广义欧式期权定价的显式表达式

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英文标题：
《Explicit expressions for European option pricing under a generalized
  skew normal distribution》
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作者：
Mahdi Doostparast
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Under a generalized skew normal distribution we consider the problem of European option pricing. Existence of the martingale measure is proved. An explicit expression for a given European option price is presented in terms of the cumulative distribution function of the univariate skew normal and the bivariate standard normal distributions. Some special cases are investigated in a greater detail. To carry out the sensitivity of the option price to the skew parameters, numerical methods are applied. Some concluding remarks and further works are given. The results obtained are extensions of the results provided by [4].
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中文摘要：
在广义偏正态分布下，我们研究了欧式期权定价问题。证明了鞅测度的存在性。根据一元斜正态分布和二元标准正态分布的累积分布函数，给出了给定欧式期权价格的显式表达式。对一些特殊情况进行了更详细的调查。为了研究期权价格对偏斜参数的敏感性，采用了数值方法。最后给出了一些结论和进一步的工作。所得到的结果是[4]所提供结果的扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--

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PDF下载：
--> Explicit_expressions_for_European_option_pricing_under_a_generalized_skew_normal.pdf (150.5 KB)

2022-6-1 04:52:18 上传

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关键词：欧式期权 期权定价 表达式 distribution epidemiology

广义斜正态分布下欧式期权定价的显式表达式*马什哈德费多西大学数学科学学院统计系，地址：91775-1159，伊朗马什哈德。在广义斜正态分布下，我们考虑了欧式期权定价问题。证明了鞅测度的存在性。根据单变量偏正态分布和二变量标准正态分布的累积分布函数，给出了给定欧式期权价格的显式表达式。对一些特殊情况进行了更详细的调查。为了计算期权价格对偏斜参数的敏感性，采用了数值方法。最后给出了一些结论和进一步的工作。所获得的结果是[4]所提供结果的扩展。关键词和短语：二元正态分布；完整的市场；广义基尤正态分布；鞅测度；期权价格。1简介看涨（售）期权是指在未来特定时间以执行价格购买（出售）特定资产的权利。有各种类型的选项。最常见的是Europeanoptions（EOs），它只能在到期日行使。[3] 假设下卧资产为几何布朗运动，并给出了阿吉文欧式期权（EO）公平价格的封闭形式，即Black-Scholes期权定价公式。这是现代金融经济学的重大成功之一。但emp irical证据表明，与观察到的期权价格相比，存在系统性定价错误。例如，[5]提出了当标的资产的对数收益率发生偏差和波动时，Black-Scholes模型存在系统性定价错误的证据，通常是对深藏资金的期权定价过低，而对缺钱的期权定价过高。

为了解决定价错误的问题，布莱克-斯科尔斯期权价格被扩展了*电子邮件地址：doostparast@math.um.ac.irdirections.例如，[4]假设基础股票价格过程{s（t），t≥ 0}遵循几何Azzalini斜布朗运动。更精确地说，let（t）=S（0）expnut+σ√tZλo，（1.1），其中随机变量Zλ具有斜正态分布，由SN（λ）表示，概率密度函数（pdf）φ（x；λ）=2φ（x）Φ（λx），-∞ < x<+∞,其中φ（x）和Φ（x）分别是标准正态分布的pdf和累积分布函数（cdf），即φ（x）=2πexp-x个, 和Φ（x）=Zx-∞【4】研究了模型（1.1）下φ（y）dy.EO的定价。有关更多详细信息，请参见[6]。在本文中，我们通过在（1.1）中为随机变量Zλ假设一个广义SN分布来推广[4]的结果，并称之为广义几何斜布朗运动。SN分布有许多扩展。[2]提出了锡分布的扩展，并在[1]中进行了更详细的讨论。更具体地说，随机变量Zλ，γ具有参数λ，γ的广义SN分布∈ R、 用zλ，γ表示~ SN（λ，γ），如果其pdf为φ（x；λ，γ）=φ（x）Φ（λx+γ）Φ（γ/√1 + λ), -∞ < x<+∞, （1.2）在后续章节中，我们假设股票价格{S（t），t≥ 0}遵循广义Dazzalini斜布朗运动，即S（t）=S（0）expnut+σ√tZλ，γo，（1.3），其中Zλ，γ~ SN（λ，γ）。请注意，对于γ=0，随机变量Zλ，γ与pdf（1.2）简化为Azzalini的斜法线，因此模型（1.3）转换为模型（1.1）。因此，本文的结果是文献[4]所提供结果的推广。本文的其余部分组织如下：在第2节中，在广义几何斜布朗运动（1.3）下导出了唯一鞅测度。

EO价格的明确表达式见第3节。第4节详细讨论了一些特殊情况。第5节考虑了EO价格对SKEW参数的敏感性。第6节结束。证据见附录。2鞅测度获取EO价格的第一步是找到一个等效的风险中性概率测度，用Q表示，在该测度下，贴现股票价格过程{e-rtS（t）}是阿马丁格尔，其中r是风险较小的连续利率，t是期权到期日。设MX（a）：=E（exp{aX}）表示随机变量X的矩生成函数（MGF）。在具有客观概率测度P的模型（1.3）下，随机变量ln S（t）的theMGF导出为smln S（t）（β）=EPeβln S（t）| F= exp{βlns（0）}EPexpnβhut+σ√tZλ，γio | F= exp{βlns（0）+ut}EPexpnβσ√tZλ，γo | F= exp{βlns（0）+ut}MZλ，γβσ√t型（2.1）其中，MZλ，γ是r和dom变量Zλ，γ的MGF，pdf（1.2）和Fis是投资者当前可用的信息t=0。有关更多详细信息，请参阅[8]。[1] 显示Mzλ，γ（a）=exp一Φγ+λa√1+λΦγ√1+λ. （2.2）从（2.1）和（2.2）中，我们得到了e-rtS（t）| F= e-rtEPeln S（t）| F= e-rtMln S（t）（1）=e-rtexp{lns（0）+ut}MZλ，γσ√t型= 经验值ln S（0）+u - r+σt型Φγ+λσ√t型√1+λΦγ√1+λ= S（0）扩展u - r+σt+lnΦγ + λσ√t型√1 + λΦγ√1 + λ.（2.3）从恒等式e-rtS（t）| F= S（0）和（2.3），在鞅测度Q下，我们有S（t）=S（0）expnut+σ√tZλ，γo，（2.4），其中u= r-σ-tln公司Φγ + λσ√t型√1 + λΦγ√1 + λ,在鞅概率测度Q下，Zλ，γ有一个广义SN分布e-rtS（t）| F= e-rtEQ公司eln S（t）| F= e-rtMln S（t）（1）=经验ln S（0）+u- r+σt型Φγ+λσ√t型√1+λΦγ√1+λ= S（0）扩展u- r+σt+lnΦγ + λσ√t型√1 + λΦγ√1 + λ= S（0）。

（2.5）3欧洲看涨期权价格假设一个完整的市场，等价鞅测度Q将是唯一的（见[8]）。因此，无套利（NA）EO价格与履约价格K和到期时间t（用C（u，σ，λ，γ，r，t，K，S（0））表示）是由asC（u，σ，λ，γ，r，t，K，S（0））=e导出的-rtEQ公司（S（t）- K）+F. （3.1）命题3.1设S（t）=S（0）exput+σ√tZλ，γ. ThenC（σ，λ，γ，r，t，K，S（0））=S（0）1.-Φλσ√t+γ√1+λ, -w-λ√1+λΦλσ√t+γ√1+λ-e-rtK？Φ-w+σ√t；λ, γ, （3.2）其中w=ln（S（0）/K）+（r+σ）t- 自然对数Φγ+λσ√t型√1+λΦγ√1+λσ√t、 （3.3）从方程（3.1）和（3.2）中，我们立即看到1。C无漂移参数u。2.C是S（0）的增凸函数。C是K.4的一个递减凸函数。由于欧式看涨期权的价值与美式看涨期权的价值相同（[8]），我们得出结论，C在t中增加。命题3.2 C→ S（0）为t→ +∞.推论3.3欧洲看跌期权（P）的无套利（NA）价格可根据著名的看跌期权平价公式（[8]，P.50）计算得出，即P+C-S（0）=Ke-rt，（3.4），其中C由（3.2）给出。4一些特殊情况下，在一些特殊情况下，我们得到了（3.2）给出的C（σ，λ，γ，r，t，K，S（0））的简单表达式。如果λ=0，在这种情况下，方程式（3.3）减少为t=ln（S（0）/K）+（r+σ）tσ√t、 （4.1）同样，Φλσ√t+γ√1+λ, -w-λ√1+λΦλσ√t+γ√1+λ=Φ(γ, -w0)Φ(γ)=Φ(γ)Φ(-w） Φ（γ）=Φ(-w） 。（4.2）将（4.1）和（4.2）代入（3.2）后，我们得到C=S（0）Φ（w）- e-rtK？Φ(-w+σ√t；0，γ），（4.3），其中wis由（4.1）给出。从（1.2）可以看出，对于每个γ，Φ（x；0，γ）=Φ（x）∈ (-∞, +∞). 因此，在这种情况下，我们从（4.3）得出结论，C=S（0）Φ（w）- e-rtKΦ（w- σ√t） ，（4.4）这是众所周知的Black-Scholes期权价格，由CB表示-S、 情况γ=0在这种情况下，我们从（3.3）得到w=ln（S（0）/K）+（r+σ）t- lnh2Φλσ√t型√1+λiσ√t。

（4.5）这意味着从（3.2）次atC=S（0）1.-Φλσ√t型√1+λ, -w-λ√1+λΦλσ√t型√1+λ- e-rtK？Φ-w+σ√t；λ, 0,= S（0）1.-Φλσ√t型√1+λ, -w-λ√1+λΦλσ√t型√1+λ- e-rtKΦSN-w+σ√t；λ,（4.6）其中ΦSN（.；λ）代表标准Azzalini斜正态分布的cdf，参数为λ，即ΦSN（x；λ）=Zx-∞2φ（y）Φ（λy）dy.期权价格（4.6），用CC表示-S、 由【4】获得。可能会注意到，他们无法找到（4.6）的明确表达式，而我们可以根据一元斜正态分布和二元标准正态分布的cdf来表示EO价格（4.6）。这些函数的数值由一些统计软件提供，如R with p package mnorm。5经验证据在本节中，我们通过数值方法考虑期权对（3.2）中偏斜参数λ和γ的敏感性，因为（3.2）中给出的期权C的偏导数具有复杂的形式。图1给出了相应的曲线图。在【4】之后，基准案例被视为S（0）=100、K=100、r=0.1、σ=0.4和t=0.25。此外，表1：倾斜参数λ-2-1 0+1+2-2 8.702112 10.69672 13.68113 10.75255 8.857459-1 9.188333 10.99278 13.68113 11.08288 9.406439γ0 9.805336 11.45179 13.68113 11.59007 10.09846+110.55043 12.09882 13.68113 12.27943 10.91346+2 11.37726 12.8264 13.994113 4 11.7723我们考虑λ∈ {-1，0，1}和γ∈ {-1, 0, 1}. 表1给出了一些选定参数值的C数值。表1的经验证据表明，EO价格C对水资源价格非常敏感。

倾斜参数λ和γ；oEO价格C在|λ|内下降对于λ=0，黑色-Sch oles EO价格CB-得到Sin方程（4.4）；o对于λ6=0，我们有一个Black-Scholes定价EO的高估（C<CBS），即Black-Scholes EO定价的高估导致资金短缺；o对于λ=0，期权价格C不取决于参数γ，而对于λ6=0，期权价格C在参数γ中增加；o对于λ6=0和γ>（<）0，我们有C>（<）CC-S、 这就是CC-Sleads to in the money（用完钱）。6结论利用广义SN模型研究了欧式期权定价问题。证明了鞅测度的存在唯一性。EO价格的显式表达式是根据一元SN和二元标准正态分布的CDF导出的。经验表明，EO价格对偏斜参数敏感。所得结果可推广到其他一般模型。参见示例【9】。另一个重要的主题是基于观测到的EO价格估计偏斜参数的问题【5】。这方面的工作目前正在进行中，我们希望在未来的论文中报告研究结果。-10-5 0 5 109 10 11 12 13伽马=-1兰伯达欧洲期权价格-10-5 0 5 10 9 10 11 12 13伽马=0λ欧洲期权价格-10-5 0 5 10 9 10 11 12 13伽马=+1兰巴达欧洲期权价格-10-5 0 5 10 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5λ=-1阿曼-欧洲期权价格-10-5 0 5 10 8 10 12 14 16 18λ=0伽马欧洲期权价格-10-5 0 5 10 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5λ=+1伽马欧洲期权价格图1：基准情况下C的数值以及一些选定的临界参数λ和γ值。参考文献[1]Arnold，B.C.，Beaver，R.J.（2002）。偏斜多变量模型与缺失和/或选择性报告相关。测试，11、7–54。[2] Azzalini，A。

（1985）一类包含正态分布的分布。《斯堪的纳维亚统计杂志》，12171-178。[3] Black，F.和Scholes，M.（1973）《期权定价和公司负债》，政治经济学杂志，81637-659。[4] Corns，T.R.A.和Satchell，S.E.（2007）《斜布朗运动和PricingEuropuean期权》，欧洲金融杂志，13（6），523–544。[5] Corrado，C.和Su，T.（1997）《标准普尔500指数期权价格隐含的波动率偏斜和股票指数偏斜和峰度》，《衍生工具杂志》，4（4），8–19。[6] Fan，J.和Mancini，L.（2009）《基于模型引导的非参数方法的期权定价》，美国统计协会杂志，104（488），1351–1372。[7] Jamalizadeh，A.、Pourmousa，R.和Balakrishnan，N.（2009）《截断和限制斜态正态分布和斜态t分布：性质和说明》，统计理论与方法通信，382653–2668。[8] Karatzas，I.和Shreve，S.E.（1998）《数学金融方法》，Springerbrag New York，Inc.[9]Sha fiei，S.，Balakrishnan，N.，Doosparast，M.（2012）。提出了一个新的由对称功率分布和关联推理产生的倾斜分布参数族。附录命题3.1的证明从（2.4）和（3.1）中，我们得到了（u，σ，λ，γ，r，t，K）=等式（S（t）- K）+F= 均衡器S（0）扩展ut+σ√tZλ，γo- K+F=Z+∞-∞S（0）扩展ut+σ√台指选择权- K+φ（x；λ，γ）dx=ZS（0）exp{ut+σ√tx}>KhS（0）扩展ut+σ√台指选择权- Kiφ（x；λ，γ）dx=Z+∞ln（K/S（0））-utσ√thS（0）expnut+σ√台指选择权- Kiφ（x；λ，γ）dx=S（0）exp{ut} Z+∞ln（K/S（0））-utσ√texpnσ√txoφ（x；λ，γ）dx-K？Φln（K/S（0））-utσ√t；λ, γ,式中，Φ（x；λ，γ）=P（Zλ，γ>x）。

因此，ertC（u，σ，λ，γ，r，t，K）=S（0）exp{ut} B类- K'Φ（a；λ，γ），（6.1），其中B=Z+∞-∞I[a+∞]（x） 扩展σ√txoφ（x；λ，γ）dx和a=ln（K/S（0））-utσ√tand IA（x）是集合A的指示器函数，即IA（x）=（1，x∈ A0，o.w.因此，B=EQhI[a+∞]（Zλ，γ）expnσ√tZλ，γoi=[1- Φ（a；λ，γ）]等式“I[a+∞]（Zλ，γ）expσ√tZλ，γ1.- Φ（a；λ，γ）#=[1- Φ（a；λ，γ）]EQhexpnσ√tZT（a+∞);λ、 γoi=[1- Φ（a；λ，γ）]MGF（σ√t；a、+∞, λ、 γ），（6.2），其中ZT（a，b）；λ、 γ是Jamalizadeh等人（2009）提出的区间[a，b]的截短斜正态分布，M GF（s；a，b，λ，γ）是相应的MGF。Jamalizadeheet al.（2009）导出了M GF（s；a，b，λ，γ）asMGF（s；a，b，λ，γ）=u（λ，γ，a，b）es/2的显式表达式Φλs+γ√1+λ，b- s-λ√1 + λ- Φλs+γ√1+λ，a- s-λ√1 + λ, （6.3）式中【u（λ，γ，a，b）】-1= Φγ√1 + λ{ΦSN（b；λ，γ）- ΦSN（a；λ，γ）}，（6.4）和Φ（，，；δ）是N（0，0，1，1，δ）（具有相关系数δ的标准二元正态分布）的cdf。

从（6.2）、（6.3）和（6.4）中，可以很容易地表明b=(R)Φ（a；λ，γ）MGF（σ√t；a、+∞, λ、 γ）=Φ（a；λ，γ）u（λ，γ，a+∞)e（σ√t） /2个Φλσ√t+γ√1 + λ, +∞;-λ√1 + λ- Φλσ√t+γ√1+λ，a- σ√t；-λ√1 + λ=Φγ√1+λeσt/2Φλσ√t+γ√1 + λ-Φλσ√t+γ√1+λ，a- σ√t；-λ√1 + λ.（6.5）将（6.5）代入（6.1）后，我们得到c（u，σ，λ，γ，r，t，K）=e-rt公司S（0）eut+σt/2Φγ√1+λΦλσ√t+γ√1 + λ-Φλσ√t+γ√1+λ，ln（K/S（0））-utσ√t型- σ√t；-λ√1 + λ-K？Φln（K/S（0））-utσ√t；λ, γ= e-rt公司S（0）ertΦλσ√t+γ√1+λΦλσ√t+γ√1 + λ-Φλσ√t+γ√1+λ，ln（K/S（0））-utσ√t型- σ√t；-λ√1 + λ-K？Φln（K/S（0））-utσ√t；λ, γ= S（0）1.-Φλσ√t+γ√1+λ，ln（K/S（0））-utσ√t型- σ√t；-λ√1+λΦλσ√t+γ√1+λ-e-rtK？Φ-w+σ√t；λ, γ（6.6）其中W=-ln（K/S（0））-utσ√t+σ√t、 经过一些代数运算后，w的简化版本为w=-ln（K/S（0））- utσ√t+σ√t=ln（S（0）/K）+（r-σ） t型- 自然对数Φγ+λσ√t型√1+λΦγ√1+λσ√t+σ√t=ln（S（0）/K）+（r+σ）t- 自然对数Φγ+λσ√t型√1+λΦγ√1+λσ√t、 （6.7）和（6.6）和（6.7）的预期结果。命题3.2的证明→+∞w=+∞ andlimt公司→+∞e-rtK？Φ-w+σ√t；λ, γ= 0.此外，limt→+∞Φλσ√t+γ√1+λ, -w-λ√1+λΦλσ√t+γ√1+λ,预期结果如下（3.2）。