稳定分布的参数估计及其应用

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英文标题：
《Parameter estimation for stable distributions with application to
  commodity futures log returns》
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作者：
Michael Kateregga, Sure Mataramvura and David Taylor
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper explores the theory behind the rich and robust family of {\\alpha}-stable distributions to estimate parameters from financial asset log-returns data. We discuss four-parameter estimation methods including the quantiles, logarithmic moments method, maximum likelihood (ML), and the empirical characteristics function (ECF) method. The contribution of the paper is two-fold: first, we discuss the above parametric approaches and investigate their performance through error analysis. Moreover, we argue that the ECF performs better than the ML over a wide range of shape parameter values, {\\alpha}{\\alpha} including values closest to 0 and 2 and that the ECF has a better convergence rate than the ML. Secondly, we compare the t location-scale distribution to the general stable distribution and show that the former fails to capture skewness which might exist in the data. This is observed through applying the ECF to commodity futures log-returns data to obtain the skewness parameter.
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中文摘要：
本文探讨了{\\alpha}稳定分布的丰富和稳健族背后的理论，以从金融资产对数收益数据估计参数。我们讨论了四种参数估计方法，包括分位数法、对数矩法、最大似然法和经验特征函数法。本文的贡献有两个方面：首先，我们讨论了上述参数化方法，并通过误差分析研究了它们的性能。此外，我们认为ECF在很大范围内的形状参数值{\\alpha}{\\alpha}上的性能优于ML，包括最接近0和2的值，并且ECF比ML具有更好的收敛速度。其次，我们将t位置尺度分布与一般稳定分布进行比较，表明前者无法捕获数据中可能存在的偏斜。这是通过将ECF应用于商品期货日志收益数据以获得偏度参数来观察到的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Parameter_estimation_for_stable_distributions_with_application_to_commodity_futu.pdf (13.26 MB)

2022-6-1 01:38:33 上传

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关键词：参数估计 稳定分布 distribution Quantitative Contribution

第1页，共28页计量经济学|研究文章Cogent Economics&Finance（2017），5:13188135:1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813ECONOMETRICS|研究文章稳定分布的参数估计及其在商品期货对数收益率中的应用。Kateregga*、S.Mataramvura和D.TaylorAbstract：本文探讨了α-根据金融资产日志回报数据估计参数的稳定分布。我们讨论了四种参数估计方法，包括分位数法、对数矩法、最大似然法（ML）和经验特征函数法（ECF）。本文的贡献有两个方面：首先，我们讨论了上述参数方法，并通过误差分析研究了它们的性能。此外，我们认为ECF在宽范围的形状参数值上的性能优于ML，α包括最接近0和2的值，并且ECF比ML具有更好的收敛速度。其次，我们将T位置尺度分布与一般稳定分布进行比较，表明前者无法捕获数据中可能存在的偏态。这是通过将ECF应用于商品期货日志返回数据以获得稳健性参数来观察到的。科目：数学金融；可能性统计学关键词：稳定分布；参数估计；密度估计AMS科目分类：62G05；62G07；62G32关于作者M.Kateregga先生是南非开普敦大学即将毕业的博士生。他的研究是在数学金融领域，他的博士论文名为《稳定分布与金融应用》。本论文是他的论文中的一章，将于2017年8月提交。

MrKateregga也是非洲定量金融与风险研究合作组织（ACQuFRR）的研究员，该组织是非洲金融市场与风险管理研究所（AIFMRM）的研究部门，提供金融市场、风险管理和定量金融方面的研究生教育和培训。Kateregga先生还担任南非非洲数学科学研究所（AIMS）的研究助理。公共利益声明本文的标题是“稳定分布的参数估计及其在商品未来日志返回中的应用”。本文对有兴趣将财富投资于金融市场的个人很有用。它提供了有关历史资产价格如何通过参数估计通知未来市场变动的基本信息。这对于投资组合经理、投机者和对冲者来说至关重要。必须建立最准确的估算方法。市场数据分布偏离正态分布，它表现出倾斜、高峰或低谷、厚尾或短尾。本论文旨在建立偏斜数据经济和金融分析中已知方法中的最佳估计方法。(c)2017作者。本开放获取文章根据知识共享署名（CC-BY）4.0许可证发布。第2页，共28M页。KatereggaPage第3页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.13188131.引言本文的动机在于，根据历史数据进行参数估计是对金融市场参与者的重要分析。它为投资组合管理者、投机者和套期保值者提供了有用的信息。因此，必须建立最准确的估计方法。

众所周知，一般来说，市场数据偏离高斯分布，其分布要么是倾斜的，要么是高峰值的，要么是低峰值的，和/或是带着肥瘦的尾巴。本文旨在建立一种更好的参数估计方法，该方法是经济和金融分析中常用的ECF、ML、分位数和对数矩方法，用于假设为稳定分布的偏斜数据。稳定分布在金融中的应用可以追溯到50年代末，当时曼德尔布罗特（1959、1962、1963）提出了一个假设，彻底改变了经济学家在粮食和证券等投机性市场中看待和解释价格的方式。这一假设表明，价格并不像市场参与者基于Bachelier（1900）之前所认为的那样是高斯分布的。因此，曼德尔布罗特的假设是广受欢迎的巴赫勒（1900）突破的延伸。在随后的几年中，Zolotarev（1964）开发了稳定定律的积分表示，其结果被用于开发稳定定律的参数估计技术。Fama（1963）回顾了Mandelbrot假设的有效性，并提出了适合处理投机价格的统计工具。Dumouchel（1971）在长尾数据的统计推断中使用了这类分布。Holt和Crow（1973）和Koutrouvelis（1980）使用回归法对其密度进行了图形表示，并通过插值对其参数进行了估计。Fama和Roll（1971）提出了基于分位数方法的对称稳定分布参数估计方法，但这种方法在指数参数超过单位的非对称情况下面临传统位置参数不连续的问题。

McCulloch（1986）后来介绍了分位数方法的修正和推广。一个diMa和Nikias（1995）提出了基于分数低阶矩（FLOM）的erent参数估计技术，其中作者开发了在脉冲信号环境中估计参数的新方法。然而，他们的方法仅适用于对称稳定分布。有必要将该方法扩展到不对称系统。Kuruoglu（2001）提出了广义FLOM方法。通常，FLOM方法会带来一个挑战，即必须估计Sinc函数，而这反过来又会导致ects结果的准确性。因此，Kuruoglu（2001）提出了一种称为对数矩法（LM）的更好的估计方法，以避免计算Sinc。第三种估计方法使用最大似然（ML）。众所周知，ML方法由于其普遍性和渐近性，在经济和金融应用中受到广泛青睐效率（例如，见Yu，2004）。然而，在某些情况下，ML方法可能不可靠，尤其是当似然函数不可处理，或其不在参数空间上有界，或没有闭合形式表示时。例如，在本文中，考虑的密度没有闭合形式的表达式。然而，由于密度函数与其傅里叶变换之间存在一对一的对应关系，因此值得利用后者，因为后者总是存在且有界的。这就引出了下一种估算方法。第四种估计方法是Yu（2004）讨论的经验特征函数（ECF）方法。

虽然似然函数可以是无界的，但其傅里叶变换总是有界的，虽然似然函数可能不可处理或不可能是闭合形式，但傅里叶变换可以有闭合形式的表达式。密度函数的傅里叶变换是特征函数（CF），因此被称为经验特征函数（ECF）方法。在本文中，我们的目的是证明这种方法的性能优于所有以前提到的方法。Nolan（1997）提供了一个可用于估计稳定分布的有用软件包。285年第4页参数统计估计的更具理论性的方法：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813stableZolotarev（1980）广泛讨论了法律。对如何模拟稳定过程感兴趣的读者可以参考Weron和Weron（1995）以及Zolotarev（1986）的两篇优秀文献。这篇文章探讨了富裕而健壮的家庭背后的理论α-根据金融资产日志回报数据估计参数的稳定分布。我们讨论了四种参数估计方法，包括分位数法、对数矩法、最大似然法和经验特征函数（ECF）法。本文的贡献有两个方面：首先，我们讨论了上述参数方法，并通过误差分析研究了它们的性能。此外，我们认为ECF在广泛的形状参数值范围内的性能优于ML，α包括最接近0和2的值，并且ECF比ML具有更好的收敛速度。其次，我们将t位置尺度分布与一般稳定分布进行比较，表明前者无法捕获数据中可能存在的偏态。

通过将ECF应用于商品期货日志收益数据以获得稳定的参数，可以观察到这一点。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们基于广义中心极限定理从独立和同分布的随机变量定义了一个稳定过程及其构造，并讨论了其特征。在第三节中，我们通过特征函数研究了稳定过程的密度和分布性质。第4节解释了本文讨论的四种参数估计方法的工作原理，并对其准确性进行了分析。在第5节中，我们研究和分析了一些商品数据，发现这些数据偏离了正态分布假设。我们使用ECF从数据中获得四个稳定参数，此外，将数据拟合到各种分布，以确定数据的最接近形状，这就是我们所有数据的t位置-尺度分布。此分布适用于具有高峰值和高尾异常值的数据。然而，我们建议进行稳定的分布拟合，以检查是否存在任何现有的尾部。第6节结束。2、稳定过程稳定也称为α稳定（或等效α-稳定）过程属于一类一般的Lévy分布。它们是具有定义指数参数的限制分布α这决定了它们的形状。2.1. 定义和构造定义2.1 LetX1，X2，…，Xnbe独立且分布相同的随机变量，并假设其中定义了一个随机变量“=>” 表示分布的弱收敛性，anis为正常数，BN为实。这是一个稳定的过程，常量和二进制数不必是有限的。定义2.1允许使用稳定分布对超出常态的许多自然现象进行建模。

ANANDBN不一定必须是有限的这一事实提供了广义中心极限定理。定义2.2（广义中心极限定理Rachev（2003））假设x1，X2，…表示独立同分布随机变量的序列，并让序列∈ Randbn∈ R+. 然后我们可以定义一个SUMSZ序列，确保其分布函数弱收敛于某个极限分布：（1）S=>an（n∑i=1Xi- bn），（2）Zn：=bn（n∑i=1Xi- an）第5页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813whereH（x）是某种极限分布。传统的中心极限定理假设有限平均值：=E【Xi】和有限方差σ2:= Var【Xi】定义了sumssuch序列，其中ZN的分布函数弱收敛于HSG（x）：其中HSG（x）表示标准高斯分布。假设独立同分布的随机变量X几乎肯定等于一个正常数c，序列a和B（2）由AN=（n）定义-)candbn=，那么几乎可以肯定的是，对于所有n>0的情况，zn也等于c。在这种情况下，随机变量是相互依赖的，因此，通过定义，sumsZnbelong的极限分布是稳定的分布族。这是它们被视为稳定的原因之一。2.2。

参数化定义2.3稳定分布是由S表示的四参数族(α, β, ν, μ):(1)α ∈（0，2）是负责分布形状的特征指数。（2）β ∈ [-1，1]负责分布的偏斜。(3)ν>0是比例参数（它缩小或扩展周围的分布μ).(4)μ ∈ R是位置参数（它将分布向左或向右移动）。假设一个随机变量s服从稳定分布(α, β, ν, μ)然后随机变量Z=（s- μ)∕ν具有与s相同的形状分布，但具有位置参数μ = 0和比例参数ν = 这是它们被称为稳定的另一个原因，在任何重新缩放后，形状都会保持不变。密度α-除了高斯分布的情况外，稳定分布没有闭合形式的表示(α = 2） ，柯西(α = 1.β = 0）和反高斯或皮尔逊(α = 0.5, β =±1）分布。（1） 高斯分布n(μ, σ2） ：S2, 0,σ2.μ.（2） 柯西分布：S（1，0，ν, μ).(3)P（锌<x）=>H（x），n ∞,（4） 锌：=σnni=1Xi- 不适用,(5)P（x<Zn<x）=>x个∫xhsG（x）dx，n∞（6） hsG（x）=1√2.π经验值(-x个∕2） 。hG（x）=σ2.π经验值-（十）- μ)2.σ; -∞< x<∞.hC（x）=πνν+（1）- x） ；-∞< x<∞.第6页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813（3） Levy分布（逆高斯或Pearson）：S（1∕2, 1, ν, μ).密度通常通过傅里叶变换等变换使用特征函数计算。我们还可以参考Zolotarev（196419801986）的工作，了解稳定分布和密度函数的直接且易于计算的积分表示。di的分布函数埃伦特αDumouchel（1971年）、Fama andRoll（1968年）和Holt and Crow（1973年）将这些数值制成了表格。密度和分布特性3.1。特殊箱子（Xt、t≥0）表示Lévy过程。

XT的特征是由Lévy Khintchine公式推导出来的。定义3.1（Levy Khintchine&Applebaum，2004）LetX=（Xt）t≥0成为一个轻松的过程。存在B∈ R,σ ≥0使得X的特征函数由式1给出{·}是指示器功能，m是σ-满足约束定义3.2的有限度量（Levy It^oDecomposition Applebaum（2004））如果X是一个Lévy过程，那么就存在B∈ R, 布朗运动σ（t） 有差异σ ∈ R+和一个独立的泊松随机测度R+×(R-{0}）这样，对于每个≥ 0，其中补偿复合泊松随机测度定义为N=N- t型λ保持鞅性质。Lévy度量λ满意度（8）。通过设置σ在（7）中归零，或在（9）右边的第二项归零，在（8）中的Lévy测度归零=√νπ（十）- μ)-3.∕2经验(-ν2（x-μ)); μ<x<∞.（7） Φ（t）：=E[eitX]=经验值投标人须知-σt型+∫R-{0}（eitx- 1.- itx1x个<1） m（dx）,(8)∫R-{0}最小（1，| x |）m（dx）<∞; 或者∫R-{0}| x | 21+| x | m（dx）<∞.（9） Xt=bt+Bσ（t）+|x |<1xN（t，dx）+|x个|≥1xN（t，dx），（10）b=E十、-x个≥1xN（1，dx）.第7页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813This给出了一个纯跳跃Lévy过程，这是一个稳定分布族的简单例子。我们在下面讨论一般情况。3.2. 一般酪蛋白（St）t≥0将代表一个稳定的过程。其特征函数Φ是使用稳定随机变量吸引域的定义和定义3.1中的Lévy Khinchine表示公式获得的（见Applebaum，2004）：McCulloch（1986）讨论了参数化的替代形式，以便于数值分析。第3.4节将对此进行更多讨论。使用傅里叶变换从（12）计算出的SIS密度：图1显示了di的密度图不同的指数参数值。