时间不一致停止问题的最优均衡

此外，假设（2.1）中的转移核Q在弱星拓扑i下是下半连续的。e、 对于任何有界Borel可测g：X 7→ R和{xn}n∈Nin X带xn→ x、 lim信息→∞ZXg（y）Q（xn，dy）≥ZXg（y）Q（x，dy）。（4.10）然后，S*:=TS∈ES是最优平衡。证据对于任何S∈ B（X），观察J（X，ρ（X，S））可以表示为J（X，ρ（X，S））=ZXI（y，S）Q（X，dy），其中i（y，S）：=Ey[δ（ρ*（y，S）+1）Xρ*（y，S）]和ρ*（y，S）定义如（4.2）所示。因此，under（4.10），J（x，ρ（x，S））在x中是下半连续的。现在，如果S是另外一个平衡，那么S=Θ（S）={x∈ X:f（X）≥ J（x，ρ（x，S））}是x的闭S子集，这得益于f的上半连续性和J（·，ρ（·，S））的下半连续性。因此，S*:=TS∈ES也是闭合的，因此Borel是可测量的。因为S是闭合的，所以1对于所有S都是上半连续的∈ E、 [3]中的命题4.1断言可数子集（Sn）n的存在性∈不是这样的*= infS∈ES=infn∈NSn。（4.11）因此S*=田纳西州∈NSn。现在，让T：=S。通过注释4.1中的相同参数，T：=（T∩ S）∞ T∩ Sis与J（x，ρ（x，T））的平衡≥ J（x，ρ（x，T））对于所有x∈ 十、 类似地，T：=（T∩ S）∞ T∩ Sis与J（x，ρ（x，T））的平衡≥ J（x，ρ（x，T））对于所有x∈ 十、 重复此过程，我们得到（Tn）n∈使Tn+1 田纳西州∩ Sn+1和J（x，ρ（x，Tn+1））≥J（x，ρ（x，Tn））对于所有n∈ N、 因此，S*=\\S∈锿\\n∈NTn公司\\n∈NSn=S*,这意味着S*=田纳西州∈NTn。然后，通过遵循定理3.1证明中的相同论点，用Tn替换Θn（S），我们可以证明*是一种平衡。因此，由于命题4.2，它是最优均衡。当f为下半连续时，最优平衡的存在性仍然成立。定理4.2。假设（3.2）成立，f是下半连续的，（2.1）中的转移核Q在弱星拓扑下是下半连续的，如（4.10）所述。

然后，S*:=TS∈ESis是最佳平衡。证据正如定理4.1的证明所示，（4.10）意味着对于任何S，J（x，ρ（x，S））在x上是下半连续的∈ B（X）。因此，V（x，S）=f（x）∨ 对于任意S，J（x，ρ（x，S））在x上是下半连续的∈ E、 根据[3]中的命题4.1，存在（Sn）n∈在这种情况下∈EV（x，S）=supn∈NV（x，Sn），x个∈ 十、 （4.12）设T：=X，T：=S。通过注释4.1中的相同参数，T：=（T∩ S）∞ T∩ 具有J（x，ρ（x，T））的Sis非平衡≥ J（x，ρ（x，T））对于所有x∈ 十、 类似地，T：=（T∩ S）∞ T∩ Sis与J（x，ρ（x，T））的平衡≥ J（x，ρ（x，T））对于所有x∈ 十、 重复此过程，weget（Tn）n∈以使Tn 田纳西州-1.∩ Snand J（x，ρ（x，Tn+1））≥ J（x，ρ（x，Tn））对于所有n∈ N、 现在，通过遵循定理3.1证明中的相同参数，用Tn替换ΘN（S），我们可以证明*:=田纳西州∈NTnis平衡和J（x，ρ（x，T*)) ≥ J（x，ρ（x，Tn））对于所有x∈ X和n∈ N、 召回Tn 田纳西州-1.∩ Snand（4.3），每个x∈ X我们有j（X，ρ（X，T*)) ≥ J（x，ρ（x，Tn））=J（x，ρ（x，Tn）∩ 序号））≥ J（x，ρ（x，Sn）），n∈ N、 这意味着V（x，T*) ≥ V（x，Sn）表示所有x∈ X和n∈ N、 因此，我们从（4.12）得出结论∈EV（x，S）=V（x，T*), x个∈ 十、 也就是说，T*是一个最优平衡。根据提案4.1，T*=TS∈ES=S*.备注4.2。如果X是一个有限集或可数集，则在X的离散拓扑y下，f和（4.10）的半连续性都可以满足。但是，当X不可数时，不能再使用离散拓扑。这是因为当X不可数时，离散拓扑所产生的度量空间是不可分的，因此禁止使用[3]中的命题4.1，这是定理4.1证明的关键步骤。我们为（4.10）提供以下有效条件。备注4.3。假设，对于任何x∈ 十、 转移核Q（X，·）允许概率密度函数。

也就是说，Q（x，dy）=Q（x，y）dy→ q（x，y）对于每个y都是下半连续的∈ 十、 那么Q在弱星拓扑下是连续的，即对于任何有界Borel可测g:X 7→ R和{xn}n∈Nin X带xn→ x、 limn公司→∞ZXg（y）Q（xn，dy）=ZXg（y）Q（x，dy）。（4.13）实际上，对于任何可测量的Borel，g:X 7→ R带C：=s upx∈X | g（X）|<∞, Fatou引理giveslim infn→∞ZX（C±g（y））q（xn，y）dy≥ZX（C±g（y））q（x，y）dy。这意味着lim supn→∞ZXg（y）q（xn，y）dy≤ZXg（y）q（x，y）dy≤ lim信息→∞ZXg（y）q（xn，y）dy，因此（4.13）如下。5.为了说明我们的理论结果，我们在本节中重点讨论了一个实际的s-Toping问题。我们的目标是明确描述最优均衡。考虑离散时间二项模型中的资产价格过程X。具体地说，让u>1，并假设X取X中的值：={ui:i=0，±1，±2，…}。假设存在p∈ （0，1）使得P=P（Xt+1/Xt=u）和1- p=p（Xt+1/Xt=u-1), t=0，1，2。。。此外，我们假设X是一个子鞅，它对应于ds和条件p≥u+1。设payoff（or，pro-fit）函数为f（x）：=（K- x）+在x上，其中K>0是给定常数。此外，考虑双曲贴现函数δ（t）：=1+βt∈ N∪ {0}，其中β>0是给定的常数。可以很容易地验证（3.2）是满足的。然后目标函数（2.2）变为j（x，τ）=Ex（K）- Xτ）+1+βτ.这可以被视为一个实物期权问题，公司的管理层考虑一个投资计划，该投资计划具有恒定的收入K和随机的成本X，并希望决定何时实施。找到最佳平衡点*=TS∈因此，我们需要首先描述所有平衡的集合。从推论3.1可以看出E是非空的。引理5.1。对于任何S∈ E、 S=（0，y）∩ X代表一些y∈ （0，K）。证据修复S∈ E、 我们将证明 （0，K）∩ 十、 备注2.4，第6节=.

请注意，s必须相交（0，K）。确实，如果S∩ （0，K）=, 那么J（x，ρ（x，S））=0<（K- x） +=所有x的f（x）∈ 十、∩ （0，K），这与S∈ E、 现在，假设相反∩ [K，∞) 6= . 取x：=最小{S∩ [K，∞)}. 按定义，x∈ S和x≥ K、 这个，和S一起∩ （0，K）6=, 表示Px（Xρ（X，S）<K）>0。下面是f（x）=（K- x） +=0<Ex（K）- Xρ（X，S））+1+βρ（X，S）= J（x，ρ（x，S））。这意味着x/∈ S、 矛盾。现在，为了证明期望的结果，假设存在∈ E等于6=（0，y）∩ X代表任意y∈ （0，K）。那么，必须存在x∈ X\\S使得（X，∞) ∩ S 6=. Setw：=最大{（0，x）∩ S} z：=min{（x，∞) ∩ S} 。然后我们有w<x<z<K，其中最后的不等式来自S （0，K）∩ X已在上面建立。由于X是一个子鞅，f（X）=K- x个≥ 前任K- Xρ（X，{w，z}）1+βρ（X，{w，z}）= 前任（K）- Xρ（X，S））+1+βρ（X，S）= J（x，ρ（x，S））。然而，这与x相矛盾/∈ S和S∈ E、 引理5.1后面的一个自然问题是y的值∈ （0，K）集合S=（0，y）∩ Xis是一种平衡。要回答这个问题，我们需要仔细分析随机游动。具体地说，假设Y是某个概率空间上定义的随机游走（“”Ohm,\'F，P）使得P（Yt+1- Yt=1）=p和p（Yt+1- Yt=-1) = 1 - pt=0，1，2。。。考虑ξ：=inf{t≥ 0：Yt=0}和定义αn：=En1 + βξn∈ N和α′：=E1 + β(ξ + 1), （5.1）式中，Ende注意到P条件下Y=n的期望值。注意αn，n∈ N、 dα′都可以显式计算。例如，α=∞Xk=12公里- 1公里主键-1(1 - p） k2k级- 1·1+β（2k- 1), α′=∞Xk=12公里- 1公里主键-1(1 - p） k2k级- 1·1+2βk.（5.2）下一个结果为形式（0，y）的平衡建立了y的上界∩ 十、 引理5.2。如果S=（0，y）∩ 对于某些y，X属于E∈ S∩（0，K），我们必须有y≤ U·K，其中U：=1-1.-p1+β- pα′1-1.-pu（1+β）- pα′。（5.3）证明。

鉴于S∈ E和y∈ S∩ （0，K），我们有K- y=f（y）≥ J（y，ρ（y，S））=Ey（K）- Xρ（y，S））+1+βρ（y，S）= （1）- p） ·K- 于-11+β+p·（K- y） α′（5.4），其中α′的定义如（5.1）所示。求解上述y不等式可得到所需的结果。下一个结果为形式（0，y）的平衡建立了y的下界∩ 十、 引理5.3。如果S=（0，y）∩ 对于某些y，X渴望E∈ S∩ （0，K），我们必须有y>L·K，其中L：=1- αu- α. （5.5）证明。由于L<uby定义，y的期望结果微不足道≥ K/u。在下面，我们假设y<K/u.S，因为u>1，我们有y<yu<K，这特别意味着yu/∈ S、 接下来就是thatK- yu=f（yu）<J（yu，ρ（yu，S））=Ey u（K）- Xρ（yu，S））+1+βρ（yu，S）, （5.6）其中不等式来自于yu/∈ S和S∈ E、 注意ρ（yu，S）=inf{t≥ 1：Xy ut=y}，我们意识到上面右侧的期望可以减少为包含随机游动y的期望，即Ey u（K）- Xρ（yu，S））+1+βρ（yu，S）= 安永大学K- y1+βρ（yu，S）= EK- y1+βξ= α（K- y） 。（5.7）组合（5.6）和（5.7）得到y>1-αu-αK，根据需要。我们打算证明，（5.3）和（5.5）中的上下界U和L实际上是尖锐的，这导致了E的完整特征。为此，我们需要以下估计。引理5.4。αn≥ （α） n，全部n∈ N、 证明。设{FYt}t≥0是Y生成的自然过滤。对于任意n∈ N、 考虑σ：=inf{k≥0：Yk=n- 1}. 那么我们有αn=En1 + βξ= 恩恩1 + βξFYσ≥ 恩恩1 + βσ·1 + β(ξ - σ）FYσ= 恩1+βσEn1 + β(ξ - σ）FYσ= αn-1En1 + βσ= αn-1· α.然后，从归纳论点中得出所需的结果。现在可以描述E的完整特征，进而给出最佳平衡的显式公式。提案5.1。S∈ E当且仅当S=（0，y）∩ X代表一些y∈ （L·K，U·K）∩ 十、 其中（5.3）和（5.5）中给出了UAN和L。

因此，S*= （0，y*] ∩ X是最优平衡，y*:= 最小{（L·K，∞) ∩ 十} 。证据效率来自引理5.1、5.2和5.3。对于必要性，考虑S=（0，y）∩ X代表一些y∈ （英国LK）∩ 十、 我们打算证实这一点∈ E、 修复x∈ S、 如果x<y，则从y开始≤ U·K<K，根据X是一个子鞅的事实，并使用可选采样定理，f（X）=K- x>ExK- Xρ（X，S）1+βρ（X，S）= J（x，ρ（x，S））。另一方面，如果x=y，（5.4）中的相同参数给出了j（x，ρ（x，S））=（1- p） ·K- 于-11+β+p·（K- y） α′型≤ K- y=f（y），其中不等式是由y引起的≤ 因此，我们得出结论f（x）≥ J（x，ρ（x，S））对于所有x∈ S、 现在，fix∈ X\\S.如果X≥ K、 显而易见的lyf（x）=（K- x） +=0<Ex（K）- Xρ（X，S））+1+βρ（X，S）= J（x，ρ（x，S））。如果x<K，由于x>y，因此必须存在n∈ N以便yun-1<x=yun。由于y>L·K和U>1，y>L·K·1+α+（α）+…+（α） n个-1牛顿-1+un-2α+un-3(α)+ ... + （α） n个-1=1 - （α） 修女- （α） nK。（5.8）回忆αnin（5.1），观察j（x，ρ（x，S））=ExK- y1+βρ（x，S）= （K）- y） αn≥ （K）- y） （α）n>K- yun=K- x=f（x），其中第一个不等式源自引理5.4，第二个不等式源自引理（5.8）。因此，我们得出结论，对于所有x，f（x）<J（x，ρ（x，S））/∈ S、 这很容易表明∈ E、 这个命题的第二个断言来自定理4.1或定理4.2。备注5.1（数值结果）。设β=0.2，u=1.3，p=0.5，K=1。

然后X={…，（1.3）-2, (1.3)-1, 1, 1.3, (1.3), ...}, L=0.5814，U=0.7737（乘以（5.5），（5.3）和（5.2））。自（L·K，R·K）∩ X=（0.5814，0.7737）∩ X={（1.3）-2, (1.3)-1} ，我们从命题5.1得出结论，E={（0，（1.3）-2] ∩ 十、 （0，（1.3）-1] ∩ 十} ={（0，0.5917）∩ 十、 （0，0.7692）∩ 十} ，和（0，0.5917）∩ X是最佳平衡。6结论对于离散时间中的时间不一致问题，当时间范围不确定时，第1节中提出的问题（a）和（b）是相反的。在本文中，我们重点研究了非指数贴现下的有限期停止问题，并开发了迭代方法来解决（a）和（b）。迭代方法的动机是Huang和NguyenHuu的连续时间框架【12】。然而，当前的离散时间设置导致了根本的差异。首先，当使用本pap er中的符号重新表述时，[12，命题3.2]指出∈NΘN（S）是一个平衡，只要S Θ（S）在第一次迭代中保持不变。当条件S Θ（S）在连续时间内很容易满足（如【12，备注3.5】中所述），但在一般不明确的时间内则不成立。对此，我们以相反的方式发展定点迭代：定理3.1表明∈NΘN（S）是一个平衡，只要N（S） S在第一次迭代中保持不变。这尤其导致了最优平衡的存在（定理4.1和d 4.2），这是一个在连续时间内尚未建立的结果。请注意，本文中的证明是关于时间结构的，不能明显地推广到连续时间。因此，作为一个未来的研究项目，有兴趣调查一个最优平衡点是否在连续时间内存在。参考文献[1]G.Ainslie，《皮经济学》，剑桥大学出版社，英国剑桥，1992年。[2] G。

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