高斯模型中交易成本下的条件平均套期保值

根据orem 2.1和以上计算，R（t，s | u）=EZtuK（t，v）dMvZsuK（s，v）dMvFMu= EZtuK（t，v）dMvZsuK（s，v）dMv=Zt公司∧suK（t，v）K（s，v）m（dv）=Zt∧sK（t，v）K（s，v）m（dv）-ZuK（t，v）K（s，v）m（dv）=R（t，s）-ZuK（t，v）K（s，v）m（dv）。8 SOTTINEN和VIITASAARIDenote^ρ（t | u）=q^R（t，t | u），β（u，t）=u（u，t）-q（u，t）ThenSt=Sueβ（u，t）+（Xt-Xu）andVar[文本- 徐Fu]=ρ（t | u）。以下推论是第5节中计算条件平均对冲策略的关键结果。推论4.1（预测）。让0≤ u≤ t型≤ T设f:[0，T]×R→ 使得f（t，St）是可积的。设φ为标准高斯密度函数。THENHF（t，St）FSui=Z∞-∞ft、 Sueβ（u，t）-Ruψ（t，s | u）dXs+ρ（t | u）zφ（z）dz。证据根据定理4.1、过滤等式和F¨ollmer–It^o公式，直接计算得出如下结论：Ehf（t，St）FSui=Ehft、 Sueβ（u，t）+（Xt-徐）FXui=Z∞-∞ft、 Sueβ（u，t）+（ρ（t | u）z+Xt（u））-徐φ（z）dz=z∞-∞ft、 Sueβ（u，t）+^ρ（t | u）z+（^Xt（u）-徐）φ（z）dz=z∞-∞ft、 Sueβ（u，t）+ρ（t | u）z-Ruψ（t，s | u）dXsφ（z）dz，证明索赔。5、条件平均hedging我们对单一贴现标的资产S=（ST）t的欧洲普通期权f（ST）的定价和对冲感兴趣∈[0，T]，其中T>0是期权到期的执行时间。我们假设仅在固定预设时间点0=t<t<····<tN<t时进行加载。我们用πnN离散交易策略πNt=πN{0}（t）+NXi=1πNti表示-1（ti-1，ti]（t）。策略πNis g的值为VπN，kt=VπN，k+ZtπNudSu-ZtkSu | dπNu |，，（5.1），其中k∈ [0，1）是比例交易成本。在交易成本下，完美对冲是不可能的。在这种情况下，自然会尝试在以下定义的意义上平均对冲：定义5.1（条件平均对冲）。设f（ST）是一个具有凸或凹支付函数f的欧洲香草型期权。

设π为交易成本下的马尔可夫复制条件平均套期保值策略：πt=g（t，St）。我们将离散时间策略称为πNa条件均值对冲，如果对于所有交易时间ti，EhVπN，kti+1 | Ftii=EhVπti+1 | Ftii。（5.2）此处FTI是资产价格过程S到时间ti生成的信息。备注5.1（作为跟踪条件的条件平均对冲）。标准（5.2）实际上是一项跟踪要求。我们不仅要求条件平均数在到期前的最后一个交易时间有效，而且要求在所有交易时间有效。从这个意义上说，这种生物有一种“美国”的味道。从纯粹的“欧洲”对冲角度来看，除了第一个和最后一个交易时间外，可以简单地删除所有交易时间。备注5.2（条件平均对冲的套利和唯一性）。注意，条件平均套期保值策略πNdepe nds在连续时间套期保值策略π上。由于定价模型中可能存在强套利（零可以在初始财富为负的情况下完美复制），复制策略π可能不是唯一的。然而，强套利策略非常复杂。事实上，它直接遵循了F¨ollmer–It^o变量变化公式，即在马尔可夫策略类πt=g（t，St）中，来自Black–Schole stype后向偏微分方程的三角洲对冲是F（St）索赔的唯一复制策略。备注5.3（无Martinga le Me asures）。我们强调，（5.2）中的期望是关于真实概率测度的；在任何等效的martinga lemeasure下都没有。实际上，等价鞅测度甚至可能不存在。要找到（5.2）的解决方案，必须能够计算所涉及的条件期望。设π为索赔f（ST）的连续时间马尔可夫套期保值策略，Vπ为其价值过程。

标志^Xti+1（ti）=^Xti+1（ti）- Xti，=EXti+1 | Fti- Xti，^Sti+1（ti）=^Sti+1（ti）- Sti=ESti+1 | Fti- Sti，^Vπti+1（ti）=^Vπti+1（ti）- Vπti=超高压πti+1 | Ftii- Vπti，^VπN，kti+1（ti）=^VπN，kti+1（ti）- Vπti=超高压πN，kti+1 | Ftii- VπN，kti。表示γ（s，t，t）=β（s，t）-q（t，t）。下面引理5.1 b指出，上面列出的所有这些条件增益都可以显式计算。10 SOTTINEN和VIITASAARILemma 5.1（有条件收益）。^Xti+1（ti）=-Zuψ（t，s | u）dXu，^Sti+1（ti）=Stieβ（ti，ti+1）+ρ（ti+1 | ti）+^Xti+1（ti）- 1.,^Vπti+1（ti）=Z∞-∞Z∞-∞fStieγ（ti，ti+1，T）+ρ（ti+1 | ti）y+q（ti+1，T）zφ（y）dy- f斯蒂-q（ti，T）+q（ti，T）ziφ（z）dz，^VπN，kti+1（ti）=πNti^Sti+1（ti）- kSti公司|πNti |。证据公式定理4.1给出了^Xti+1（ti）。考虑^Sti+1（ti）。根据推论4.1，^Sti+1（ti）=Z∞-∞Stieβ（ti，ti+1）+^Xti+1（ti）+^ρ（ti+1 | ti）zφ（z）dz=Stieβ（ti，ti+1）+^Xti+1（ti）Z∞-∞e^ρ（ti+1 | ti）zφ（z）dz=Stieβ（ti，ti+1）+^ρ（ti+1 | ti）+^Xti+1（ti）。因此^Sti+1（ti）=Stieβ（ti，ti+1）+ρ（ti+1 | ti）+^Xti+1（ti）- 1..那么考虑一下^Vπti+1（ti）。

根据命题3.1和Fubini定理，^Vti+1（ti）=Z∞-∞流行性出血热Sti+1e-q（ti+1，T）+q（ti+1，T）zFtiiφ（z）dz。现在，EhfSti+1e-q（ti+1，T）+q（ti+1，T）zFtii=EhfStieβ（ti，ti+1）+q（ti，T）+（Xti+1-Xti）+q（ti+1，T）zFtii=Z∞-∞fStieβ（ti，ti+1）-q（ti+1，T）+ρ（ti+1 | ti）y+q（ti+1，T）zφ（y）dy=Z∞-∞fStieβ（ti，ti+1）-q（ti+1，T）+ρ（ti+1 | ti）y+q（ti+1，T）zφ（y）dy.SinceVπti=Z∞-∞f斯蒂-q（ti，T）+q（ti，T）zφ（z）dz，我们得到^Vπti+1（ti）=Z∞-∞Z∞-∞fStieγ（ti，ti+1，T）+ρ（ti+1 | ti）y+q（ti+1，T）zφ（y）dyφ（z）dz-Z∞-∞f斯蒂-q（ti，T）+q（ti，T）zφ（z）dz=z∞-∞Z∞-∞fStieγ（ti，ti+1，T）+ρ（ti+1 | ti）y+q（ti+1，T）zφ（y）dy- f斯蒂-q（ti，T）+q（ti，T）ziφ（z）dz。交易成本11下的条件平均套期保值最后，我们计算出^VπN，kti+1（ti）=EhVπN，kti+1Ftii=VπN，kti+EZti+1tiπNudSu-Zti+1tikSu | dπNu|Fti公司= VπN，kti+πNtiESti+1Fti公司- Sti公司- kSti公司|πNti |=VπN，kti+πNti^Sti+1（ti）- kSti公司|πNti |。公式^VπN，kti+1（ti）由此得出。现在我们准备陈述并证明我们的主要结果。我们注意到，原则上，我们的结果是一般性的：在期权f（ST）可以复制的任何定价模型中都是如此。在实践中，我们的结果通过引理5.1特别适用于正则可逆GaussianVolterra噪声定价模型。定理5.1（条件均值对冲策略）。具有凸型或凹型正支付函数f且交易成本成比例k的欧式香草型期权的条件平均套期保值由递推方程πNti给出=^Vπti+1（ti）+（Vπti- VπN，kti）+kSti|πNti|^Sti+1（ti），（5.3），其中VπN，ktii由（5.1）确定。证据让我们首先考虑（5.2）的左侧。

我们有超高压πN，kti+1Ftii=EVπN，kti+Zti+1tiπNudSu- kZti+1tiSu | dπNu|Fti公司= VπN，kti+πNtiESti+1（ti）- Sti公司Fti公司- kSti公司|πNti |=VπN，kti+πNti^Sti+1（ti）- kSti公司|πNti |。对于（5.2）的rig-ht-hand侧，我们只需编写hvπti+1Ftii=^Vπti+1（ti）+Vπti。在简单代数的基础上，我们将得到（5.3）的边相等。备注5.4（解释）。取得预期收益^Sti+1（ti）是指套期保值公式（5.3）中的三个部分。首先，投资于期权时间价值的预期收益。直觉上，“条件平均增量对冲”是最明显的部分。在指数d中，条件均值套期保值的简单方法只会给出这一部分，忘记了纠正已经产生的跟踪误差，这是（5.3）中的第二部分。（5.3）中的第三部分显然是由于交易成本。备注5.5（初始位置）。请注意，条件平均对冲策略的方程（5.3）是递归的：除了过滤Fti，位置πNti-1需要确定位置πNti。因此，为了使用（5.3）确定条件均值和对冲策略，必须确定初始头寸πn。然而，初始位置并不是唯一确定的。事实上，让βNBE在风险资产中定位。那么条件平均值准则（5.2）只要求βN+πNE[St]- kS |πN |=E[Vπt]。12 SOTTINEN和VIITASAARIThere当然是求解该方程的有限对数（βN，πN）。对条件平均对冲感兴趣的投资者确定初始头寸（βN，πN）的一种自然方法是成本最低的方法。

如果允许卖空，投资者将面临最小化问题minπN∈Rw（πN），其中初始财富w是分段线性函数w（πN）=βN+πNS=E[Vπt]-^St（0）- 堪萨斯州πN，如果πN≥ 0，E[Vπt]-^St（0）+kSπN，如果πN<0。很明显，最小解π与e[Vπt]无关，因此与要复制的选项无关。此外，最小化问题是有界的当且仅当ifk≥^St（0）S,i、 e.比例交易成本大于股票[0，t]的预期回报。在这种情况下，最小成本条件均值对冲策略首先将所有财富投入无风险资产。参考文献[1]E.Azmoodeh，《关于交易成本的分数Black-Scholes市场》，数学金融通信，2（2013），第21-40页。[2] C.Bender、T.Sottinen和E.Valkeila，《分数布朗运动套利？》？，斯托克理论。过程13（2007），第23-34页。[3] ，通过半鞅之外的对冲和无套利定价，金融Stoch。，12（2008），第441-468页。[4] ，随机金融中的分数过程模型，《金融高级数学方法》，施普林格，海德堡，2011年，第75-103页。[5] C.Cai、P.Chigansky和M.Kleptsyna，《混合高斯过程：滤波方法》，Ann。概率。，44（2016），第3032-3075页。[6] E.Denis和Y.Kabanov，《Leland Lott套期保值策略的均方误差：convexpay-o-offs，Finance Stoch》。，14（2010），第625-667页。[7] H.F¨ollmer，Calcul d\'It^o sans probabilit'es，在概率研讨会上，第十五届（斯特拉斯堡大学，斯特拉斯堡，1979/1980）（法语），数学讲稿第850卷。，柏林斯普林格出版社，1981年，第143-150页。[8] P.V.Gapeev、T.Sottinen和E.Valkeila，《不确定性下H-自相似高斯市场模型的稳健复制》，统计学家。《决定》，28（2011），第37-50页。[9] M。

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