有多少条路径可以模拟相关的布朗运动？

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英文标题：
《How many paths to simulate correlated Brownian motions?》
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作者：
Antoine Jacquier, Louis Jeannerod
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We provide an explicit formula giving the optimal number of paths needed to simulate two correlated Brownian motions.
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中文摘要：
我们提供了一个显式公式，给出了模拟两个相关布朗运动所需的最佳路径数。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> How_many_paths_to_simulate_correlated_Brownian_motions?.pdf (91.51 KB)

2022-6-1 06:16:05 上传

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关键词：布朗运动 Applications Differential Quantitative Computation

有多少条路径可以模拟相关的布朗运动？ANTOINE JACQUIER和LOUIS JEANNERODAbstract。我们提供了一个显式公式，给出了模拟两个相关布朗运动所需的最佳路径数。蒙特卡罗方法有着悠久的历史，在过去的几十年中取得了长足的进步，加快了计算速度并减少了估计量的方差。我们请感兴趣的读者参阅专著【2】，以了解此类技术的精确概述，尤其是在数学金融方面。在多层蒙特卡罗方法【1】和函数量化【3，4】方面取得了一些特别有力的进展。后一种方法旨在通过有限数量的路径近似布朗运动（有限维性质）。受这种方法的启发，我们考虑一个简单问题，我们能够为其提供一个封闭形式的解决方案。对于在同一过滤概率空间上定义的两个相关标准布朗运动W和Z，我们使用网格T：={tj=j/m}j=0，。。。mfor固定m∈ N、 用cwnandbzn表示N条路径的向量，沿着网格T，近似W和Z，我们回答以下问题：如果误差ε>0，我们能否找到en<N，从而使耦合（cWn，bZen）ε-接近（cWn，bZn）？标准的模拟方法是模拟二维布朗运动（W，B）的n条路径（Wn，Bn），并通过Cholesky乘法推导出向量（cWn，bZn），因为Φ：=WZ公司=1 0ρρWB公司,式中ρ：=p1- ρ、 同样的恒等式适用于近似向量bΦn：=（cWn，bZn）′。现在，如果相关系数ρ等于1，那么路径bn是多余的，并且浪费了计算时间。如果ρ=0，则路径wn不提供关于Z的任何信息，需要n条路径来模拟B。

对于任意整数n和公差水平ε，我们定义了一个函数ρ7→ ennε（ρ），给出了逼近B的最小路径数，并考虑了最小平方误差。定理1。对于任意ε>0，整数n和相关水平ρ∈ [-1，1]，恒等式ε（ρ）=11nε<n（m+1）（1-ρ） 200万n-2mε（m+1）（1- ρ)保持，其中· 表示天花板功能。证据对于最优向量Φn：=（cWn，bZen）′，我们考虑形式为bε：=m的L型误差bΦn-eΦn,因此，我们可以写出bε=mnXi=1mXj=1bZn，itj-bZen，itj=mnXi=1mXj=1bBn，itj-bBen，itj=1.- ρm{en<n}nXi=en+1mXj=1bBn，itj-bBen，itj,其中，我们写ebbn=（bBn，1，…，bBn，n）。证实了上述直觉，我们清楚地知道enε（±1）=0和enε（0）=1。我们从包含n个二维离散路径的初始向量（eΦn，1，…，eΦn，n）开始日期：2017年8月18日。2010年数学学科分类。37H10、65C05。关键词和短语。蒙特卡罗，相关，布朗运动。作者感谢Piotr Karasinski和Inass El Harrak在Portf olio模拟的背景下提出了类似的问题，并感谢Johannes Ruf的评论。2安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）和路易斯·珍妮罗德（LOUIS JEANNEROD）（分别在Rm+1中表示为ve-ctor）。因为B是一个从零开始的鞅，所以当我∈ {en+1，…，n}，这样我们就可以写出bε=1- ρm{en<n}nXi=en+1mXj=1bBn，itj,对于任何目标水平ε，函数ennε然后readsennε（ρ）=arg min0≤ 恩≤n（n）- en）11{E（ε）<ε},e[ε]=1- ρm{en<n}nXi=en+1mXj=1EbBn，itj=1.- ρ（n）- en）mXj=1jm=1.- ρ（n）- en）m+12m，因为（Bt-t） t型≥0是鞅，thebBn，i独立。目标条件E（ε）<ε等于en>n-2mε（m+1）（1-ρ). If2mε（m+1）（1-ρ)≥ n、 那么显然en=0，否则，我们将该约束重写为ε<n（m+1）（1-ρ） 2m，定理如下。

我们用数值方法说明了这个定理，绘制了ρ7图→ 考虑到时间间隔[0，1]，不同目标ε的ennε（ρ）。毫不奇怪，正如直觉所暗示的那样，最大数量的路径位于不相关的cas中，而当布朗运动完全（反）相关时，几乎不需要路径。图的对称性是自然的，因为布朗运动的路径是对称的。图1：。函数ρ7→ ennε（ρ），n=100，m=10。这里给出的结果可以很容易地推广到多维情况或更一般的高斯过程，除非使用更重的符号。此外，我们在这里只考虑了最小二乘误差，并且考虑到蒙特卡罗模拟，例如在数学金融中模拟随机波动率模型时，考虑其他类型的误差可能更合适，例如强L误差或弱L误差。然而，我们将这些方案的精确分析留给未来的研究。参考文献【1】M.Giles。多级蒙特卡罗路径模拟。运筹学，56（3）：607-6172008。[2] 格拉斯曼。金融工程中的蒙特卡罗方法。Springer Verlag纽约，2003年。[3] H.Luschgy和G.Pag\'es。一类布朗微分的函数量子化：一种构造性方法。随机过程及其应用，116（2）：310-3362006。[4] H.Luschgy和G.Pag\'es。高斯过程的函数量化。JFA，196（2）：486-5312002年。帝国理工学院数学系LondonE邮箱：a。jacquier@imperial.ac.ukEcole巴黎理工大学邮箱：louis。jeannerod@polytechnique.edu