回溯测试预期短缺：一个简单的配方？

，250我们setyV@Rnormi：=xi+250+^V@Rnormi（x） ，yESempi：=xi+250+^ESempi（x），yV@Rempi：=xi+250+^V@Rempi（x） ，Yesnromi：=xi+250+^ESnormi（x）。（6.1）为简单起见，我们比较的不是已实现损益，而是已实现回报率；参见备注2.1。请注意，由于VAR和ES都是正同质的风险度量，因此结果分析会产生一致的输出。此外，如第5节所述，我们考虑的不是Tn和Gn的结果，而是标称值，即异常数（n·Tn）和最大数量的Worst情形，其总和为负值（n·Gn）。为了测试我们的框架，我们进行了两个测试。在第6.1节中，我们研究了ES回溯测试和标准监管VAR回溯测试之间的一致性。使用市场和模拟数据，我们比较了两种回溯测试的结果，并检查其一致性。在第6.2节中，我们将我们的回溯测试与Inarbi&Sz\'ekly（2014）提出的“测试2”进行比较。6.1 VAR和ES回溯测试框架的一致性在本节中，我们对各种数据集执行第3节（历史和正常VAR估值器）和第4节（历史和经验ES估值器）中所述的回溯测试。我们通过计算TN和Gn的标称值，并应用表2中列出的分类sch eme，将结果分为绿色、黄色或红色区域。为了比较VAR和ES回溯测试框架，我们检查了正常估计数和经验估计数的常见分类数。为了完整性，我们还提供了所有考虑样本的tn标称值与gn标称值对应的图。区域VAR ES（颜色）（异常数量）（负和最坏情况）绿色0–4 0–11黄色5–9 12–24红色10+25+表2：单个数据集VAR和ES回测练习的回测阈值。

对于VaR，阈值应与样本中发生的异常总数（n·Tn）相对应，即yi<0的天数。对于ES，应以最坏情况下总计为负的总天数（n·Gn）的最大天数来面对该值，即最大m∈ N使得y（1）+…+y（m）<0，其中y（k）是y的第k阶统计量。为了透明度，我们将分析分为两部分：在第6.1.1节中，我们考虑市场数据，而在第6.1.2节中，我们关注模拟数据。6.1.1 Fama&French图书馆数据我们使用数据图书馆Fama&French（2015）的每日报表。我们将2005年1月27日至2015年1月1日期间25个投资组合的账面回报率和经营利润率（2500次观察）。对于每个投资组合，我们将数据分为500个连续日的不相交子集，并获得125个不同的x样本。图2显示了与第一个投资组合相对应的五个不同的时间序列。可以看出，时间序列是非i.i.d.和显示波动率聚类效应，因此回测分类不应太统一。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？12换句话说，对于VAR和ForE，我们应该得到许多黄色区域和红色区域分类。-0.03 0.00 0.03系列1-0.10 0.00 0.10系列20 100 200 300 400 500指数-0.06 0.00 0.06系列3-0.10 0.00系列40 100 200 300 400 500索引-0.04 0.02 0.06系列5LoBM。循环拆分时间-系列数据图2：Fama&Fenchdata library的第一个投资组合的5个不同子集的回报率时间序列。我们对所有四个估计员进行125次回溯测试，并对结果进行分类。表3给出了正态估计数和经验估计数的汇总结果。有关更详细的对比图，请参见图3。

为简洁起见，我们截断了结果：如果超过15个VAR违约，我们将n·TN的输出限制在15个（在这种情况下，模型被明确划分为红色区域）。我们对n·Gn施加一个类似的上界，它等于35。R0 4 21eShity2 9 0G79 10 0G YRV@RhistR01 ESNormal2 38 2G52 6 0G YRV@RnormTable3：表格显示了市场数据的结果，针对VARand和ES进行了125次不同的回溯测试。可以看出，VAR backtesting framework和ES backtestingframework的分类是一致的，即对角线中的值高于对角线以外的数字）。结果表明，VAR和ES回溯测试框架之间具有良好的一致性。正如预期的那样，由于数据是非正态的，在这两种情况下，正态估计量都有更多的黄色和红色区域输出。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？1301020300 5 10 15VAR例外最小正均值0481216+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0481216+VAR BT vs ES BT（正常）图3：市场数据的回测结果。对于每个样本x，我们对历史（左）和正常（右）估值器执行VAR回溯测试和ES回溯测试。我们报告了VaR异常的数量（n·Tn）以及总n负和（n·Gn）最大数量的最坏情况结果。热图上显示了125个再熔点。颜色越深，分配给给定簇的样本就越多；请参见右侧的图例。6.1.2模拟数据在本节中，我们重复第6.1.1节中所述的测试，测试来自norm al、skew t-student和GARCH（1,1）模型的模拟数据。对于第6.1.1节中的125个市场时间序列数据和每个参数模型，我们拟合模型参数并模拟适当的随机样本。

我们决定为每个基金挑选八个独立的基金，因此我们有1000个基金，而不是125个新基金。我们重复上一节中的所有步骤。为简洁起见，我们不提供表3的类似物，而是将重点放在比较图上。正常数据的结果如图4所示；倾斜t-student的结果如图5所示；图6给出了具有正常创新的GARCH（1,1）的结果；图7.01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（正常）图4：正常模拟数据的回测结果；有关详细信息，请参见图3标题。可以看出，结果令人满意。而对于正常数据，我们得到了类似的表现，对于t-student案例，则存在差异。正如预期的那样，正态估值器表现不佳，因为它无法预测尾部的正确行为。注：由于估计器的构造，该特性在ES回溯测试框架中更适用。此外，请注意，对于GARCH数据，标准i.i.d.假设不满足，两个回溯测试框架都将许多输出划分为黄色或红色区域。

此外，ES回溯测试更好地捕获了Avy尾行为，这反映在正常估计量情况下更保守的结果中。总体而言，我们的框架给出的结果与标准VAR回溯测试一致。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？1401020300 5 10 15VAR异常ES最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR异常ES最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（正常）图5：倾斜t-Student模拟数据的回测结果；详见图e 3标题。01020300 5 10 15VAR异常ES最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR异常ES最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（正常）图6：具有正常创新的GARCH（1,1）模拟数据的回测结果；有关详细信息，请参见图3标题。01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（历史）01020300 5 10 15VAR例外最小正均值0255075100+VAR BT vs ES BT（正常）图7：GARCH（1,1）模拟数据与倾斜t-student更新的后验结果；有关详细信息，请参见图3标题。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？156.2与“测试2”的关系在本节中，我们展示了我们的框架与ES backtesting框架之间的关系，这些框架在埃尔比和塞克里（2014）中被称为“测试2”。为了保持一致性，我们提供了市场数据的结果和之前测试中的模拟正常数据；详情见第6.1.1节和第6.1.2节。对于s im plicity，我们只考虑历史（经验）估计值的结果。结果其他数据集和正常估计值相似，可根据要求提供。在显示结果之前，让我们简要介绍一下Acerbi&Sz\'ekly（2014）中测试2所指的测试统计的结构。

如前所述，我们假设α级的VAR和ES都有样本x=（x，…，x）和IM方法∈ (0, 1). 与前一种情况一样，对于i-th回溯测试日（其中i=1，2，…，250），我们估计资本公积^V@Rnormi（x） 和^ESnormi（x），使用学习期数据（xi，…，xi+249），并用实现值xi+250对抗估计量。在我们的设置中，Acerbi&Sz'ekly（2014）中等式（6）中给出的检验统计量由z给出：=Xi=1xi+250{Xi+250+^V@Rnormi（x） <0}α^ESnormi（x）！+1.（6.2）在零假设（说明IM是保守的）下，我们得到Z的值是非正的。与风险低估相对应的替代假设反映在检验统计量Z的正值中（注意，我们使用不同的符号约定）。根据作者的建议，我们将值0.7和1.8设置为测试的测试统计阈值，并获得三区分类方案；有关测试框架的详细描述，请参见Acerbi&Sz\'ekely（2014）。在图8和图9中，我们给出了市场和正常数据的检验统计量Z值，以及VARexceptions和ES最坏情况下的正和情景。我们看到，测试2也与VAR框架（左图）一致，因此与我们的测试框架（右图）一致。将图3与图8（或图4与图9）进行比较，可以看到我们的框架给出了更一致的结果（点的分布更小），并且我们的框架更保守（例如。

有更多的数据集具有VAR黄色区域分类和“测试2”绿色区域分类），但结果实际上非常相似。应该注意的是，测试2框架需要对VAR和ESmethodologies使用IM方法（以获得测试统计数据Z），而我们的框架只需要ES输入（以获得安全的样本y）。-101230 5 10 15VAR例外测试2统计值0481216+VAR BT vs ES测试2 BT（历史）-101230 10 20 30 ES最小正均值检验2统计值0481216+ES BT vs ES Test2 BT（历史）图8：市场数据的后验结果。对于每个样本x，我们执行Acerbi&Sz'ekely（2014）提供的VAR回溯测试、ES回溯测试和d“测试2”。我们将结果进行比较，以查看我们的框架与“测试2”之间的一致性。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？16-101230 5 10 15VAR例外测试2统计值0255075100+VAR BT vs ES测试2 BT（历史）-101230 10 20 30ES最小阳性均值测试2统计值0255075100+ES BT vs ES Test2 BT（历史）图9：正常数据的回测结果。对于每个样本x，我们执行Acerbi&Sz'ekely（2014）提供的VAR回溯测试、ES回溯测试和d“测试2”。我们将结果进行比较，以查看我们的框架与“测试2”之间的一致性。7结论性意见在这篇简短的说明中，我们引入了一个新的预期缺口回溯测试框架，该框架基于一致风险度量和规模不变绩效度量之间的双重性。我们的回溯测试框架提案的威力在于其简单、优雅和清晰的财务解释。与VAR框架中的违约数量计算不同，我们关注的是担保头寸的最大WOR变现数量，其总和为负值。

我们已经证明，我们的框架与当前的监管框架保持一致，为正确指定的模型提供了一致的分类方案。此外，与许多其他提议的方法相反，我们的框架是独立于模型的，我们不需要考虑联合(V@R，ES）估计，无需引入标准（参考、基准）估计程序进行对比回溯测试，而不是基于启发性的回溯测试。虽然我们的框架也存在同样是调节器y VARmodel所特有的缺点，但我们相信它可以被调节器使用，并且它的简单性将使任何潜在的操作都易于检测。此外，它的透明度和清晰的财务解释使得该模型非常容易描述和在任何编程环境中实现。在R软件中，使用y表示第二个位置样本向量，可以使用简单的基函数在一行代码中计算GN的值：mean（cumsum（sort（y））<0；为了计算tn，我们可以使用代码：mean（y<0）。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？17A等式证明（3.3）。让我们确定∈ N和y=（yi）ni=1。使用（3.2）并假设y（n）≥ 0we获取INF{α∈ (0, 1) :^V@Rαn（y）≤ 0}=inf{α∈ (0, 1) : -y型(nα+1)≤ 0}=ninf{k∈ （0，n）：y(k+1)≥ 0}=ninf{k∈ {0，1，…，n- 1} ：y（k+1）≥ 0}=nnXk=1{y（k）<0}=nXi=1{yi<0}n。在另一个hand上，如果y（n）<0，则使用约定inf = 1我们总结证据。平等证明（4.1）。让我们确定∈ N和y=（yi）ni=1。使用（4.2）并假设Pni=1yn≥0我们获取INF{α∈ （0，1）：^ESαn（y）≤ 0}=inf（α∈ (0, 1) : -Pni=1yi{yi+^V@Rαn（y）≤0}Pni=1{yi+^V@Rαn（x）≤0}!≤ 0）=inf（α∈ （0,1）：nXi=1yi{yi+^V@Rαn（y）≤0}≥ 0）=ninf（k∈ （0，n）：nXi=1yi{yi-y型(k+1)≤0}≥ 0）=ninf（k∈ {0，1，…，n- 1} ：nXi=1y（i）{y（i）-y（k+1）≤0}≥ 0）=ninf（k∈ {0, 1, . . .

n- 1} ：k+1Xi=1y（i）≥ 0）=nnXk=1{y（1）+…+y（k）<0}。另一方面，ifPni=1yn>0，然后使用约定inf = 1我们总结证据。参考Acerbi，C.和Sz\'ekely，B.（2014），“BACK测试预期短缺”，风险（2014年12月）。Acerbi，C.和Szekely，B.（20-17），“可回溯测试统计数据的一般属性”，预印本。Alexander，C.（2009），《市场风险分析，风险价值模型》，第4卷，John Wiley&Sons。BCBS-巴塞尔银行监管委员会（1996年），“反向测试”与市场风险资本要求的内部ls模式方法结合使用的监管框架，技术报告，国际清算银行。BCBS-Ba sel银行监管委员会（2016年），《市场风险最低资本要求》，技术报告，国际清算银行。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？18 Berkowitz，J.（2001），“测试密度预测，及其在风险管理中的应用”，《商业与经济统计杂志》19（4），465–474。Bielecki，T.R.，Cialenco，I.&Zhang，Z.（2012），“动态一致可接受性指数及其在金融中的应用”，数学金融24（3），411–441。Carver，L.（2013），“顶级量化人士表示，有争议的var替代品无法进行回测”，风险（2013年3月20日）。Carver，L.（2014），“回测预计短缺：任务可能吗？”，风险（2014年10月）。Cherny，A.S.和Madan，D.B.（20 09），“绩效评估的新措施”，《金融研究评论》22（7），2571–2606。Cont，R.、Deguest，R.&Scandolo，G.（2010），“风险度量过程的稳健性和敏感性分析”，定量金融10（6），593–606。Costanzino，N.&Curran，M.（2015），“应用于预期短缺的一般光谱风险度量的回溯测试”，风险模型验证杂志9（1），21–31。戴维斯，M。

（20 16），“内部风险度量估计值的确定”，统计与风险建模33，67–93。Du，Z.和Escanciano，J.C.（2016），“回溯测试预计短缺：会计ta-il风险”，《管理科学》63（4），940–958。Emmer，S.、Kratz，M.和Ta sche，D.（2015），“实践中的最佳风险度量是什么？《标准措施比较》，风险杂志18（2），31–60。Fama，E.F.&French，K.R.（2015），数据库。2015年10月20日查阅。网址：http://mba。卷起达特茅斯。教育部/佩奇/教员/肯。法语/数据库。htmlFissler，T.&Ziegel，J.F.（2016），“高阶可诱导性和osband原理”，《统计年鉴》44（4），1680–1707。Fissler，T。，Ziegel，J.F.&Gneiting，T.（2015），“预期的短期下跌与后验的风险价值影响是可共同引发的”，risk（2015年12月）。Frank，D.（2016年2月），“调整VAR以纠正样本波动率偏差”，风险（2016年10月）。Gneiting，T.（2011），“点预测的制定和评估”，美国统计协会杂志106（494），746–762。Kerkhof，J.和Melenberg，B.（200 4），“基于风险的监管资本的回溯测试”，《银行与金融杂志》28（8），1845-1865年。L¨oser，R.、Wied，D.和Ziggel，D.（2018），“非条件覆盖预期短缺的新回溯测试”，即将发表在《风险杂志》上。Mandelbrot，B.（1963），“某些特殊价格的变化”，《商业杂志》36（4），394-419。McNeil，A.J.&Frey，R.（2000），“异方差金融时间序列尾部相关风险度量的估计：极端价值法”，《实证金融杂志》第7期（3），271–300页。McNeil，A.J.、Frey，R.&Embrechts，P.（2010），《定量风险管理：概念、技术和工具》，普林斯顿大学出版社。诺尔德，N.&齐格尔，J。