金融市场的二阶随机微分模型

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英文标题：
《Second order stochastic differential models for financial markets》
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作者：
Nguyen Tien Zung
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Using agent-based modelling, empirical evidence and physical ideas, such as the energy function and the fact that the phase space must have twice the dimension of the configuration space, we argue that the stochastic differential equations which describe the motion of financial prices with respect to real world probability measures should be of second order (and non-Markovian), instead of first order models \\`a la Bachelier--Samuelson. Our theoretical result in stochastic dynamical systems shows that one cannot correctly reduce second order models to first order models by simply forgetting about momenta. We propose some simple second order models, including a stochastic constrained n-oscillator, which can explain many market phenomena, such as boom-bust cycles, stochastic quasi-periodic behavior, and \"hot money\" going from one market sector to another.
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中文摘要：
利用基于主体的建模、经验证据和物理思想，如能量函数和相空间必须具有两倍于配置空间维数的事实，我们认为，描述金融价格相对于真实世界概率测度的运动的随机微分方程应为二阶（非马尔可夫），而不是一阶模型——一个单身汉——萨缪尔森。我们在随机动力系统中的理论结果表明，仅仅忘记动量是不能正确地将二阶模型简化为一阶模型的。我们提出了一些简单的二阶模型，包括一个随机约束的n-振子，它可以解释许多市场现象，如繁荣-萧条周期、随机准周期行为和“热钱”从一个市场部门流向另一个市场部门。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Second_order_stochastic_differential_models_for_financial_markets.pdf (1.42 MB)

2022-6-1 03:51:26 上传

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关键词：金融市场 随机微分 Quantitative Mathematical Differential

金融市场的二阶随机微分模型Guyen TIEN ZUNGAbstract。对于配置空间，我们认为随机微分方程应该是二阶（非马尔可夫）的，而不是一阶模型，即Labacheler-Samuelson。我们在随机动力系统中的理论结果表明，不能通过简单的随机约束n-振子将二阶模型正确地简化为一阶模型，这可以解释许多市场现象，如繁荣-萧条周期、随机准周期行为和从一个市场部门流向另一个市场部门的“热钱”。内容1、导言12。随机约化的不可行定理33。市场参与者和市场能源54。作为阻尼随机振荡器的个股75。市场格局96。作为受限n振荡器的市场13确认20参考201。金融价格变动模型应为二阶，而非市场假设的引入度量（Introductionmeasure）[14]。当然，Black–Scholes–Merton期权定价公式[，]，源自一阶SDE（1）dSS=udt+σdBt，arXiv:1707.05419v1[q-fin.MF]2017年7月18日阮田尊，其中u是标的资产的价格，u是漂移参数，σ是波动系数，Bt是维纳过程，是一个有效的公式，以一些修正为模，由于跳跃和厚尾[]。然而，方程式（1）本身仅对风险中性度量有效，而对现实世界的概率度量无效，并且它无法解释市场中的许多现象，例如繁荣-萧条周期。

对于投资和风险管理，需要比这个等式更现实的模型。必须具有两倍于配置空间的维数，例如，当配置空间为manifold时，其自然相空间为正切或余切束二阶微分方程，带有噪声引起的随机项。事实上，这是J.Doyne Farmer于1997年在巴黎7号提出的，他是复杂系统茎基于代理建模的先驱，尽管没有公开的书面文本。该理论的要素：o股票价格的运动方程，它导致了许多可见的市场现象，如繁荣-萧条周期和波动的持续性许多组成部分：动能市场能量、潜在市场能量、热力学市场能量等。每种类型的市场能量对应于某些类型的代理层和对冲策略等。管理层需要二阶模型。（有人可能会猜测，许多Tradingshop实际上正在使用它们。）nsame部门经常一起移动，“热钱”可以从一个股票或部门跳到另一个股票或部门（部门之间的市场能量转移）。金融市场的二阶随机微分模型3保守系统的运动方程写为（参见，例如，[2]）（2）˙xi=H圆周率；˙pi=-Hxi，其中（xi）是配置空间（即空间变量）上的坐标，（pi）xit配置空间，H=H（pi，xi）是总能量（即哈密顿函数）。

动量（pi）和速度（vi=˙xi）之间的关系ispi=mivi=mi˙xi，其中mi是粒子数i的质量。pi（2）仅是配置变量（xi），它们是一个二阶微分系统，由待定义的总市场能量、方程式（2）以及一些噪声项、外力和阻尼项组成，可以作为长期二阶微分方程，比一阶模型好得多。这篇论文的其余部分组织如下：博士生（毕业后去银行工作）随机动力系统简化的不可行定理：一个人不能简单地简化系统，即使不能用置信度来衡量，也应该在与股价相同的基础上输入方程作为变量，不仅仅是单个股票的常数或随机振荡器模型，还有一些修正。在第5节中，我们讨论了一些可以用市场能量和其他类似物理的论点来解释的技术分析模式。最后，在第6节中，我们提出了一个多股票市场的简单约束N振子模型。2、Ito形式的随机约化的No go定理，但对于全局分析，将其写成下面的Stratonovich形式可能更方便，这可以在无坐标的方式下完成，并且NGUYEN TIEN Zung在变量变化下表现良好：（3）dxt=Xdt+kXi=1Xio dBit，xMX，X。XkMBt，Btkare独立维纳过程，参见，例如[，，，]。

该SDS生成一个连续时间随机动力系统（SDS），其关联随机向量场为：X=X+kXi=1Xio其扩散算子为：AX=X+kXXi。x个∈ xbyxtx时间后x的随机位置，通过SDS的随机流，然后对于M上的任何光滑函数f，我们得到（AXf）（x）=limt→0Ex【f（xt）】- f（x）t.MMof下面的定理很简单，请参见[39]：定理2.1。M→ NMto a歧管DN，letX=X+kXi=1XiodBitdtbe是SDS onM。然后是差异xnfn→ Rx，y∈ Mxyalso有（4）个AX（Φ*（f） （x））=AX（Φ*（f） （y））其中x是x的微分算子。如果满足该条件且Φ为asubmersion，则N上的预测扩散过程由N上的SDS生成。如果nx=Xis为光滑确定性系统，则确定性xmnx，y∈ Mxy公司*Xx号*XY满足此条件，然后将X投影到N上的平滑向量场。特别是，ifM=T*范数=T是n的余切或正切束，满射映射Φ是投影映射，我们的二阶模型是SDSonM，那么一般来说，上述定理的条件不可能使金融市场的二阶随机微分模型5忘记动量。即使二阶模型是确定性的，westill也无法将其简化为随机一阶系统。所以定理2.1是随机模型降维的一种不可行定理。（除非存在一些明显的对称性，在这种情况下，系统可以缩小）。一个人所做的是还原，而是一种粗鲁的近似。3、金融市场的市场参与者和市场能量（参见，例如，[，，，，，，，，，，，，]），以制定击败市场的策略。尽管如此，我们在这些著作中并没有看到市场能量的概念，尽管引入的一些市场方程看起来像哈密顿量。

我们相信，这是一个非常有用的概念，不仅对于我们的论文，而且对于其他基于代理的模型也是如此。（Euler-Lagrange）拉格朗日公式中的方程，使用作用函数，作用函数也是能量分量和外力的函数。金融价格的变动（以及外部力量和噪音）。与物理学一样，市场能量可以分解为几个组成部分的总和，如下所示。潜在市场能量。认为价值被低估/高估。因此，当资产价格与其平均感知公允价值水平不同时，价格与公允价值之间的差异会产生价值投资者潜在的净总买入或卖出行为，即潜在的市场能量。对于价格动量的变化，因为导数越高，参与者的反应就越多）与错误定价水平近似成比例。潜在能量函数可能有几个“重心”，即几个不同的价值，可以假装为“平均公允价值”，有两个特定的价值投资者群体：乐观主义者和悲观主义者。期权投资者对亚视股票的公允价值有自己的看法，但如果价格跌得太低，他们可能会破产或太沮丧而无法购买。相反，资本家认为股票的公允价值为atV，但不会有Venergy函数，它可能看起来像一个双井势，在Vand V.6有两个底部（吸引盆地）。NGUYEN TIEN ZUNGOne可能还会考虑其他情况，其中势能函数更为复杂。尽管如此，我们可以安全地假设，当错误定价水平上升到单位时，当价格x上升到单位时，该函数上升到单位。市场动能。到动量的平方。

（交易既是买入也是卖出，但也会有一些投资策略，这些策略本身不是“追逐动量”，但仍会增加“卖出生卖出”的市场动能，例如“业绩保险公司”和对冲策略，它们被认为是1987年股市崩盘的罪魁祸首（见[24，26]）。热力学市场能源。像布朗运动一样嘈杂的运动。市场中的这种噪音由大量的微观运动组成，这些运动大多会相互抵消方向，可能与市场的热力学能量（热量）有关，并导致价格运动方程中的随机项。为市场提供流动性而不押注其成本、买卖价差的做市商），因此，市场的机械能水平可能会缓慢地转变为机械能（至少在没有外部能源的潮湿地区。化学市场能和其他能量成分。反应。在力学中，人们经常忽略这种能量和其他能量成分，假设它们是不变的（因此对方程没有影响）。为了简单起见，在本文中我们将忽略这些类型的市场能量。市场能量、交易量和波动性。此外，市场中交易量和波动性的持续性（长期记忆），参见，例如，[25]。

我们在这里提议用市场能量来解释这些现象。成交量和波动性都与市场能量呈正相关：成交量与市场动能成正比，金融市场波动性二阶随机微分模型7的平方与部分动能成正比。因此，人们可以推测，波动率与成交量的平方根密切相关。这也是为什么成交量和波动率高度正相关的另一种说法。如果忽略外力和耗散，那么市场能量是守恒的。由于这个守恒原理，能量一般不守恒，因为系统不是封闭的，但它不会很快变化。这就是为什么成交量和波动率都有记忆。另一种解释来自整个市场的准周期性（见第6节）：每个股票的市场能量也以随机准周期的方式变化。4、作为阻尼随机振荡器的个股4.1。模型。金融市场最简单的模型之一是阻尼随机振荡器，可用于单个金融资产或商品的价格变动，如黄金、石油、SP500指数或欧元/美元汇率等。在该模型中，随机动力系统由随机向量场给出（见[39]）：（5）X=Xh+D+σBon辛空间（R，ω=dx∧ dy），其中（6）D=-f（qx+y）。（十）x+yy） 是阻尼项，（7）B=x个odBtdt+yoDBTDT是二维布朗运动（噪声）的发生器，σ是波动系数（噪声的振幅），而（8）h=（x+y）是资产的市场能量。

这就是错误定价，也是动力。xP系统- VxlnP/Vpvas认为价格变化很大，但公允价值随时间变化非常缓慢，因此大部分的价格变化反映在x的变化中）。这里的单位（时间、价格等）已经标准化了，因此h表示最简单的形式h=（x+y）。该模型具有aSO（2）-对称性，使其成为一个可积随机系统，易于研究（见[39]）。耗散项由市场摩擦（如交易费用）引起，并对市场产生能量损失影响。另一方面，噪音术语具有8 NGUYEN TIEN Zungergy增强效果。这两种效应以随机方式相互抵消。如果能量足够大）。上述简单的振子模型有点过于简单，因为一只股票尽管如此，它显示了现实世界金融市场的随机准周期性和繁荣-萧条周期。让我们看两个例子：黄金价格和欧元/美元汇率。图1：。1970年至2017年7月，通货膨胀调整后的黄金价格。由宏观趋势绘制的图表。net4.2。黄金价格就像一个嘈杂的振荡器。图1是自1970年（就在美国放弃最后一次黄金挂钩汇率=42.22美元之前不久）至本文撰写之日（2017年7月）的历史黄金价格波动调整图。没有人知道振荡器模型）。在20世纪70年代末和80年代，黄金的价格是，所以我们可以假设，当时的公允价值大约是这些数字。当金融市场的二阶随机微分模型9黄金在2000年达到200美元/盎司（或在2017年的美元中低于400美元）时，根据振荡器模型，它的价格会变得非常低，从而产生巨大的潜在投机能量，导致随后的大幅上涨。

在20世纪10年代，黄金的公允价值不必说是恒定的，但由于世界经济的增长、黄金供应的增长和其他因素，黄金的公允价值可能会发生变化，但简单地说，我们假设在过去30-40年中变化不大。如果价格上涨，比如说30%，很可能定价过高，但由于积极的势头，价格继续上涨。最终，这种势头消失了，剩下的是一个巨大的潜在投机——从2011年的峰值近2000美元/盎司到目前的1200美元/盎司。大幅波动，即在这段时间内，投机的能量似乎消失了。这种市场损失模型表明，投机能量（几乎可以肯定）永远不会消失，但会在一定的能量水平上波动。然而，这可以通过使用市场的多体模型来解释，其中投机能量（或金融术语中的热钱）可以从市场的一个组成部分转移到另一个组成部分。评论时光倒流，goldchartsrus提供的免费图表。com公司（欧元/美元汇率在450美元/盎司左右波动了很多次，很少超过几个世纪前的水平。4.3.EUR/USD汇率。图2是过去20年历史上欧元/美元汇率的图表。由于美国和欧元区有轻微的“价格”曲线，图2也给出了这一曲线。PPP周围欧元/美元汇率的准周期振荡性质从图2中可以清楚地看到。然而，人们可能会注意到，潜在的能量函数看起来更像一个双井函数（乐观者和悲观者认为欧元/美元的公允价值）而不是一个单井。5、市场模式大量使用技术分析，即寻找市场模式。基于代理的模型也与这一假设不一致。10阮天尊https://www.cesifo-group.demarket使用市场能量和二阶模型的模式。