引爆点：利润驱动的数学模型

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英文标题：
《The tipping point: a mathematical model for the profit-driven
  abandonment of restaurant tipping》
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作者：
Sara M. Clifton, Eileen Herbers, Jack Chen, Daniel M. Abrams
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The custom of voluntarily tipping for services rendered has gone in and out of fashion in America since its introduction in the 19th century. Restaurant owners that ban tipping in their establishments often claim that social justice drives their decisions, but we show that rational profit-maximization may also justify the decisions. Here, we propose a conceptual model of restaurant competition for staff and customers, and we show that there exists a critical conventional tip rate at which restaurant owners should eliminate tipping to maximize profit. Because the conventional tip rate has been increasing steadily for the last several decades, our model suggests that restaurant owners may abandon tipping en masse when that critical tip rate is reached.
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中文摘要：
自19世纪引入以来，自愿为所提供的服务付小费的习俗在美国时而流行，时而过时。禁止在餐馆里给小费的餐馆老板经常声称，社会公正驱动着他们的决定，但我们表明，理性的利润最大化也可以证明这些决定是合理的。在这里，我们提出了一个餐厅员工和客户竞争的概念模型，并证明了存在一个临界的传统小费率，餐厅所有者应在该比率下消除小费以实现利润最大化。由于传统小费率在过去几十年中一直在稳步增长，我们的模型表明，当达到临界小费率时，餐馆老板可能会集体放弃小费。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> The_tipping_point:_a_mathematical_model_for_the_profit-driven_abandonment_of_res.pdf (594.15 KB)

2022-6-1 14:01:35 上传

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关键词：数学模型 引爆点 Conventional introduction Quantitative

引爆点：tippingSara M.Clifton餐厅专业驾驶环境的数学模型*伊利诺伊州伊利诺伊大学厄本那-香槟分校数学系，伊利诺伊州厄本那，邮编61801；伊利诺伊州埃文斯顿市西北大学工程科学和应用数学系，伊利诺伊州埃文斯顿，邮编60208；伊利诺伊州埃文斯顿市西北大学工程科学和应用数学系，邮编60208；伊利诺伊州埃文斯顿市西北大学复杂系统研究所，美国伊利诺伊州埃文斯顿西北大学和美国伊利诺伊州埃文斯顿西北大学物理与天文学系（日期：2017年12月18日）摘要自19世纪引入以来，自愿为提供的服务支付小费的习俗在美国已经时兴时兴。禁止在餐馆里给小费的餐馆老板经常声称，社会公正驱动了他们的决定，但我们表明，理性的利益最大化也可以证明这些决定是合理的。在这里，我们提出了一个餐厅员工和客户竞争的概念模型，并表明存在一个关键的传统小费率，餐厅老板应该在这个标准下消除小费以最大限度地提高利润。因为传统小费率在过去几十年中一直在稳步增长，我们的模型表明，当达到临界小费率时，餐馆老板可能会集体放弃小费。*给我发电子邮件：smc567@illinois.eduI.自从19世纪小费从欧洲传入美国以来，它在美国已经时兴时兴。对学者和公众来说，给小费一直是一种有争议的社会习俗。这种做法一直被认为是最恶劣的人性：种族主义、性别歧视和古典主义。在很多时候，给小费被认为是彻头彻尾的反民主。

然而，这种做法仍然存在，因为绝大多数美国人更喜欢选择饭后留下多少小费。传统上，经济学家很难用理性成本和收益来解释小费的做法，因为理性的经济主体不会产生没有当前或未来收益的货币成本[9]。社会学家和心理学家呼吁人们产生负罪感、尴尬感或焦虑感，以解释为什么人们遵守给小费的社会习俗[10-12]，而其他人则呼吁慷慨和同理心的利他感[13-15]。虽然学术界对给小费的消费者和收到小费的雇员给予了很多关注（例如[16-19]），但对雇佣小费服务员的餐馆老板给予的关注相对较少。小费的理论模型通常认为餐馆老板是服务质量的无能评判者[20]。这一基本原理的自然结论是，餐馆老板应该在餐厅里给小费，以便有效地评估他们的等待时间的质量[21]。当我们考虑到影响餐厅老板决策的现实因素时，这一结论就不成立了，例如保持利润，同时遵守最低工资限制，留住人才，以及满足客户对食品和服务质量的期望[22]。通过考虑这些因素，并仅呼吁国家利益最大化动机，我们表明，餐厅所有者应该在确定餐厅小费率方面发挥更积极的作用。随着美国传统小费率的逐渐增加（见图1），服务员的实得工资稳步增加，而后台员工的工资仍然停滞不前[23]。尽管联邦给小费工人的最低工资较低（截至2017年为2.13美元[24]），但服务员的收入始终高于厨师。

随着工资差距的扩大，才华横溢的厨师可能会跳槽到员工之间更公平分享利润的餐厅，而才华横溢的服务员可能会跳槽到小费更高的餐厅。一个只对最大化利润感兴趣的理性餐厅老板可能会控制餐厅的小费率，以留住最有天赋的前台（小费）和后台（未小费）员工。我们在两个相互竞争的餐厅的概念模型中表明，存在一个临界小费率，在这个临界小费率下，理性的餐厅所有者将放弃小费以实现利润最大化。方法a。模型推导作为一个简单的概念模型，考虑两家餐厅争夺食客、服务员和厨师。为了便于标注，我们将重点关注一家餐厅（我们的餐厅，Restaurant1）。我们假设所有食客、服务员和厨师都打算分别在我们的餐厅或竞争餐厅用餐或工作。根据Abrams等人的动态系统方法，对一般社会群体竞争进行建模【27】，人们将以与在每家餐厅的相对效用成比例的比率在餐厅之间转换1980年1990年2010年20201451617181920年平均小费率（%）图1。根据NPD集团（1982-84年）和Zagat年度调查（1989年至今），美国餐馆随时间报告的平均小费率【26】。请注意，这两项调查都是针对那些光顾全方位服务的中高档餐厅的食客。（作为客户或员工）。该一般模型假设社会群体的受欢迎程度也会影响迁移率，但为了建模纯理性行为，我们只关注效用作为驱动力。我们的简化简化了Abrams等人的模型。

todxdt=y Pyx（ux）- x Pxy（ux），（1）其中x是组x中人数的分数，Pyxis是单位时间内从组Y过渡到组x的概率，ux是组x的效用，在x和Y的交换下，过渡率是对称的。在我们的例子中，x是我们的餐厅，Y是竞争餐厅。或者，“竞争餐厅”可以被视为所有其他餐饮选择（包括家）的储备，但该扩建部分将留给未来的工作。1、厨师的动态我们的系统有一批NCof厨师，他们必须在我们的餐厅和竞争对手的餐厅之间进行选择。影响厨师决定在特定餐厅工作的因素有很多，但我们的厨师模型主要关注薪酬。因为厨师不收小费，所以厨师只能根据两家餐厅的相对工资来选择工作地点。为简单起见，假设转移概率在相对厨师工资中是线性的，我们餐厅厨师人数的变化C为τCdCdt=（NC-C）bC1bC1+bC2 |{z}从竞争对手切换到我们-CbC2bC1+bC2 |{z}从我们切换到竞争对手，（2）其中τc设置厨师的过渡时间尺度，BC1和bC2分别是我们餐厅和其他餐厅每小时的基本厨师工资。例如，如果两家餐厅都提供相同的基本工资（bC1=bC2），那么最终一半厨师将在我们的餐厅工作，另一半厨师将去竞争对手那里。模型规范化后，将删除颚化符号。服务员的动态像厨师一样，我们系统中的服务员主要关心薪水。由于厨师同时获得小时工资和小费，餐厅之间的转换率取决于两家餐厅的相对小时实得工资（总工资）。

我们餐厅的小时餐饮费是g=mDTW，（3）其中mis是每小时的菜单价格，~D是用餐人数，是小费费率，而Wis是必须分摊总小费的服务员人数。竞争餐厅的小费也有类似的定义。我们餐厅的小时实得工资是bW 1+g，其中bW 1是我们餐厅的小时基础服务员工资。我们餐厅服务员人数的变化W，然后τWdWdt=（NW-W）bW 1+gbW 1+g+bW 2+g |{z}从竞争对手切换到美国-WbW 2+gbW 1+g+bW 2+g |{z}从我们切换到竞争对手，（4）其中τWsets设置服务员的过渡时间刻度，nw是系统中的服务员数量。3、用餐者的动态假设所有用餐者都打算在餐厅用餐，他们必须在我们的餐厅和我们的竞争对手之间做出选择。影响一个人在特定餐厅用餐决定的因素很多，但我们将重点关注食物和服务质量与菜单成本。衡量食物和服务质量的方法也有很多【28–30】，但我们将使用选择在我们餐厅工作的厨师和服务员的数量作为基本指标。例如，如果我们的餐厅招收更多的服务员，那么用餐者将得到更多的个人关注，感知到的服务质量也将提高。为简单起见，假设我们餐厅的用餐和服务质量是厨师和服务员数量的线性组合：q=αWW+αCC，（5）在评估我们的餐厅时，αWandα分别关心服务和食物的权重。竞争餐厅的质量质量也有类似的定义。请注意，只有在两家餐厅都没有严重过度或不足的情况下，这一餐厅质量指标才是可接受的近似值。

我们在补充在线材料中探索了餐厅质量的两种替代配方，并发现了类似的定性结果。我们将餐厅的价值定义为菜单成本（包括小费）的质量：v=αWW+αCCm（1+T），（6），其中mis是每小时的菜单成本，Tis是餐厅的小费率。其他餐厅的价值定义类似。理性的用餐者根据每个餐厅的感知相对价值来选择餐厅。我们餐厅用餐人数的变化D为τDd Ddt=（ND-D）vv+v |{z}从竞争对手切换到美国-Dvv+v |{z}从我们切换到竞争对手，（7）其中τd设置用餐者的过渡时间尺度，ndi是系统中用餐者的数量。4、稳定性考虑到员工和顾客进出我们餐厅的流量，一个理性的餐厅老板将最大限度地提高每小时的利润P=mD{z}收入- bW 1▄W▄{z}服务员工资- bC1▄C▄{z}库克支付。（8） 我们忽略固定成本，因为我们只关心最大化可支持性，而不是解决方案。B.标准化模型我们现在对系统进行标准化和无量纲化（2）-（7），以减少参数数量。我们进行以下替换SD=~DND，W=~WNW，C=~CNC（9）r=αCαW，rDW=NDNW，rCW=NCNW，（10）因此，D、W和C是我们餐厅的食客、服务员和厨师的分数，r是食物对客户服务重要性的比率，rDWand rCWare分别是食客和厨师对服务员的比率。我们还重新缩放时间，使τC=τW=τD=1。当然，食客、服务员和厨师的转换率可能会有所不同；顾客换餐厅的速度可能比员工换工作的速度更快。然而，我们只对平衡态感兴趣，所以我们忽略了这个细节。然后，我们餐厅的食客比例遵循动态DDT=（1- D） vv+v- Dvv+v（11）v=W+r rCWCm（1+T），v=（1- W）+r rCW（1- C） m（1+T）。

（12） 我们餐厅的服务员比例遵循动态WDT=（1- W）bW 1+gbW 1+g+bW 2+g- WbW 2+gbW 1+g+bW 2+g（13）g=mrDWDTW，g=mrDW（1- D） TW。（14） 最后，我们餐厅的厨师比例遵循动态CDT=（1- C） bC1bC1+bC2- CbC2bC1+bC2。（15） 所有变量和参数如表一所示。变量含义单位范围为我们餐厅用餐者的基线分数–【0，1】–我们餐厅服务员的W分数–【0，1】–我们餐厅厨师的C分数–【0，1】–t时间（无量纲）–【0，∞) –r食品质量与服务质量的相对重要性，通常，该值超过1–[4，20]12§R系统中厨师总人数与服务员总人数之比–[0.5，2]1系统中用餐者总人数与服务员总人数之比–[1，20]12餐厅每小时平均菜单成本$/小时[5，20]10bW 1餐厅服务员每小时基本工资$/小时[2.13*，25]5.00+BC1餐厅厨师每小时基本工资$/小时[7.25*，25]10.40+平均小费我们餐厅的费率，由社会惯例决定或由餐厅所有者强制规定–[0.01，0.5]0.19–“我们餐厅的顾客感知的vmeal价值1/$––我们餐厅每小时的费率$/小时––表1.我们餐厅的模型变量和参数说明，餐厅1。Competing restaurant（restaurant 2）具有类似的定义参数值，下标为2。我们为每个参数提供了一系列合理的值，并为中高档餐厅（如Zagat审查的餐厅）提供了基线值。

（§基于客户调查的粗略估计【28】；*截至2017年的联邦最低工资【24】；+截至2015年的服务员和厨师平均工资【31】；截至2016年的平均自报小费率【26】；其他基线值是基于作者经验的猜测）。随着变量的变化，小时利润P变为系统中每个服务员的小时利润P=mrDWD- bW 1W- bC1rCWC。（16） II I.结果a。数值探索数值积分表明，只要初始条件具有物理意义，无论初始条件如何，每组参数都存在一个稳定的稳态解。由于厨师只根据基本工资（恒定参数）更换餐厅，厨师的分布首先达到平衡。食客和服务员对系统中的每个人都有反应，因此食客和服务员的分布稍后会达到平衡。对于其他相同的餐厅，餐厅政策的微小变化（如员工工资、菜单价格和小费价格）将对整个餐厅生态系统产生影响。降低我们餐厅的小费率将导致服务员离开我们的餐厅，因为他们的薪水较低，但食客会更喜欢我们的餐厅，因为他们的薪水较低（见图2a）。如果我们餐厅的菜单价格低于竞争对手，那么食客将涌入我们的餐厅，因为他们支付的费用较低，而服务员将暂时离开我们的餐厅，因为菜单价格较低会导致小费较低。

然而，在我们的餐厅拥有大量食客后，服务员会回来，因为食客的密度平衡了较低的菜单价格（见图2b）。如果我们付给厨师的报酬低于竞争对手，那么厨师将离开我们的餐厅，因为他们的报酬较低；随着食物质量的下降，食客将离开我们的餐厅，然后服务员将离开我们的餐厅，因为他们每小时的小费会减少（见图2c）。最后一个例子是，如果我们付给厨师更多的钱，但付给服务员更少的钱来补偿，那么厨师会先到我们的餐厅，然后是食客；服务员会暂时离开，因为他们的工资较低，但最终他们会回来，因为食客会喜欢我们的餐厅（见图2d）。B、 平衡稳定性分析不动点分析表明存在四种稳态。只有一个固定点是有意义的（即D*, W*, C*∈ [0, 1]). 厨师的稳态是C*= bC1/（bC1+bC2）。服务生和用餐者的稳定状态有封闭的表单，但太长，无法包含在内。对于所有合理的参数值（见表一），在固定点处计算的雅可比矩阵的特征值为实和负。这意味着平衡是一个稳定的汇。参见图S5。C、 平衡敏感性分析使用参数空间的拉丁超立方体抽样（LHS）和偏秩相关系数（PRCC）进行的全球敏感性和不确定性分析【32】表明，食客和服务员的平衡分布显著依赖于小费率和厨师工资（p<0.001）。服务员的均衡分布也在很大程度上取决于服务员的工资。请注意，显著影响这些分布的参数描述了餐厅之间的差异，而不是描述整个系统。见图S6.0.480.50.51 0.450.5时间（无单位）0.480.50.6我们餐厅的食客、服务员和厨师比例0.460.50.62食客服务员厨师bdcFIG。2.