外汇市场建模与在线投资组合选择

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英文标题：
《Foreign exchange market modelling and an on-line portfolio selection
  algorithm》
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作者：
Panpan Ren, Jiang-Lun Wu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we introduce a matrix-valued time series model for foreign exchange market. We then formulate trading matrices, foreign exchange options and return options (matrices), as well as on-line portfolio strategies. Moreover, we attempt to predict returns of portfolios by developing a cross rate method. This leads us to construct an on-line portfolio selection algorithm for this model. At the end, we prove the profitability and the universality of our algorithm.
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中文摘要：
本文介绍了一个外汇市场的矩阵值时间序列模型。然后，我们制定了交易矩阵、外汇期权和回报期权（矩阵）以及在线投资组合策略。此外，我们试图通过开发交叉利率方法来预测投资组合的回报。这使得我们为该模型构建了一个在线投资组合选择算法。最后，我们证明了算法的有效性和通用性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Foreign_exchange_market_modelling_and_an_on-line_portfolio_selection_algorithm.pdf (510.2 KB)

2022-6-1 01:59:39 上传

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关键词：投资组合选择 外汇市场 投资组合 Quantitative Optimization

外汇市场建模和在线投资组合选择算法潘潘任和姜伦武*英国斯旺西斯旺西大学数学系电子邮件：673788@swansea.ac.uk; j、 l。wu@swansea.ac.ukAugust24，2021摘要本文介绍了外汇市场的矩阵值时间序列模型。然后，我们制定了交易矩阵、外汇期权和回报期权（矩阵）以及在线投资组合策略。此外，我们试图通过开发交叉率方法来预测投资组合的收益。这使得我们为该模型构建了一个在线投资组合选择算法。最后，我们证明了算法的可行性和通用性。关键词：外汇市场建模、在线投资组合、优化、交叉汇率、货币兑换市场、矩阵算法。1简介在过去二十年中，已经讨论了为时间序列金融模型（有或没有交易成本）构建在线投资组合选择方案的问题，参见[2、7、3、4、1]（以及其中的参考文献）。这类研究的主要目的是开发一个通用的投资组合，以渐进地优化在线投资组合管理，这可以追溯到著名的默顿问题（[10]，另见[6，12]）。分析货币交易，或者更准确地说，建模、预测和对冲外币汇率是重要的问题，因为现代通信技术在全球范围内带来了统一的（全球）金融市场环境，使货币*对应的作者。一方面，交易所市场越来越复杂，另一方面，对微观层次模型的深入数学分析和高计算要求也越来越高。这对理论思考和计算技术都提出了深刻的挑战。

后者致力于深入的机器学习和数据分析。本文利用矩阵值时间序列对外汇市场进行建模。Weaim建立在线（通用）投资组合选择，并分析可能的优化算法。在我们即将开展的工作中，我们计划借助深度机器学习技能来检查我们的算法。我们从外汇市场的数学设置开始。我们使用平方矩阵值时间序列来表示每日成对货币汇率。固定日期的每个矩阵解释如下。我们以相同的顺序在一行和一列中列出所有货币，对角线条目仅为每种货币对其本身，上三角部分代表投资者对其他货币购买任何选定货币，下三角部分表示投资者对其他货币出售任何选定货币。从这个设置中，可以相应地制定相邻日期的交易矩阵。然后，我们定义外汇期权和回报矩阵（即回报期权）。在此基础上，可以实施在线投资组合策略和交易成本。为了避免交易过程中产生的高交易成本，必须优化相关投资组合。为此，我们引入了矩阵值在线投资组合策略的距离。并且，我们进一步基于收益矩阵合理地描述了投资组合的收益。另一方面，为了预测投资组合的回报，我们定义了回报矩阵的顺序，并从中开发了交叉利率方法。最后，我们能够建立我们的交叉速率方案，并显示我们算法的通用性。我们考虑的特点是，投资者可以通过交叉利率法应用两个特定更新的通用性来衡量其在线投资组合。

它允许投资者获得一半以上的概率机会来获得投资组合的更多收益。我们的工作受到了[6，8，1]的启发，然而，我们处理的是外汇市场的矩阵值时间序列，而那些论文只处理向量值时间序列，只考虑了两个标量状态进行完全比较。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将建立外汇市场的数学框架。在第3节中，我们全面分析了在线投资组合选择的更新规则。第4节致力于发展交叉利率法来预测收益。我们在第5节中介绍并证明了我们关于可证明性和普遍性的主要结果。在最后一节，即第6节，我们得出结论。2准备工作和数学框架2.1外汇市场首先，让我们回顾一下外汇市场的一些基本背景。全世界有164种流通的官方货币。在外汇市场，如XE，有39种不同的货币上市，可以交易。每种可交易货币对另一种货币都有其自身的价格，这被称为货币汇率。外汇市场是国际分散的货币交易金融市场，因此参与者可以按即期或确定的货币汇率买卖和兑换货币。在外汇市场上，货币被视为基础资产。因此，基础资产的价格是货币汇率。

由于货币总是在空中交易，因此货币汇率被写为每种术语货币对基础货币的汇率。例如，0.7英镑/1美元意味着1美元（简称美元）可以兑换成0.7英镑（简称英镑），其中“$”是基础货币，英镑是报价货币（对等货币）。所以我们说英镑对美元的汇率是0.7。相反，美元对英镑的货币汇率为1美元/lb0.7=1.429。根据上述货币汇率，同时持有100英镑和100美元的投资者可以卖出100英镑获得142.9美元，卖出100美元获得70英镑。事实上，买卖一种货币的货币汇率之间的关系是成反比的。让我们以英镑和美元对为例来阐述外汇市场的机制。下图显示了2016年英镑对美元的汇率。我们假设该银行的总部位于英国。在下面的内容中，我们将逐一详细介绍图（1）和图（2）。关于图（1），o横轴是从第1天到第365天的时间参数，纵轴代表英镑和美元的货币汇率；o绿线代表英镑对美元的汇率，这是英国银行美元的售价；o红线表示美元对英镑的汇率，这是该银行在英国购买美元的价格；o蓝线表示美元兑英镑的中间价，等于买入价（见绿线）加卖出价（见红线）的一半。图1：货币汇率由于货币汇率的波动性，银行在买卖货币时也会因价格波动而承担风险。

因此，每家银行根据基准汇率采用不同的货币汇率。同时，每一笔货币交易都将向交易员收取费用。关于图（2），o绿线取自图（1），这是银行的基准利率。根据外汇市场的机制，银行调整自己的货币汇率，以对冲价格波动带来的风险。另一方面，粉线和黑线之间的差距是银行获得的利润粉线是卖出外币（即美元）的银行报价，高于同期的基准利率黑线代表购买外币（即美元）的银行报价，低于同期的基准利率。就投资者而言，当他们购买外币时，最好看一看粉线（图（2）），如果他们出售外币，最好看一看黑线。因此，如果投资者在某一时刻购买外币，那么投资者的利润在很大程度上取决于投资者在下一时刻出售购买的货币时卖出外币汇率的银行报价（参见图（2）中的粉红色线）。正如我们所知，有许多因素会对货币汇率产生影响（参见[11]和其中的参考文献）。然而，在本论文中，我们将不详述相应的影响因素。在这项工作中，我们对收益预测以及是否存在优化货币投资组合的算法感兴趣。2.2我们的外汇市场设置在介绍外汇市场的设置之前，让我们介绍一些符号和术语。设N>1为固定整数，称为外汇市场投资期。

在本文中，我们假设有m（>1）种不同的货币可以在外汇市场上交易。按∧：={1，…，m}设置（有序）货币列表，按∧：={1，…，N}设置交易日期每对（i，j）∈ ∧×∧当i<j时，我们使用\'s（k）ij表示投资者在k日通过（本币）i购买外币j的汇率∈ Λ; 对于i>j，s（k）ij代表投资者在k日卖出外币j以获得本币i的货币汇率∈ Λ.o 请注意，每对m种不同货币都有相应的货币汇率（实际上，总对数为m和m-1） 不同的配对）。因此，日期k和相邻日期k+1的货币汇率可以由两个平方矩阵构成，分别用S（k）和S（k+1）表示，如下所示（k）=s（k）～s（k）··········································。。。。。。。。。。。。s（k）m1s（k）m2···s（k）mm（2.1）andS（k+1）=s（k+1）～s（k+1）······（k+1）1ms（k+1）s（k+1）····（k+1）2m。。。。。。。。。。。。s（k+1）m1s（k+1）m2···s（k+1）mm. （2.2）o对于方阵，主对角线上方的条目称为上三角部分，主对角线下方的条目称为下三角部分。（2.1）和（2.2）中分别定义的S（k）和S（k+1）的上三角部分和下三角部分分别是卖出和买入外币的银行报价对于j=i，s（.）Ij是指货币i在k日对其自身的汇率∈ Λ. 为简单起见，我们设置s（.）ij=1。o从银行的角度来看，假设ij>s（.）ij>0。因此，s（.）之间存在agapIJ和s（.）ijso存在ε>0满足's（.）ij公司-s（.）ij=2ε。

观察参数ε将根据现货市场的交易金额进行更改根据外汇市场机制（如图（2）），当进行外汇交易时，投资者在k日买入（或卖出）外汇，然后在k+1日卖出（或买入）外汇。然后，我们有以下两个矩阵，供投资者在不同时间进行货币交易。S（k）（k+1）=s（k）～s（k）···········································。。。。。。。。。。。。s（k+1）m1s（k+1）m2···s（k）mm,andS（k+1）（k）=s（k+1）～s（k+1）······（k+1）1ms（k）s（k）·····（k+1）2m。。。。。。。。。。。。s（k）m1s（k）m2···s（k）mm,其中，S（k）（k+1）（分别S（k+1）（k））的下三角部分是投资者在k（分别k+1）日出售（分别购买）外币的汇率，S（k）（k+1）（分别S（k+1）（k））的上三角部分是投资者在k+1（分别k）日购买外币的汇率假设投资者持有本国货币i，其中总价值为Xi。在k日，投资者通过本币i购买外币j，其价值等于Xi（k）ij，那么我们的外币价值为Xj（=Xi（k）ij）。在dayk+1时，投资者出售外币XJT以获得本币Xi接下来，让我们定义两个外汇选项^′s（k+1）ij和^s（k+1）ij，分别用于k+1日的货币汇率，由^′s（k+1）ij=（s（k+1）ij，s（k+1）ij>s（k）ij 0，其他（2.3）s（k+1）ij=（s（k+1）ij，’s（k+1）ij>s（k）ij 0，其他（2.4），即如果不可盈利，则不对投资者进行投资。o对于k日市场上的（i，j）TH货币对，k日和k+1日的回报率可分别表示为“r（k）ij，r（k）ij和”r（k+1）ij，r（k+1）ij。

设s（ko）ij和s（ko）ij为k日的期初汇率，并用s（kc）ij和s（kc）ij表示（i，j）TH货币对的收盘汇率，则我们有以下r（k）ij=\'s（ko）ijs（kc）ij，\'s（ko）ij>s（kc）ij 0，其他；r（k+1）ij=\'s（ko）ijs（k+1）cij，\'s（ko）ij>s（k+1）cij0，其他（2.5）和r（k）ij=s（ko）ij's（kc）ij，s（ko）ij>'s（kc）ij0，其他；r（k+1）ij=s（ko）ij's（k+1）cij，s（ko）ij>'s（k+1）cij0，其他。（2.6）o在交易日k和k+1，m货币兑换交易的回报矩阵R（k）和R（k+1）分别由R（k）定义=r（k）–r（k）·····r（k）1mr（k）r（k）·····r（k）2m。。。。。。。。。。。。r（k）m1r（k）m2···r（k）mm（2.7）andR（k+1）=r（k）(R)r（k+1）···'r（k+1）1mr（k+1）r（k）···'r（k+1）2m。。。。。。。。。。。。r（k+1）m1r（k+1）m2···r（k+1）mm. （2.8）请注意，r（.）ij6=0，每当r（.）ji=0，且相互为r（.）ij6=0，无论何时ji=0。此外，r（.）对于i=j，ji=0。在文献中，回报矩阵R（k）也被称为相对价格，例如参见[1]。o对于m种不同货币的每一对（i，j），让ψ（k）ij表示投资者在k日持有的全部资本的比例，以通过本币i购买外币j。然后，kc日m种不同货币的投资组合矩阵ψ（k）可以表示为ψ（k）=ψ（k）ψ（k）··ψ（k）1mψ（k）ψ（k）··ψ（k）2m。。。。。。。。。。。。ψ（k）m1ψ（k）m2···ψ（k）mm. （2.9）注意，对于i，j∈ ∧，ψ（k）ij≥ 0，ψ（k）ii=0，Pmi，j=1ψ（k）ij=1。

在下面的内容中，让P（k）是k日m种不同货币的所有投资组合矩阵的集合，即P（k）：=nψ（k）∈ Rm Rm：Xi，j∈∧ψ（k）ij=1，ψ（k）ij>0，ψ（k）ii=0，i，j∈ ∧o，其中Rm rm表示m×m矩阵的总和对于A=（aij）m×m，B=（bij）m×m∈ Rm Rm，我们通过以下方式定义产品 B：=（cij）m×m∈ Rm Rm，（2.10），其中cij：=aijbij.o返回矩阵ψ（k） 投资组合矩阵ψ（k）的R（k）由ψ（k）给出 R（k）=0ψ（k）’r（k）···ψ（k）1m’r（k）1mψ（k）r（k）0···ψ（k）2m’r（k）2m。。。。。。。。。。。。ψ（k）m1r（k）m1ψ（k）m2r（k）m2···0根据（2.10）。o设Fkbe为投资者在k日结束时持有的资本，TKT为k日收取的交易成本。我们假设k日结束时的资本与k+1日的行将相同。当考虑交易成本时，让FK为k日的总资金。显然，Fk=Fk-1.- Tk，k>1。（2.11）o设置ψ（k） R（k）：=1 1 ··· 1（1×m）ψ（k） R（k）...（m×1）。因此，可以明显看到标量值ψ（k） R（k）=mXi，j=1ψ（k）ij\'\'r（k）ij+r（k）ij（2.12）并且，通过考虑交易成本，我们得到Fk=Fk（ψ（k） R（k））。（2.13）2.3在线投资组合策略由于货币汇率的高波动性，投资者倾向于频繁调整投资策略。