效用无差异价格与超级复制价格的趋同

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英文标题：
《Convergence of utility indifference prices to the superreplication price
  in a multiple-priors framework》
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作者：
Romain Blanchard, Laurence Carassus
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper formulates an utility indifference pricing model for investors trading in a discrete time financial market under non-dominated model uncertainty. The investors preferences are described by strictly increasing concave random functions defined on the positive axis. We prove that under suitable conditions the multiple-priors utility indifference prices of a contingent claim converge to its multiple-priors superreplication price.   We also revisit the notion of certainty equivalent for random utility functions and establish its relation with the absolute risk aversion.
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中文摘要：
在非支配模型不确定性条件下，建立了离散时间金融市场中投资者交易的效用无差异定价模型。投资者偏好通过定义在正轴上的严格递增凹随机函数来描述。我们证明了在适当的条件下，未定权益的多先验效用无差异价格收敛于其多先验超复制价格。我们还重新讨论了随机效用函数的确定性等价概念，并建立了它与绝对风险厌恶的关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Convergence_of_utility_indifference_prices_to_the_superreplication_price_in_a_mu.pdf (400.83 KB)

2022-6-1 10:37:35 上传

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关键词：Indifference Mathematical Quantitative mathematica Replication

在多重先验条件下，效用无差异价格收敛于超级复制价格。邮件：romblanch@hotmail.com.Laurence卡拉索斯，E.m.艾尔：劳伦斯。carassus@devinci.frL埃诺德·芬奇·普罗莱大学研究中心，92 916 Paris La D’efense，Franceand LMR，UMR 9008，兰斯香槟大学阿登分校。摘要本文在非支配模型不确定性条件下，建立了一个适用于在特定时间金融市场交易的投资者的效用无差异定价模型。投资者偏好由正轴上定义的随机效用函数描述。我们证明了当投资者的绝对风险厌恶趋于一致时，未定权益的多优先级效用无差异价格收敛于其多优先级超复制价格。我们还重新探讨了多重先验确定性等价的概念，并建立了它与风险规避的关系。关键词s：公用事业i无差别价格；超级复制价格；绝对风险厌恶，骑士式的不确定性；多重先验；非domina-ted modelAMS 2000主题分类：主要91B70、91B16、91G20；二级91G10、91B30、28B20JEL分类：C61、D81、G 11、G131简介在本文中，我们考察了未定权益价格的不同定义及其在不确定性背景下的相关性。风险和不确定性是economiclife的核心，对代理人对风险和不确定性的反应方式进行建模是经济研究的中心主题（例如，参见【Gilboa，2009年】）。奈特的不确定性（见[奈特，1921]）意味着代理人对给定先验模型的选择不确定，即假设的结果。这是一种“未知-未知”的风险，与代理对其先前的情况有所了解，而只面临结果的随机性，这是一种“未知-未知”的风险。

与不确定性相关的问题出现在社会科学和经济学的各种具体情况中，例如决策。它们还影响到现代金融的许多方面，如定价和风险管理复杂衍生产品时的模型风险，或银行和其他金融实体监管时的资本需求量化。正如埃尔斯伯格悖论（见[Elsberg，1961]）所示，当面对不确定性时，代理人表现出对不确定性的厌恶：她倾向于选择不确定性减少的情况。当代理人只面临风险时，这就是风险厌恶的一部分。众所周知，如果想要在这种情况下代表代理人的偏好，冯·诺依曼和摩根斯特恩期望能力标准的公理（见【冯·诺依曼和摩根斯特恩，1947】）没有得到验证。萨维奇的性别张力（见【萨维奇，1954】）并不能解决这个问题，其中引入了取决于每个人的主观概率度量。因此，在本文中，我们遵循了【Gil boa和Schmeidler，1989年】提出的开创性方法，其中根据投资者偏好的独立公理，效用函数的形式是最坏情况下的预期效用：infP∈QEPU（X），其中Q是代表代理人对市场模型信念的所有可能概率度量的集合。不知何故，Q越大，代理在特定模型中的满意度越低，她希望尽可能多地考虑任何场景。例如，集合Q可以从GIVEN underlyngmodel开始构建，其中所有参数都不可用，但其中一些参数可以从可观察价格推断或估计。代理mig ht还想对这些参数的“正确”值添加自己的信念或观点。

当Q是由初始参考模型的小扰动产生的一组模型时，这种最坏情况下的预期效用表示也可用于稳健性考虑。例如，这与[Hansen a and Sergent，2001]的工作有关，在效用函数中添加了一个与给定某个参考概率度量的相对熵相对应的术语。【Gilboa和Schmeidler，1989年】的框架由【Maccheroni等人，2006年】扩展，他在效用函数中引入了惩罚条款。最后，[Cerreia Vioglio等人，2011年]通过更一般的功能infP代表偏好∈Qg（EPU（X），P），其中g是反映决策者对不确定性态度的所谓确定性指数。一个重要的特征是允许概率测度Q集不受支配。这意味着没有任何概率度量可以确定可能发生或不发生的事件集。这一观点的相关性通过一个具有波动性不确定性的潜在市场模型的具体例子来说明，见【Avellanda等人，1996】、【Lyons，1995】和【Epstein和Ji，2014】。对于一个简单的二项式模型，其中上下倍数属于区间，只要有一种情况下，其中一个区间不是微不足道的，先验集合就不是占优的（见Blanchard和Carassus【2019】）。然而，考虑到非支配模型会显著增加数学上的差异，因为概率论的一些经典工具，如条件期望或本质上限，不适合此框架（因为它们是根据给定的概率度量定义的）。这些类型的问题促进了创新数学工具的发展，如准确定随机分析、非线性期望、G-Brownianmotions。

关于这些主题，我们参考了【Peng，2011】、【Soner等人，2011年】或【Cohen，2012年】。在质量方面，无套利（NA）是许多问题的核心，也是定价问题的关键。它声称，从零财富开始，不可能达到正财富（即，几乎肯定是非负的，并且是严格正概率的严格正财富）。这种条件或非免费午餐条件的特征被称为资产定价的基本定理（简称FTAP），并将这些概念与等效风险中性概率测度（也称为鞅测度或定价测度）的存在联系起来，后者是将（贴现）资产价格过程转化为马丁酒。这一点最初在【Ha rrison和Kreps，1979】、【Harrison和Pliska，1981】和【Kreps，1981】中正式化，而【Dalang等人，1990】在NA条件下以一般离散时间集获得了FTAP。关于这一主题的文献非常丰富，我们可以参考【Delbaen和Schachermayer，2006】来了解总体概况。martinga-le测度用于为未定权益定价。然而，在不完全市场中，即当并非所有未定权益都可以通过动态交易完全复制时，风险中性概率度量不是唯一的，这会导致对给定权益的不同可能估值。超级复制价格是代理销售索赔所需的最低金额，以便通过市场交易进行超级复制。这是无风险的套期保值价格，据我们所知，这是在【Bensaid等人，19 92】的交易成本背景下首次引入的。在完全市场中，超级复制成本只是在唯一鞅测度下计算的现金流预期。

但在不完全市场中，超级复制成本等于在不同风险中性概率度量下计算出的期望值的上限。这就是所谓的超复制价格或超边缘定理的双重表述（例如，参见【El Karoui和Quenez，1991】或【Cvitani\'c and Karatzas，1992】）。自然，所有这些概念都在不确定性背景下重新引起了人们的兴趣，参见【Hobson，1998】【Davis and Hobson，2007】【Riedel，2011】【Cox and Obl\'oj，2011a】【Cox and Obl\'oj，2011b】【Acciaio et al.，2013】【Beiglbockock et al.，2013】【Dolinsky and Soner，2014】【Bouchard and Nutz，2015】【Cerreia Vioglio et a l.，2015】【Bank et al.，2 016】，【Burzoni等人，2016年】和【Cheridito等人，2017年】。人们可能会想，超级复制的价格是否太高，以至于无法在金融市场中实际使用，是否只应将其视为定价问题的上限。一方面，【Carassus和Vargiolu，2018年】证明了当风险资产的条件资产的支持度有界时，一些凸期权的超复制价格等于二项模型中的复制价格（见【Cox等人，1979年】），其参数是法律支持边界。因此，如果这种支持不是太大，superreplication的价格可能会很实用。【Carassus等人，2019年】在稳健设置中对这类结果进行了推广：多优先级超级复制价格对应于Q中极端优先级的联合国优先级超级复制价格。另一方面，申请价格有时过于繁重：例如，看涨期权的超级复制价格可能等于随机波动率模型下的初始价格（见[Cvitani\'c et a l.，1999]）。

因此，考虑另一个定价概念可能很有趣，特别是因为超级复制价格没有考虑代理的偏好。保留价格（或效用无差异价格）是对未定权益进行定价的另一种方法。在定量融资的背景下，在存在交易成本的情况下，首次在【Hodges和Neuberger，1989年】引入了定量融资。这是向出售或有权益的代理人支付的最低金额，加上她的初始资本，她在出售时的效用和通过市场动态交易获得的效用大于或等于她在不出售产品的情况下获得的效用。重要的是，这种价格概念允许考虑代理的偏好，并允许一些风险寻求行为，而超级复制价格对应于完全规避风险的代理。因此，保留价格应提供一种比最高申请价格更便宜的替代方案。但是我可以在实践中使用吗？考虑非流动性和基差风险的情况：期权有时是在非流动性基础资产上写的，其中流动性市场存在于一些密切相关的资产中（例如商品市场或实物期权）。为了找到合适的价格和仅使用可交易资产的最佳对冲策略，一种广泛使用的方法是保留价格（见[Henderson，2002]及其参考文献）。在指数效用函数的情况下，可以使用凸对偶以合理的显式形式计算价格。此外，【Monoyios，2004年】表明，基于指数效用最大化的最优策略比天真的Black-Scholes策略具有更好的hedgin G绩效，后者假设交易资产是非交易资产的良好代理。

然而，指数效用函数的保留价格与财富无关，这是不现实的，因为具有不同财富的代理人对风险的态度不同。这是考虑其他效用函数的一个很好的理由。在这些情况下，很难计算保留价格，但仍有可能获得幂级数展开式（见【Monoyios，2004年】）。在本文中，我们填补了文献中的一个空白，即在多优先级设置中引入保留价格，并研究其与（多优先级）超级复制价格的联系。我们的趋同结果表明，即使在多先验设置中，当绝对风险厌恶增加时，代理人的偏好与定价的相关性也越来越小：代理人基于偏好的价格趋同于无偏好风险的价格。为了证明这一点，我们从【Rouge and d El Karoui，2000】开始，扩展了指数效用函数和布朗模型的重要文献。然后，【Delbaen等人，2002年】将结果推广到一般半鞅设置，而【Bouchard，2000年】中处理了非指数情况，但对效用函数有严格限制。在离散时间市场模型中，【Carassus and d R'asonyi，2006年】和【Carassus and R'asonyi，2007a】以及【Carassus and d R'asonyi，2011年】对连续时间市场模型中考虑了一般效用函数的情况。我们选择在离散时间内工作，并考虑在半实线而不是整个实线上定义的效用函数。我们认为，这实际上与实际情况有关，因为它对应于代理人完全反对禁止的情况。

我们还可以考虑随机效用函数，以允许状态相关的绝对风险规避或随机参考点。据我们所知，定理3.14、3.15（对于非随机效用函数）和nd6.5（对于随机效用函数）是多重优先框架中的第一个一般渐近结果。我们处理正则市场中一般凹效用函数的情况（见假设2.6和定理3.14）和函数序列的一般市场的情况，这些函数可能是非凹的，但从上到下有界（见定理3.1.5）。请注意，【Bartl，2019年】同时获得了另一个基于效用的价格和具有恒定绝对风险规避的价格的收敛结果。即使这篇论文遵循了一长串的研究，人们也可能会对我们的渐近结果的理论（和实践）值提出质疑。首先，证明了在绝对风险厌恶程度较高的情况下，即使考虑代理人的偏好，超复制价格也是一种大学个人价格。事实上，与风险溢价有关的经验证据（见【Mehra和Prescott，1985】）表明，代理人的风险厌恶程度可能非常高。因此，在这些情况下，超级复制的价格是一个很好的近似值，即使是在多优先级的情况下。正如前面提到的，在一些非常普遍的情况下（如果setQ不是太宽），可以像在uni-prior情况下一样计算，并在实践中使用。除了这些情况（非常高的风险规避和“合理的”超级复制价格），考虑代理的偏好是获得较低价格的好方法（参见基本风险示例和第4节）。我们还将在静态环境中重新审视【Pratt，1964年】中引入的确定性等效概念。

我们将其推广到存在多个先验的情况下，并给出确定性等价的存在性和唯一性的一些条件（见命题3.20）。我们确定，尽管存在不确定性厌恶，但绝对风险厌恶允许对多个先验值进行排序，这些先验值肯定相等（见P位置3.21）。这一部分与【Giammarino和Barrieu，2013】有关，在【Cerreia Vioglio等人，2011】的代表下，为非随机效用函数引入了（静态）无差异价格的替代概念。最后，我们给出了一个详细的例子，其中说明了本文的所有概念和结果。我们选择在【Bouchard和Nutz，2015年】中介绍的离散时间框架下工作。我们在第2节概述了该框架的一些有趣特性，特别是在时间一致性方面。为了解决我们的问题，我们使用了【Ca ra ssus和R'asonyi，2006】中的一些参数，这些参数与【Bouchard和Nutz，2015，定理2.2和2.3】一起适用于我们的多先验框架。我们还使用了【Denis and Martini，2006】和【Denis et al.，2011】中开发的准确定性随机分析的一些元素。本文的结构如下：第2节介绍了本文其余部分所需的框架和定义。第3节给出了非随机效用函数的效用无差异价格收敛于超复制价格的主要定理。本节还回顾了我们设置中确定性等价和ab溶质风险规避之间的联系。第4节提出了一个详细的例子来说明我们的结果。第5节报告了这些屋顶。