多agent市场中商品交换的动力学模型

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英文标题：
《Kinetic models for goods exchange in a multi-agent market》
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作者：
Carlo Brugna and Giuseppe Toscani
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We introduce a system of kinetic equations describing an exchange market consisting of two populations of agents (dealers and speculators) expressing the same preferences for two goods, but applying different strategies in their exchanges. We describe the trading of the goods by means of some fundamental rules in price theory, in particular by using Cobb-Douglas utility functions for the exchange. The strategy of the speculators is to recover maximal utility from the trade by suitably acting on the percentage of goods which are exchanged. This microscopic description leads to a system of linear Boltzmann-type equations for the probability distributions of the goods on the two populations, in which the post-interaction variables depend from the pre-interaction ones in terms of the mean quantities of the goods present in the market. In this case, it is shown analytically that the strategy of the speculators can drive the price of the two goods towards a zone in which there is a marked utility for their group. Also, the general system of nonlinear kinetic equations of Boltzmann type for the probability distributions of the goods on the two populations is described in details. Numerical experiments then show how the policy of speculators can modify the final price of goods in this nonlinear setting.
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中文摘要：
我们引入了一个动力学方程组，描述了一个由两个代理人（交易商和投机者）组成的交易市场，他们对两种商品表示相同的偏好，但在他们的交易中应用了不同的策略。我们通过价格理论中的一些基本规则来描述商品交易，特别是通过使用交易所的柯布-道格拉斯效用函数。投机者的策略是通过对交换货物的百分比采取适当的行动，从交易中恢复最大效用。这种微观描述导致了两个群体上商品概率分布的线性Boltzmann型方程组，其中，就市场上存在的商品的平均数量而言，互动后变量取决于互动前变量。在这种情况下，分析表明，投机者的策略可以将两种商品的价格推向一个区域，在该区域中，投机者的群体具有显著的效用。此外，还详细描述了两个总体上货物概率分布的Boltzmann型非线性动力学方程的一般系统。数值实验表明，在这种非线性环境下，投机者的政策如何修改商品的最终价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Kinetic_models_for_goods_exchange_in_a_multi-agent_market.pdf (515.96 KB)

2022-6-1 10:40:55 上传

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关键词：agent 商品交换 Age 动力学 Quantitative

多智能体市场中商品交换的动力学模型Carlo Brugna*和Giuseppe Toscani+Dipartmento di Matematica，Universit\'a di Pavia，Via Ferrata 1，27100 Pavia，Italy。（日期：2021 8月2日）在本文中，我们介绍了一个动力学方程系统，该系统描述了一个由两个代理群体（经销商和投机者）组成的交易市场，他们对两种商品表示相同的偏好，但在他们的交易中应用了不同的策略。与[12]中提出的模型类似，我们通过价格理论中的一些基本规则来描述商品交易，特别是使用交易所的柯布-道格拉斯效用函数。投机者的策略是通过对交换货物的百分比采取适当的行动，从交易中恢复最大效用。这种微观描述导致了两个总体上商品概率分布的线性Boltzmann型方程组，其中，就市场上商品的平均数量而言，交互后变量取决于交互前变量。在这种情况下，分析表明，投机者的策略可以将两种商品的价格推向一个区域，在该区域中，投机者的群体具有显著的效用。此外，根据文献[12]，详细描述了两个总体上货物概率分布的Boltzmann型非线性动力学方程的一般系统。然后，数字实验展示了投机者的政策如何在这种非线性环境下修改商品的最终价格。PACS编号：89.65。Gh，05.20。Dd，05.10-人工智能。导言近年来，人们越来越有兴趣借助统计力学的典型方法开发能够描述多主体社会中价格形成的动力学模型[1，2]。

在[3]Cordier中，Pareschi和Piatecki介绍了一个简单金融市场行为的动力学描述，该市场由一群代理人组成，其中每个代理人都可以选择在股票和债券之间进行投资。在这种情况下，密度的变化从[4，5]中介绍的微观价格形成模型开始，通常称为Levy–Levy–Solomon模型。[3]中提出的动力学模型试图加入简单的金融规则玻耳兹曼型动力学方程，能够描述复杂的行为，然后可以模拟市场并解释价格形成机制。[6]中提出了财富与行为视角耦合的另一个例子。本研究研究了一个相对简单的金融市场动力学模型，其特征是单一股票或商品，以及两个不同交易者群体（图表主义者和原教旨主义者）之间的相互作用，这决定了股票的价格动态。该模型的灵感来自微观Lux–Marchesi模型【7，8】。金融规则依赖于交易员的意见，通过最近在[9]中引入的意见形成动力学模型。

【10】中开发了一个相关模型，允许主要负责交易的意见变量与价格加速严格相关。*电子地址：carlo。brugna@gmail.com+网址：www-dimat。unipv。it/托斯卡尼；电子地址：giuseppe。toscani@unipv.itAlso，最近在[11]中研究了代理人个人知识的重要性，以概述财富不平等如何取决于人口中的知识分布。在最近的一篇论文中，在人们进行交易以提高其效用的假设的推动下，我们将统计力学和动力学理论的方法与微观经济学中价格理论的某些原理相结合，考虑了遵循一般均衡理论中经常使用的Edgeworth box提供的规则的二元相互作用。Edgeworth box可以有效地应用于基于代理的系统，其中代理拥有数量有限的n≥ 2种不同类型。受这种效用增加和竞争平衡机制的启发，在[12]中引入并研究了一个Boltzmann型动力学方程，该方程用于研究两种物质在一个药剂系统中数量分布密度的演化。

基于Edgeworth-box思想的交换规则会导致高度非线性的交互作用，如果不是数值上的，则很难处理。因此，在[12]中被认为是一个合适的linearBoltzmann方程，通过允许代理与市场上数量足够多的代理同时交互（根据Edgeworth box）而获得。该模型表明，该线性方程具有唯一解，稳态集中在一条定义良好的线（价格线）上。基于Edgeworthbox交易所推动的二元交易的kineticmodel的有趣结果，并考虑到研究不同类型人群的内在兴趣，这些人群的行为不同，目的是获得最大效用[6–8，11]，在接下来的内容中，我们将介绍和讨论由两个群体组成的多智能体系统的无定势描述，这两个群体根据原则进行交互以获得最大效用，但允许两个群体中的一个通过在交叉交换中仅使用一部分来交换商品，目的是从这一策略中获得更好的回报。与Lux MarchesideDescription[7，8]类似，我们将把这一群体定义为投机者群体，将交易人的名字留给另一个人。运用微观经济的简单原理【14】，我们首先在第三节推导出一个Boltzmann型线性动力学方程组，该方程组描述了两个群体中商品数量的演变。研究表明，平均价格在时间上的演变遵循非线性规律，在某些情况下，这一规律可以被明确证明，以表明投机者可以有效地从他们的策略中获得净财富收益。

然后，在第四节中，我们将介绍一个非线性动力学方程组，类似于[12]中考虑的方程组，它能够描述一组投机者在卖方市场中的行为。第五节进行的数值实验揭示了各种策略的可能结果。二、导言中讨论的基本模型，大多数现有的财富分配动力学模型都基于刚性假设，如果一方面可以共享，另一方面与价格理论等经济学原理没有太大关系。本节的目的是介绍一个贸易框架，该框架直接来源于经济的基本原则【14】（参见【4】）。个人交换货物。他们获得的利益取决于他们交换的金额和条件。价格理论试图回答这个基本问题。为了简单起见，让我们首先考虑一个有N个代理的市场，这些代理拥有两种不同类型的商品，我们用X和Y表示。在开始时，代理（以k为索引）拥有一定数量的xk=xk（0）良好X和yk=yk（0）良好Y。虽然很明显，xkand和yk属于N+，但为了避免不必要的困难，在不丧失一般性的情况下，我们将始终将这些数字视为正实数。处理剂中每种货物的总数为：ynxk=1xk=Mx，NXk=1yk=My。（2.1）此外，我们假设标记已关闭，因此待交换货物的总数量在时间上保持不变。在固定的时间间隔内t、 代理商按照一定的策略交换部分商品。鉴于这些交易，代理人有时持有大量的货物X和Y，分别用xk（t）和yk（t）表示。根据（2.1），每次t≥ tNXk=1xk（t）=Mx，NXk=1yk（t）=My。

（2.2）通过计算两种货物中一种货物的时间价格sayX，等于单位，并用P（t）>0表示第二种货物Y的价格，每次t≥ t任何代理都有一个由wk（t）=xk（t）给出的高度wk（t-) + P（t）yk（t-). （2.3）英寸（2.3）t-= t型- t表示最后一次交换时间。本文的其余部分将使用相同的符号。在随后的任何时候，代理都会确定自己财富的分数，比如x，以分配好的x，并将提醒定位到好的Y。为了解释这种交易的原因，经典的假设是，代理人的行为是由效用函数驱动的。其中最常用的函数之一是柯布-道格拉斯效用函数u（x）=xα（wk（t）- x） β，α+β=1。（2.4）每个代理都会通过交易来实现其效用的最大化。值α和β与代理分配给这两种商品的偏好有关。如果α>β，代理商表示拥有第一类货物（编号为byx）。选择α=β=1/2显然意味着这两种货物对A同样重要。（2.4）的最大化更新了货物的数量toxk（t）=αwk（t）；P（t）yk（t）=βwk（t）。（2.5）未知价格P（t）的值可以很容易地从时间t的变量值中确定- t通过引用约束（2.2）。实际上，它保持snxk=1αwk（t）=Mx；NXk=1βwk（t）=Pk（t）My。（2.6）因此，通过求解P（t），我们得到了（固定时间）价格P（t）=P=βMxαMy。（2.7）正如预期的那样，商品Y的（相对）价格（2.7）与其偏好值β直接成正比，与封闭标记中Y类商品的数量Myof成反比。

将P（t）的表达式替换回（2.5）会得到新的货物数量xk（t）=xk（t-) + βMxmyk（t-) - xk（t-)yk（t）=yk（t-) + αMyMxxk（t-) - yk（t-).（2.8）这种非常简单的交换机制可以很容易地推广到不同的交易者群体，他们可以采取不同的策略。这些概括中最简单的是考虑由两组代理组成的市场，例如a和B，其中有固定数量的NAOF和NBof代理属于a和B组。与前一种情况一样，这两组代理拥有两种不同类型的X和Y。在开始时，A组的代理商拥有一定数量的xk=xk（0）goodX和yk=yk（0）GoodY，并且A组代理商处置的每种货物的总数为：YNAXK=1xk=Mx，NAXk=1yk=My。（2.9）同样，B组代理人拥有一定数量的货物Xxk=xk（0）和货物Yyk=yk（0），B组代理人处置的每种货物的总数由NBXk=1xk=mx，NBXk=1yk=my给出。（2.10）通过假设标记已关闭，两组货物的总处置量在一段时间内保持不变。然而，由于这两个群体的代理人在同一个市场上互动，每个群体中的商品总数可能会随着时间而变化。因此在时间t≥tNAXk=1xk（t）=Mx（t），NAXk=1yk（t）=My（t），（2.11）和NBXk=1xk（t）=Mx（t），NBXk=1yk=My（t）。（2.12）X和Y类货物的守恒则意味着在随后的任何时间t，mx（t）+mx（t）=mx+mx，My（t）+My（t）=My+My（2.13）≥ t、 整数乘以t≥ t、 代理交换部分货物。groupA的代理商，即经销商，遵循之前的策略。B组的投机者采取了不同的策略，基本上是基于储蓄。

持有金额时（￠xk（t-), yk（t-)) 在商品中，他们只在市场上交换一部分（λxxk（t-), λyyk（t-)) 其中0<λx，λy<1为固定常数。因此，第k个投机者的财富，例如，交易中涉及的~wk（t）是~wk（t）=λxxk（t-) + P（t）λyyk（t-). （2.14）因此，在本节约政策下，待交换货物的总数量与市场上可用货物的总（固定）数量并不一致，这是由数量（2.9）和（2.10）之和得出的。投机者的储蓄政策引入了（与时间相关的）约束NAxk=1αwk（t）+NBXk=1αwk（t）=Mx（t-) + λxmx（t-),NAXk=1βwk（t）+NBXk=1βwk（t）=P（t）（My（t-) + λymy（t-)),（2.15）表示t时市场上货物的有效数量- 1、按照之前的程序，A组代理人更新其货物，如（2.5）所示。然而，使用新的约束条件（2.15）给出了与时间相关的价格p（t）=β（Mx（t-) + λxmx（t-))α（My（t-) + λymy（t-)). （2.16）将P（t）的表达式替换回（2.3）中，以便经销商获得新的货物数量xk（t）=xk（t-)++βMx（t-) + λxmx（t-)我的（t-) + λymy（t-)yk（t-) - xk（t-)yk（t）=yk（t-)++α我的（t-) + λymy（t-)Mx（t-) + λxmx（t-)xk（t-) - yk（t-).（2.17）同样，投机者将其商品数量更新为▄xk（t）=▄xk（t-)++βMx（t-) + λxmx（t-)我的（t-) + λymy（t-)λyyk（t-) - λxxk（t-)yk（t）=▄yk（t-)++α我的（t-) + λymy（t-)Mx（t-) + λxmx（t-)λxxk（t-) - λyyk（t-).（2.18）参考Hedgeworth box提供的二进制交换规则，并随后将结果线性化，在【12】中获得了货物更新量的类似表达式。稍后我们将回到这个类比。三、 用于货物交易的玻尔兹曼系统。动力学模型先前的模型现在将在统计力学原理范围内建模。

让研究中的多代理系统由第二节的两类代理组成。设f（x，y，t）表示A类（经销商）试剂的密度，时间t时两种货物的数量为x andy≥ 0，且g（x，y，t）表示B类（投机者）的代理人密度，时间t时两种商品的数量为x和y≥ 如前所述，在不丧失一般性的情况下，我们假设x和y是非负实数。根据以下假设，两种密度f（x，y，t）和g（x，y，t）的时间演化的类Boltzmann麦克斯韦方程组可以用更新量（2.17）和（2.18）来表示。在时间t内处置的每种货物的总数≥ 0，之前由（2.11）和（2.12）给出，此处用t时密度函数的平均值代替≥ 0Mx（t）=ZR+x f（x，y，t）dx dy，My（t）=ZR+y f（x，y，t）dx dy，（3.19）和mx（t）=ZR+x g（x，y，t）dx dy，My（t）=ZR+y g（x，y，t）dx dy。（3.20）我们注意到，关于市场中有效存在的货物数量的这一较弱假设似乎是现实的，这与市场中的代理商根据其平均值准确感知货物数量的事实相一致。此外，考虑到很难通过执行最优交换来交换商品，我们允许商品的更新依赖于某种表示偏离最优选择的随机性，在任何情况下，通过保持平均意义上的最优性。