPM方法可以在跳转时产生4-6位精度。在上一次测试（VG–Para2）中，我们针对0.5到2 SF范围内的250个看涨期权价格检查了收敛行为。图8及其数值表示表8-表明，当PDF平滑时，COS和SFP方法具有全局谱收敛性。然而，SFP方法在R方面的精确度最高∞此外，在测试中，我们注意到，当COS方法用于近似期权价格的小值时，它产生的数值结果不太稳定和准确。8.1.3。CGMY模型。CGMY模型由Carr et al.（2002）开发，可以看作是上述VG模型的推广。Carr等人（2002年）将CGMY模型作为一类不完全可分分布引入（也称为回火稳定性2017年12月15日，定量金融SingCfseurov13重新格式化80 90 100 110 120 Strike-3-2-1012log10jErrorjCONV80 90 100 110 120 Strike-6-4-202log10jErrorjfilter-COS80 90 100 110 120 Strike-6-4-202log10jErrorjCOS80 90 100 110 120 Strike-15-10-50Log10Jerrorjfsfpfigure 7.：货币/周围欧洲定价的CONV、filter COS、COS和SFP方法的错误信封VG模型下的y看涨期权。罢工次数从80次增加到120次。术语/网格点的数量按8（红线）、16（蓝线）、32（绿线）和64（黑线）的顺序增加。除跳跃外，SFP方法还观察到谱收敛。参数取自VG–Para1。表7：根据VG模型下pricinga vanilla看涨期权的绝对误差，比较COS、Filter COS和SFP方法。

参考值为10.993703186728190（K=90）和0.689027011772653（K=102.336）。SFP方法比其他方法更精确，所需的求和项更少。参数取自VG–Para1。K=90 COS过滤器COS SFP K=102.336 COS过滤器COS SFPN/U错误错误错误N/U错误错误错误错误错误8 5.783e-01 3.062e-02 5.256e-02 8 1.326 2.413 5.50616 5.843e-02 3.152e-01 1.241e-04 16 4.185e-01 7.921e-01 5.43532 1.405e-02 4.756e-02 2.221e-08 32 1.153e-01 2.488e-01 2.895e-0464 1.603e-03 7.951e-04 1.401e-11 64 2.976e-02 6.836e-02 2.899e-05128 4.281e-04 8.931e-05 5.755e-13 128 7.595e-031.762e-02 1.147e-06工艺；见Cont和Tankov 2004）。CGMY过程的L'evy度量由ν（CGMY）（dχ）=（C exp(-G |χ|）/|χ| Y+1dχ，χ<0，C经验(-M |χ|）/|χ| Y+1dχ，χ>0，（102），其中C>0，G>0，M>0，Y<2。参数Y捕捉流程的详细结构。对于Y<-1，我们得到了一个具有有限变化和有限活性的复合泊松过程。但是，当Y∈ [0，1），该过程具有有限的活动和变化，类似于VG过程（我们可以看到，当Y=0时，该过程相当于VG过程）∈ [1，2），该过程具有有限的活性和有限的变化。在本文中，我们重点研究了具有Y∈ （0，2）/{1}，因此其特征函数定义如下：Д（u）=expiu（r- q+ω）+CΓ(-Y）GY1+iuGY- 1.-iuYG！+CΓ(-Y）我的1.-iuMY- 1+iuYM！！。（103）此处ω=Д(-i） 。

数值测试的参数（CGMY–Para1）取自2017年11月15日方量化金融SingCfseurov13重新格式化0.5 1 1.5 2股票价格-5-4-3-2-101log10jErrorjCONV0.5 1.5 2股票价格-5-4-3-2-10log10jErrorjLewis-FRFT0.5 1 1.5 2股票价格-12-10-8-6-4-20log10jErrorjCOS0.5 1 1 1.5 2股票价格-20-15-10-50Log10Jerrorjfsfpfigure 8.：：第VG模型下欧洲货币看涨期权定价的CONV、Lewis FRFT、COS和SFP方法的误差包络在SF0.5到2之间。术语/网格点的数量按8（红线）、16（蓝线）、32（绿线）和64（黑线）的顺序增加。观察到COS和SFP方法的谱收敛性。SFP方法具有最高的精度。参数取自VG–Para2。表8：在0.5至2 SF范围内的VG模型下，比较CONV、Lewis FRFT、COS和SFP方法在错误收敛和CPU时间方面对欧洲货币看涨期权进行定价。在COS和SFP方法中都观察到了谱收敛。SFP方法具有最高的精确度。

参数取自VG–Para2。CONV Lewis FRFTN R公司∞RTime N R∞RTime8 1.384 13.31 0.00816 8 3.147e-01 3.913 0.0211116 5.933e-01 4.344 0.00941 16 1.506e-01 1.645 0.0262532 1.161e-01 6.922e-01 0.01012 32 7.126e-02 6.727e-01 0.0457164 7.092e-03 4.533e-02 0.01641 64 3.986e-02 3.245e-01 0.09151COS SFPN R∞RTime N R∞RTime8 1.477e-02 1.292e-0 0.00716 8 2.174e-03 1.476e-02 0.0092116 1.472e-03 1.131e-02 0.00841 16 5.234e-05 2.300e-04 0.0096132 2.217e-05 1.596e-04 0.01223 32 2.409e-09 7.566e-09 0.0137264 4 4 4 E-08 2.857e-07 0.01413 64 1.541e-11 2.485e-11 0.01741和Oosterlee（2009a），定义如下：CGMY-Para1:S=100，C=1，G=5，M=5，Y=0.5或1.5或1.98，（104）r=0.1，T=1，q=0。我们评估了SFP方法对香草调用的收敛速度，并将其置于CGMY模型下。Almendral和Oosterlee（2007）以及Wang et al.（2007）报告称，在以下情况下，很难使用有限差分法求解偏微分积分方程来获得期权价格：∈ [1，2）。因此，我们使用Y=0.5、Y=1.5和Y=1.98评估SFP方法，并将数值结果与COS和CONV方法进行比较。对于Y=0.5和Y=1.5的情况，我们使用N=2的COS方法计算数值实验的调用参考值。然而，对于Y=1.98的情况，我们使用u=2的SFP方法生成put参考值。我们在截断间隔（74）中使用L=10，因为所有输入PDF都是平滑的。在图9中，绘制了三种情况下的恢复密度函数。