非局部算子的障碍问题

我们用C（\'U）表示连续函数的空间su：\'U→ Rn，因此kukc（\'U）：=supx∈\'U | U（x）|<∞.参见条件（1.22）中的第一个标识。§见条件（1.22）中的第一个标识。非局部算子的障碍问题7We let C∞c（Rn）是定义在Rn上的光滑函数的空间，具有同位序的有界导数。对于所有α∈ （0，1），函数u：(R)u→ RN属于C0，α（\'U）如果KUKC0，α（\'U）：=kukC（\'U）+[U]C0，α（U）<∞,其中，我们通常定义[u]C0，α（u）：=supx，x∈\'U，x6=x | U（x）- u（x）| | x- x |α。当α∈ （0，1），我们表示简洁Cα（U）：=C0，α（(R)U）。对于所有的T>0，我们用CTC0,1x（[0，T]×Rn）表示函数u的空间：[0，T]×Rn→ R使得kukctc0,1x（[0，T]×Rn）：=kukC（[0，T]×Rn）+supt，T∈[0，T]，t6=tx，x∈Rn，x6=x | u（t，x）- u（t，x）| | t- t |+| x- x |<∞,我们让CtCx（[0，T]×Rn）表示函数u的空间：[0，T]×Rn→ R使得时间变量的二阶导数和空间变量的二阶导数是连续且有界的。给定一组U Rn，我们用Ucits补码表示。对于所有a、b∈ R、 我们表示a∧ b：=最小值{a，b}和a∨ b：=最大值{a，b}。对于所有r>0和x∈ Rn，我们用Br（x）表示半径为r，以x.2为中心的欧氏球。平稳障碍问题在这一节中，我们给出了命题1.2、定理1.4和1.5的证明。此外，我们还证明了引理2.1中的动态规划原理和引理2.2中的比较原理。我们从命题1.2的证明开始。我们用{Xx（t）}t表示≥0初始条件X（0）=X的随机方程（1.1）的唯一强解∈ 注册护士。由于函数Д和f是有界的，且零阶项c满足特性（1.9），很明显，值函数v定义（1.7）是有界的。

为了证明v的H¨older连续性，我们使用了th在| v（x）处的事实- v（x）|≤ supτ∈T | v（x；τ）- v（x；τ）|， x、 x个∈ Rn，（2.1），我们可以在不丧失一般性的情况下假设| x- x |<1，因为v是有界的。设T>0为常数。使用函数v（x；τ）的定义（1.8）和条件（1.9），我们可以看到在| v（x；τ）处的th- v（x；τ）|≤ Ehe公司-Rτc（Xx（s））ds |Д（Xx（τ））- Д（Xx（τ））| 1{τ≤T}i+Ehe-Rτc（Xx（s））ds- e-Rτc（Xx（s））ds|Д（Xx（τ））| 1{τ≤T}i+EZτ∧Te公司-Rtc（Xx（s））ds | f（Xx（t））- f（Xx（t）| dt+ EZτ∧Te-Rtc（Xx（s））ds- e-Rtc（Xx（s））ds|f（Xx（t））| dt+ 2.k^1kC（Rn）+kfkC（Rn）e-计算机断层扫描。8 D.DANIELLI、A.PETROSYAN和C.A.P OPProperty（1.9）以及函数C、f和Д是Lipschitz连续的事实告诉我们存在一个正常数，C=C（C，[C]C0,1（Rn），kДkC0,1（Rn），kfkC0,1（Rn）），因此| v（x；τ）- v（x；τ）|≤ CEhe公司-c（τ∧T）| Xx（τ∧ （T）- Xx（τ∧ T）| i+CEZτ∧Te公司-ct | Xx（t）- Xx（t）| dt+ 总工程师Zτ∧Te公司-ctZt | Xx（s）- Xx（s）| ds dt+ 总工程师-计算机断层扫描。（2.2）使用随机方程（1.1）中的假设（1.6），可以得出Xxi（t）=xi+Ztb（Xxi（s））ds+ZtZRn{O}y deN（ds，dy），对于i=1，2， t>0，这就得到了xx（t）- Xx（t）=x- x+Zt（b）（Xx（s-)) - b（Xx（s-))) ds， t>0，并且利用漂移系数b（x）是Lipschitz连续函数的事实，我们得到| Xx（t）- Xx（t）|≤ |x个- x |+[b]C0,1（Rn）Zt | Xx（s-) - Xx（s）-)| ds， t>0。Gronwall的等式现在给出了| Xx（t）- Xx（t）|≤ |x个- x | eβt， t>0，其中表示f或简洁性β：=[b]C0,1（Rn）。上述不等式与（2.2）一起表示| v（x；τ）- v（x；τ）|≤ C|x个- x |（e（β-c） T+1）+e-计算机断层扫描,  τ ∈ T（2.3）让γ：=c/β，并选择足够大的T>0，以使E-cT=| x- x |γ，（2.4）我们有| x- x | e（β-c） T=| x- x | 1+γ-γβ/c=| x- x |γ。（2.5）现在让α：=1∧ γ、 根据估算值（2.3）、（2.4）和（2.5）th得出| v（x；τ）- v（x；τ）|≤ C | x- x |α， x、 x个∈ 注册护士， τ ∈ T

（2.6）因此，利用恒等式（2.1），我们得出，函数v的值属于Cα（Rn）。当不等式（1.10）成立时，值函数v属于C0,1（Rn）的事实是γ≥ 1，因此α=1。这就完成了证明。对于所有r>0和x∈ Rn，我们让τr：=inf{t≥ 0:Xx（t）/∈ Br（x）}，（2.7）其中{Xx（t）}t≥0是方程（1.1）的唯一解，初始条件Xx（0）=x，br（x）是半径r以x为中心的欧几里德球。借助下面的动态规划原理，我们证明了定理1.4。非局部算子的障碍问题9引理2.1（动态规划原理）。假设命题1.2的假设成立。然后，（1.7）中定义的值函数v（x）满足：v（x）=sup{v（x；r，τ）：τ≤ τr}， r>0，（2.8），其中我们定义nev（x；r，τ）：=Ehe-Rτc（Xx（s））dsД（Xx（τ））1{τ<τr}+v（Xx（τ））1{τ=τr}i+EZτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt.（2.9）证明。我们用w（x）表示恒等式（2.8）的右侧，并将证明分为两步。步骤1（不等式v（x）的证明）≤ w（x））。Letτ∈ T从函数v（x；τ）的定义（1.8），σ-代数Fτr的条件，我们得到v（x；τ）=Ee-Rτc（Xx（s））dsД（Xx（τ））1{τ<τR}+Zτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt+ Eh{τ≥τr}e-Rτrc（Xx（s））ds×Ee-Rττrc（Xx（s））dsД（Xx（τ））+Zττre-Rtτrc（Xx（s））dsf（Xx（t））dtFτr.（2.10）Letθ：=（τ）- τr）∨ 我们接下来证明了前面恒等式中的最后一项可以写成形式v（Xx（τr）；θ） =Ee-Rττrc（Xx（s））dsД（Xx（τ））+Zττre-Rtτrc（Xx（s））dsf（Xx（t））dtFτr,P-a.s。

关于{τ≥ τr}。（2.11）为了这个目的，我们需要证明，e是Pgiven Fτr的正则条件概率分布，θ是{Fτr+t}t≥0-停止时间。为了构造正则的条件概率分布，我们可以假定样本空间Ohm 具有L'evy测度ν（dy）的泊松随机测度N（dt，dy）是函数空间ω：[0，∞) → 右连续且具有左极限（RCLL）的RN。我们赋予空间Ohm 通过Skorohod拓扑生成的Borelσ-代数，【8，第3.5章】，我们用G表示所有t≥ 0，我们让GT表示由上的Skorohod拓扑生成的σ-代数Ohmt： ={ω：ω：[0，t]→ RnRCLL}。设G′（G′t）为G（Gt）生成的σ-代数和G的P-空集，设F：=G′，Ft=∩s> tG’s，我们得到了过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）满足了[11，§I.1]中的通常假设。此外，应用[8，定理3.5.6]，我们得到Ohm Skorohod拓扑的端点是一个完全可分度量空间，因此[12，定理1.1.6和1.1.8]给出了给定Fτr的P的正则条件概率分布，我们用Pτr表示。为了得出S步骤1的证明，我们接下来证明了1。随机时间θ：=（τ- τr）∨ 0是{Fτr+t}t≥0-停止时间。权利要求1的证明。我们将展示这一切≥ 我们有{θ≤ t}∈ Fτr+t，这等价于证明对于所有的t<s，我们有事件s：={τ≤ τr+t}∩ {τr+t≤ s} 属于Fs。因为过滤{Ft}t≥0是右连续的，前面的包含可以用以下条件替换：={τ<τr+t}∩ {τr+t<s}∈ Fs， 0≤ t<s.（2.12）10 D.DANIELLI、A.PETROSYAN和C.A.P.Op事件可以用以下形式书写：∪n∈N∪q∈[0，s-t）∩Q（{Q- 1/n<τr<q}∩ {τ<q- 1/n+t}），这清楚地表明它们属于σ-代数Fs。

因此，适当性（2.12）得到满足，从而得出权利要求1的证明。应用权利要求1和过程{Xx（t）}t的强马尔可夫性≥0，我们得到e-Rττrc（Xx（s））dsД（Xx（τ））+Zττre-Rtτrc（Xx（s））dsf（Xx（t））dtFτr= EPτre-Rθc（Xx（s））dsД（Xx（θ））+Zθe-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt, 关于{τ≥ τr}，它与定义（1.8）一起给出了恒等式（2.11）。恒等式（2.10）和（2.11）表示v（x；τ）≤ Ee-Rτc（Xx（s））dsД（Xx（τ））1{τ<τR}+Zτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt+ Eh{τ≥τr}e-Rτrc（Xx（s））dsv（Xx（τR））i（因为v（Xx（τR；θ））≤ v（Xx（τr））乘以（1.7））=v（x；r，τ∧ τr）（通过（2.9））。不等式v（x）≤ w（x）现在遵循前面的表达式，取最大总停止时间τ∈ T步骤2（不等式w（x）的证明）≤ v（x））。We fixε∈ （0，1），我们选择一个停止时间τ=τ（ε）≤ τrw的性质为w（x）<v（x；r，τ）+ε。（2.13）我们选择了Borel m可测集的可数族，{Ak}k∈N、 区域Rn和点序列{xk}k∈N、 这样xk∈ Ak公司 Bε（xk）。对于所有k∈ N、 我们选择一个停止时间θk∈ T，使得v（xk）<v（xk；θk）+ε。（2.14）Letα∈ （0，1）是命题1.2中出现的H¨older指数。对于所有ω∈ {τ=τrand Xx（τr）∈ Ak}，我们有thatv（Xx（τr））≤ v（xk）+Cεα（by（2.6）和Ak Bε（xk））≤ v（xk；θk）+ε+Cεα（由我们选择θkin（2.14））≤ v（Xx（τr）；θk）+（v（xk；θk）- v（Xx（τr）；θk））+ε+Cεα≤ v（Xx（τr）；θk）+ε+2Cεα（由（2.6）和Ak Bε（xk））。前面的构造以及v（x；r，τ）的定义（2.9）和不等式（2.13）yieldw（x）<Ee-Rτc（Xx（s））dsД（Xx（τ））1{τ<τR}+Zτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt+ E“E-Rτc（Xx（s））dsXk∈Nv（Xx（τr）；θk）1{τ=τr}{Xx（τr）∈Ak}#+Cεα。（2.15）我们注意到，通过让Sτr（ω）（t）：=ω（τr+t）表示移位算子，我们有非局部算子的障碍问题11权利要求2。

由τ定义的随机时间：=τr+Xk∈Nθk（Sτr）1{τ=τr}{Xx（τr）∈Ak}（2.16）是{Ft}t≥0-停止时间。权利要求2的证明。因为τris a{Ft}t≥0-停止时间，权利要求2的结论如下，我们证明了在随机时间θ：=- τris a{Fτr+t}t≥0-停止时间。为此，有必要证明集合E：={θ≤ t} 对于所有t，Fτr+t可测量吗≥ 0、根据θ和τ的定义，使用集合族{Ak}k∈Npartitions Rn，我们可以写为集合{Ek}k的不相交并集∈N、 式中，Ek：={Xx（τr）∈ Ak}∩ {τ=τr}∩ {θk（Sτr）≤ t} ，则， k∈ N、 一旦我们证明集合Ekis Fτr+t-可测，对于所有k∈ N、 使用移位运算符Sτr：(Ohm, Fτr+t）→ (Ohm, F） 是一个可测函数，θkis a{Ft}t≥0-停止时间，我们得到事件{θk（Sτr）≤ t} Fτr+t-可测。将这一性质与{Xx（Sτr）这一事实结合起来∈ Ak}和{τ=τr}是Fτr-可测集，我们推导出Ekis Fτr+t-可测集。因此，对于所有t，集合E是Fτr+t-可测的≥ 0，完成了权利要求2的证明。使用定义（1.8），我们得到了thatXk∈Nv（Xx（τr）；θk）1{τ=τr}{Xx（τr）∈Ak}=1{τ=τr}EPτre-R？ττrc（Xx（s））dsИ（Xx（？τ））+Z？ττre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt.回顾Pτris是给定Fτr的正则条件概率分布，它由递减恒等式和（2.15）得出w（x）<Ee-Rτc（Xx（s））dsД（Xx（τ））1{τ<τR}+Zτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt+ Ehe公司-Rτc（Xx（s-)) ds{τ=τr}×Ee-R？ττrc（Xx（s））dsИ（Xx（？τ））+Z？ττre-Rtτrc（Xx（s））dsf（Xx（t））dtFτr+ Cεα。权利要求2得出“τ”属于T，使用定义（1.8），我们可以将前面不等式右侧的前两项之和写成v（x；“τ”）。因此，我们推导出w（x）<v（x；(R)τ）+cεα，f，由此得出w（x）<v（x）+cεα的恒等式（1.7）。

我们得到了期望的不等式w（x）≤ v（x）通过让ε趋于零。第1步和第2步结合完成证明。接下来，我们应用L emma 2.1给出定理1.4的证明。我们将证明分为两个步骤。步骤1（验证v为亚分辨率）。为了证明v是方程（1.5）的次解，让u∈ C（Rn）应确保u（x）=v（x）和u（x）≥ v（x），对于所有x∈ 注册护士。我们需要证明这一点-Lu（x）+c（x）u（x）≤ f（x）或u（x）≤ ^1（x）。12 D.DANIELLI、A.PETROSYAN和C.A.P OPWe在不丧失一般性的情况下假设u（x）>Д（x），否则得出v是一个解的结论。对于所有停止时间τ∈ T，It^o规则应用于u和唯一强解{Xx（T）}T≥0，对于方程（1.1），初始条件Xx（0）=x，使用-Rτc（Xx（s））dsu（Xx（τ））=u（x）+Zτe-Rtc（Xx（s））ds（L）- c（Xx（s）））u（Xx（t））dt+M（τ），其中我们定义了过程M（t）：=ZtZRn{O}e-Rsc（Xx（r））dr（u）（Xx（s-) + F（Xx（s-), y） （）- u（Xx（s-)))eN（ds，dy），适用于所有t≥ 根据命题1.2，条件（1.12）和[1，定理4.2.3]，过程{M（t）}t≥0是一个鞅，它给我们u（x）=Ehe-Rτc（Xx（s））dsu（Xx（τ））i+EZτe-Rtc（Xx（s））ds(-L+c（Xx（t）））u（Xx（t））dt.通过矛盾假设存在正常数ε和r，这样(-L+c）u（x）≥f（x）+ε，对于所有x∈ Br（x）。

使用v（x）=u（x）的事实，并将u（x）前面等式中的停止时间τ替换为τ∧ τr，它遵循v（x）≥ Ehe公司-Rτ∧τrc（Xx（s））dsu（Xx（τ∧ τr））i+EZτ∧τre-Rtc（Xx（s））ds（f（Xx（t））+ε）dt.让M：=kckC（Rn），并使用EZτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsdt≥ EZτ∧τre-Mtdt= EM1.- e-Mτ∧τr≥ E2M{e-Mτ∧τr≤1/2}+τ ∧ τr{e-Mτ∧τr>1/2}≥Eτ ∧ τr∧M,它遵循V（x）≥ Ee-Rτ∧τrc（Xx（s））dsu（Xx（τ∧ τr））+Zτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt+εEτ ∧ τr∧M.（2.17）回想一下，u（x）>Д（x），u（x）=v（x），和u≥ v在Rn上，所以我们可以假设，在不损失一般性的情况下，r被选择得足够小，以至于u（x）≥ v（x）>Д（x），对于所有x∈ Br（x）。这意味着SUPτ∈TE公司e-Rτ∧τrc（Xx（s））dsu（Xx（τ∧ τr））+Zτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt非局部算子的障碍问题13≥ s向上τ∈特赫-Rτ∧τrc（Xx（s））dsД（Xx（τ∧ τr））1{τ<τr}+v（Xx（τ∧ τr））1{τ≥τr}i+EZτ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt= v（x），在最后一行中，我们应用了Lemm a 2.1。因此，对于所有δ>0，我们可以选择停止时间τδ∈ T的属性为e-Rτδ∧τrc（Xx（s））dsД（Xx（τδ∧ τr））1{τδ<τr}+v（Xx（τδ∧ τr））1{τδ≥τr}+ E“Zτδ∧τre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt#>v（x）- δ.（2.18）在不等式（2.17）中取τ=τδ，并使用（2.18），可以得出，对于所有δ>0，我们有其不等式v（x）≥ v（x）- δ+εEτ ∧ τr∧M. （2.19）我们下一步声明LIM infδ→0Eτδ∧ τr∧M> 0。（2.20）当属性（2.20）不成立时，存在序列{δk}k∈确保{Eτδk∧ τr∧M}k∈nConvergence为零，且{τδk∧ τr}k∈Nalso收敛到零P-a.s。。该性质和支配收敛定理由不等式（2.18）表示，即：ν（x）Px（τr>0）+v（x）Px（τr=0）≥ v（x）。这意味着Д（x）Px（τr>0）≥ v（x）Px（τr>0），利用事件τr>0具有正概率的事实，我们得到了不等式ν（x）≥ v（x），这与我们的假设相矛盾，即u（x）=v（x）>Д（x）。因此，属性（2.20）成立。

将现在的（2.20）与不等式（2.19）结合起来，这里我们让δ趋于零，我们得到了矛盾v（x）>v（x）。这意味着-Lu（x）+c（x）u（x）≤ f（x），它保证{-Lu（x）+c（x）u（x）- f（x），u（x）- ^1（x）}≤ 0，因此，（1.7）中定义的v实际上是障碍问题（1.5）的粘度子解。这就是S步骤1的证明。步骤2（验证v是上解）。让u∈ C（Rn）应确保u（x）=v（x）和u（x）≤ v（x），对于所有x∈ 注册护士。我们的目标是证明Min{-Lu（x）+c（x）u（x）- f（x），u（x）- ^1（x）}≥ 0，因此得出结论，值函数v是障碍问题（1.5）的上解。定义（1.7）表示v（x）≥ ^1（x），对于所有x∈ Rn，尤其是u（x）≥ ^1（x）。因此，我们需要证明- Lu（x）+c（x）u（x）≥ f（x）。（2.21）假设上述不等式不成立，则存在正常数ε和r，因此- Lu（x）+c（x）u（x）≤ f（x）- ε,  x个∈ Br（x）。（2.22）14 D.DANIELLI、A.PETROSYAN和C.A.P利用u（x）=v（x）的事实，并将It^o规则应用于u和唯一强解{Xx（t）}t≥对于初始条件为Xx（0）=x的方程（1.1），我们得到与步骤1tV（x）=E类似的结果e-Rτrc（Xx（s））dsu（Xx（τR））+Zτre-Rtc（Xx（s））ds(-L+c（Xx（t-)))u（Xx（t））dt≤ Ee-Rτrc（Xx（s））dsv（Xx（τR））+Zτre-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt- εEZτre-Rtc（Xx（s））dsdt,在第二个不等式中，我们使用了u（x）≤ v（x），对于所有x∈ Rn，以及假设（2.22）。请注意，上述第二个不等式中的第一项是v（x；r，τr）by恒等式（2.9）。应用引理2.1，我们得到v（x；r，τr）≤ v（x），这给了我们v（x）≤ v（x）- εExZτre-Rtc（X（s））dsdt.由于Px（τr>0）为正，我们得到了矛盾v（x）<v（x）。

这意味着不等式（2.21）成立，这表明v是方程（1.5）的上解。第1步和第2步完成证明（1.7）中定义的值函数是障碍问题（1.5）的粘度解。借助于以下比较原理，我们证明了定理1.5：定理2.2（比较原理）。假设假设1.1成立，c∈ C（Rn）满足条件（1.9），f∈ C（Rn），条件（1.20）成立。如果u和v分别是障碍问题（1.5）的粘性亚解和上解，则u≤ v、 证明。与无界域上粘度s解的比较参数一样，[7，定理5.1的证明]，我们让α和ε为正常数，并定义：Mα，ε：=supx，y∈Rnnu（x）- v（y）-α| x- y型|- ε（| x |+| y |）o.（2.23）设xα，ε和yα，ε为达到Mα，ε上确界的点，由[7，引理3.1]得出α| xα，ε- yα，ε|→ 0，作为α→ ∞, （2.24）因此，我们可以假设xα，ε，yα，ε→ xε，asα→ ∞, （2.25）再次应用[7，引理3.1]，我们得到thatu（xε）- v（xε）- 2ε| xε|=supx∈Rn{u（x）- v（x）- 2ε| x |}。（2.26）对于所有δ>0，条件（1.20）确保存在r=r（α，δ，ε）∈ （0，δ）使得br {y∈ Rn：| F（xα，ε，y）|<δ和| F（yα，ε，y）|<δ}。我们考虑辅助函数^u（x）：=u（xα，ε）+α|x个- yα，ε|- |xα，ε- yα，ε|+ ε（| x|- |xα，ε|），u（x）：=^u（x），如果x∈ Br（xα，ε），u（x），if x∈ （Br（xα，ε））c，非局部算子的障碍问题15对于所有x∈ 注册护士。从Mα，ε的定义（2.23）以及从点xα，ε和yα，ε的选择中，我们可以看到≤ R上的u和xα，ε是u- \'u达到最大值。同样，我们定义了^v（y）：=v（yα，ε）+α|xα，ε- yα，ε|- |xα，ε- y型|- ε（| y|- |yα，ε|），v（y）：=^v（y），如果y∈ Br（yα，ε），v（y），如果y∈ （Br（yα，ε））c，对于所有y∈ Rn，我们看到v≥ R上的v和yα，ε是v- ？v达到其最小值。