局部波动模型中的短期远期亚洲期权

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英文标题：
《Short Maturity Forward Start Asian Options in Local Volatility Models》
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作者：
Dan Pirjol, Jing Wang, Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the short maturity asymptotics for prices of forward start Asian options under the assumption that the underlying asset follows a local volatility model. We obtain asymptotics for the cases of out-of-the-money, in-the-money, and at-the-money, considering both fixed strike and floating Asian options. The exponential decay of the price of an out-of-the-money forward start Asian option is handled using large deviations theory, and is controlled by a rate function which is given by a double-layer optimization problem. In the Black-Scholes model, the calculation of the rate function is simplified further to the solution of a non-linear equation. We obtain closed form for the rate function, as well as its asymptotic behaviors when the strike is extremely large, small, or close to the initial price of the underlying asset.
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中文摘要：
在标的资产遵循局部波动模型的假设下，我们研究了远期亚洲期权价格的短期渐近性。考虑到固定行使期权和浮动亚式期权，我们得到了缺钱、有钱和有钱情况下的渐近解。利用大偏差理论处理无本金远期亚式期权价格的指数衰减，并由双层优化问题给出的利率函数控制。在Black-Scholes模型中，速率函数的计算进一步简化为非线性方程的解。我们得到了利率函数的闭合形式，以及当罢工非常大、非常小或接近标的资产初始价格时，其渐近行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Short_Maturity_Forward_Start_Asian_Options_in_Local_Volatility_Models.pdf (588.37 KB)

2022-6-1 12:15:39 上传

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关键词：波动模型 Quantitative Optimization asymptotics Calculation

本地波动率模型中的短期远期亚洲期权Dan Pirjol*, 王静+，朱凌炯摘要我们研究了在标的资产遵循局部波动模型的假设下，远期亚洲期权价格的短期渐近性。考虑到固定罢工和浮动亚洲期权，我们获得了缺钱、有钱和有钱情况下的渐近性。利用大偏差理论处理无本金远期亚式期权价格的指数衰减，并由双层优化问题给出的利率函数控制。在Black-Scholes模型中，速率函数的计算进一步简化为非线性方程的解。我们得到了利率函数的闭合形式，以及当罢工非常大、非常小或接近标的资产的初始价格时，其渐近行为。关键词：远期启动亚式期权，短到期渐近，局部波动模型，大偏差，变分问题。2010年数学学科分类号：91G20、91G80、60F10。内容1简介22局部波动率模型52.1货币外和货币内渐近性。62.2货币渐近。92.3关于变分问题的讨论。113 Black-Scholes模型和近似值133.1 Black-Scholes模型下的速率函数。133.2关于变分问题和最优路径的讨论。153.3速率函数的进一步渐近估计。203.4等价Black-Scholes波动率。

274浮动行使亚洲期权294.1远期启动浮动行使亚洲期权。294.2广义亚洲期权。354.3亚洲期权的正向启动飞行数值试验。38*电子邮件：dpirjol@gmail.com+伊利诺伊大学香槟分校数学系。电子邮件：wangjing@illinois.edu佛罗里达州立大学数学系。电子邮件：zhu@math.fsu.eduA注释391简介亚洲期权是股票和商品市场上最受欢迎的交易工具之一。人们提出了各种各样的数值和精确方法来进行定价[12,16,18,20,21,25,33,38,45]，参见Boyle和Potachik[8]的调查。这些方法大多是数值计算密集型的。蒙特卡罗方法需要很长的时间，希腊人的计算也很精细。基于数值积分反演Laplacetransforms的方法【21，25】需要特别注意小成熟度和/或小波动性区域。最近，在局部波动率模型的短到期渐近区域[1,35,36]中，研究了具有连续时间平均的亚式期权的定价。该方法使用大偏差理论，并将短期到期渐近与资产价格时间平均值的比率函数相关联。对于Black-Scholes模型和CEV模型，可以获得速率函数的显式结果。这种方法避免了上述方法中提到的短期到期和/或波动性区域的数值发行。

相关方法考虑了在Black-Scholes模型下，在[37]中提出的大量平均日期的限制下，具有离散时间平均值的亚式期权的渐近性。在本文中，假设资产价格遵循局部波动模型，我们对短期渐进机制下的远期启动亚式期权感兴趣。向前启动选项在未来的指定日期生效；然而，提前支付的溢价、到期时间和标的资产是在购买远期启动期权时确定的，参见例如[34]。文献中的各种著作都研究了提前启动的欧洲期权（Europeanoptions）。此类期权的收益为- kST）+其中t<t<t是定价日期，k是罢工。更多的外部衍生产品，如Cliques，也取决于未来时代（futuretimes）资产价格的联合分布，见【22】中的一项调查。远期启动期权取决于未来的波动水平，已经提出了几种方法来描述这一数量并对其动态进行建模。随机波动模型是一种流行的方法。为了对波动性衍生品进行定价，一种方便的方法是方差曲线模型[9]。还提出了隐含波动率的动力学模型【40】，尽管无套利的动力学规范会导致复杂的一致性条件【39】。论文[26]介绍了用于预测目的的正向波动率的不同概念。Bergomi在一系列论文中对“向前微笑”进行了实证研究[5]。

本文[19]对佐藤模型中的远期微笑进行了实证研究，并与一系列模型进行了比较，其中包括赫斯顿模型和派系等远期微笑敏感产品的局部波动率模型。与本文所采用的方法更为密切相关的是，在[29,30]中，在各种小到期和大到期情况下，对远期startEuropean期权的渐近性进行了研究。假设资产价格遵循指数L'evy和Heston模型，亚洲期权定义为T>T的平均期[T，T]。总平均期为T- T期权在时间T支付。例如，具有K次行使的远期开始（固定行使）亚洲看涨期权支付T-TRTTStdt-K+在时间T，该期权的价格由风险中性度量下的预期给出c（T，T）=e-rTE“T- TZTTStdt-K+#. （1.1）类似地，远期启动固定行使亚洲期权的价格由p（T，T）=e给出-rTE“K-T- TZTTStdt+#. （1.2）另一种流行的工具是浮动罢工亚洲期权。远期起价冲击亚洲看涨期权的价格为cf（T，T）=e-rTE“κST-T- TZTTStdt+#, （1.3）且远期起始认沽期权的价格由PF（T，T）=e给出-rTE“T- TZTTStdt-κST+#. （1.4）文献[1、35、36]假设平均期从估值时间开始（T=0）。然而，在实践中，亚式期权的平均期也可能在将来的某个时间T>0时开始。回想一下，总平均周期为T- 期权在时间T支付。文献中考虑了远期启动亚洲期权，Bouaziz等人[7]和Tsao等人[42]提出了分析近似值，还包括quanto效应，见Chang等人[10]。Vanmaele等人。

[43]考虑了Black-Scholes模型下具有离散时间平均的前向启动亚洲期权，并从共名性推导出这些工具的价格上界。在本文中，我们感兴趣的是前向启动亚式期权的极限行为，当Tand-Tapproach为0时，比率为常数。对于某些固定比率τ，设T=τT和T=T∈ （0，1）和到期日T>0。很明显，当看涨期权缺钱（S<K）或在钱（S=K）时，我们有C（T）：=C（T，T）→ 0作为T→ 类似地，当看跌期权不在货币范围内（S>K）或在货币范围内（S=K）时，我们有P（T）：=P（T，T）→ 0作为T→ 然而，限制行为是相当不同的。事实上，缺钱的情况受罕见事件的控制，这些事件应通过大偏差技术捕获，而在钱的情况下，则受典型事件的影响。当τ=0时，这属于标准亚式期权的情况，其短期到期渐近性在[35]中进行了研究。在本文中，我们考虑了严格正演情况，即τ>0时。这种情况需要特别考虑。我们假设标的资产遵循局部波动模型。从（1.1）可以看出，短期到期定价问题相当于估计平均资产价格超过履约价格的可能性，即P1.-τRτST tdt>K, 当K>沙T时，这是一个arare事件→ 自然的方法是使用大偏差理论和收缩原理[13]。

例如，当K>S，limT时，我们可以得到forwardstart亚洲呼叫的价格（S，K，τ，T）满足→0T日志C（T）=- inf1-τRτeg（t）dt=Kg（0）=对数S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt=：-Ifwd（S，K，τ）。这表明对概率P的主要贡献1.-τRτST tdt>K与（τ，1）期间算术平均值为K的绝对连续路径的最小能量密切相关。该最小能量称为大偏差问题的速率函数。虽然寻找速率函数的闭合形式相当复杂，但我们能够将其简化为一个双层变分问题ifwd（S，K，τ）=infc∈Rcτ+1-τISeF公司-1（cτ），K, （1.5）式中，F（·）由F（·）=R·dzσ（Sez）给出，I（x，K）由变分问题I（x，K）=infν给出∈AC[0,1]，Д（0）=0ReД（u）du=K/x（ZД（u）σ（xeД（u））du）。我们发现，对应于最小能量的最优路径实际上是欧洲期权从时间0到τ的最优路径和亚洲期权从时间τ到1的最优路径的补丁。这也符合一种直觉，即远期亚洲期权是欧洲期权和标准亚洲期权的插值。此外，在Black-Scholes模型的假设下（标的资产的波动率为常数σ），我们能够显式计算利率函数，并获得K>S，limT→0T日志C（T）=-2σ(1 -τ )τβtanhβ+（1- τ)β- 2(1 - τ） βtanhβ,对于K<S，limT→0T日志P（T）=-σ(1 -τ )τξtanξ- (1 -τ )ξ+ (1 - τ） ξtanξ,其中β∈ (0, ∞) 和ξ∈ （0，π/2）是sinhββ=KSe的唯一解-τ1-τβtanhβ，sin（2ξ）2ξ=KSe2τ1-τξtanξ。我们还通过将欧式期权（S，Secστ）在周期[0，τ]上的最优路径与标准亚洲期权（Secστ，K）在平均周期[τ，1]上的最优路径粘合，显式地获得了最优路径。

这是明确给出的asf（t）=（ct 0≤ t型≤ τcτ+Дt型-τ1-ττ<t≤ 1，式中，φ（·）是到期日为1的Black-Scholes模型下标准亚洲期权的最优路径，c由f的Csmooth唯一确定。这也适用于一般局部波动率模型，即（1.5）的唯一arg-min c使得最优路径具有连续的一阶导数，这由（2.7）保证。本文的组织结构如下。在第二节中，我们研究了在局部波动模型下，在货币外、货币内和货币制度下的forwardstart亚式期权的渐近性。在第3节中，我们重点讨论Black-Scholesmodel的特例，可以得到显式结果。我们还研究了在资金短缺和资金短缺情况下利率函数的渐近展开，并引入了更适合于远期启动亚洲期权的τ-AATM和τ-DOTM的概念。最后，在第4节中，考虑到新发行的和季节性的浮动履约亚式期权的情况，我们讨论了具有浮动履约的短期远期亚式期权的渐近性。这些情况分别对应于平均期之前的估值期或平均期。通过与文献[42]的解析近似和蒙特卡罗模拟的比较，我们还对渐近公式进行了数值检验。附录总结了用于各种利率函数的符号，给出了短期到期渐近。2局部波动性模型在本节中，我们研究了远期startAsian期权价格的短期渐近性，前提是标的资产遵循局部波动性模型，参见例[22]了解概述。

我们假设基础资产价格由以下随机微分方程的解DST=（r- q） Stdt+σ（St）StdWt，S>0，（2.6），其中wt是标准布朗运动，r≥ 0是无风险利率，q≥ 0为连续股息收益率，σ（·）为局部波动率。我们对局部波动率σ（·）施加以下假设：存在0<σ<σ<∞ M，α>0，使得0<σ≤ σ（x）≤ σ < ∞,  x个∈ [0, ∞), （2.7）|σ（ex）-σ（ey）|≤ M | x-y |α， x、 y型∈ R、 在这些假设下，Varadhan的论文[44]表明，对数资产价格路径，因此资产价格路径满足大偏差原则。这一特性可以在更广泛的局部波动率模型中得到证实，包括不满足条件（2.7）的CEV模型[4,15]。为了简单起见，我们将自己限制在性质为（2.7）的函数σ（·）类，并理解结果可以适当地泛化。我们对参数（S，K，T，τ）C（T）=e的前向亚洲看涨期权的渐近行为感兴趣-rTE“(1 -τ）TZTτTStdt-K+#,远期起始亚洲看跌期权（S，K，T，τ）P（T）=e-rTE“K-(1 -τ）TZTτTStdt+#,作为T→ 显然，C（T）和P（T）在资金不足和资金不足的情况下收敛到0。然而，原因是非常不同的，这会导致非常不同的移动速度。当资金用完时，期权价格迅速下降至0，这是因为到期日为→ 下降速度是指数级的。当它处于货币状态时，期权价格从高斯函数下降到0，因为T→ 0、速度为√T2.1货币外和货币内的渐近性首先，我们研究货币外情况的渐近性。回顾forwardstart亚洲期权的定义。

设A（T，τ）为风险中性测度（τT，τ）下的远期平均资产价格：=（1-τ）TZTτTE[St]dt，（2.8）thenA（τT，τ）=S（e（r-q） T型-e（r-q） τT）（1-τ） （r）-q） t当r- q 6=0，当r- q=0。如果K>A（τT，τ），则称远期亚洲看涨期权为无价看涨期权，如果K<A（τT，τ），则称为无价看涨期权。然而，请注意，当T→ 这意味着在小成熟度制度下，K>A（τT，τ）等于K>S。在本文的其余部分，我们说，如果K<S，则远期起始亚洲看涨期权不在货币范围内。相应地，如果K<S，则远期起始亚洲看跌期权不在货币范围内。首先，我们证明了以下引理，它允许我们将价格估计问题转换为罕见事件的概率估计。引理2.1。设C（T），P（T），T>0，τ∈ （0，1）如上所述。那我们就有限制了→0T对数C（T）=极限→0T日志P(1 -τ）TZTτTStdt≥ K, （2.9）和极限→0T对数P（T）=极限→0T日志P(1 -τ）TZTτTStdt≤ K. （2.10）证明。（2.10）的证明类似于（2.9）。我们在此仅证明（2.9）。这个想法与[35]中的想法类似。首先通过H¨older不等式，对于任何p，p>1，p+p=1，我们有C（T）≤ e-rTE公司(1 -τ）TZTτTStdt-K(1-τ）TRTτTStdt≥K≤ e-rT公司E(1 -τ）TZTτTStdt-Kp聚丙烯(1 -τ）TZTτTStdt≥ Kp、 我们声称当T→ 0，存在一个常数C>0，使得log E(1 -τ）TZTτTStdt-Kp≤ C、 （2.11）假设上述估计，我们可以很容易地观察到→0T日志C（T）≤扑通一声P(1 -τ）TZTτTStdt≥ K.通过让p→ 1然后我们得到上界。另一方面，请注意 > 0，C（T）≥ e-rTE公司(1 -τ）TZTτTStdt-K(1-τ）TRTτTStdt≥K级+≥ e-rT公司 P(1 -τ）TZTτTStdt≥ K+.通过出租 → 0然后获得lim infT→0T日志C（T）≥ 日志P(1-τ） TRTτTStdt≥ K,这意味着（2.9）。现在我们来证明（2.11）。