引爆点：利润驱动的数学模型

（Color online）系统（11）-（15）的数值模拟，两个几乎相同的竞争餐厅。（a） 如果我们餐厅的小费率低于竞争对手，那么服务员会离开，但食客会更喜欢我们的餐厅（T=0.25）。（b） 如果我们餐厅的菜单价格低于竞争对手，那么食客将涌入我们的餐厅，服务员将暂时离开。然而，在我们的餐厅拥有大量食客后，服务员会回来（m=15）。（c） 如果我们付给厨师更少的钱，那么厨师、食客、服务员将离开（bc2=12）。（d） 如果我们付给厨师更多的钱，而付给服务员更少的钱来补偿，厨师们将涌入我们的餐厅，而食客们则紧随其后；服务员会暂时离开，因为他们的工资较低，但最终他们会回来，因为食客会喜欢我们的餐厅（bw2=10，bc1=15）。除非另有说明，m=m=10，T=T=0.2，bw1=bw2=5，bc1=bc2=10，r=12。四、 讨论A。小费放弃阈值假设我们的餐厅试图在平衡状态下最大化每小时利润（16）。Weassume我们的餐厅正在与一家典型的美国餐厅竞争，这家餐厅不会对员工薪酬、菜单价格或小费政策做出动态变化。考虑到其他餐厅的选择，我们的餐厅可以选择厨师和服务员的基本工资（在法律限制范围内）和小费政策。两家餐厅保持相同的菜单价格，以确保餐厅是真正的竞争对手；小型餐厅通常不会与休闲餐厅竞争。如果竞争餐厅允许传统小费率，则存在一个关键的小费率阈值Tcat，理性的餐厅所有者将禁止小费以最大化利润。图3a显示了传统小费率，假设餐厅应在其营业场所从允许传统小费改为放弃小费。

尽管临界小费率取决于整个餐厅生态系统，但numericalexploration表明，用餐者认为，餐费和餐厅质量之间的权衡是临界小费率的主要驱动因素（见图3b-f）。假设美国的传统小费率继续上升，我们预测，当小费变得更加合宜时，餐馆最终将禁止给小费。全球敏感性和不确定性分析表明，这一临界小费阈值在很大程度上取决于两家餐厅共享的菜单价格、顾客与服务员、厨师与服务员的比率以及顾客眼中的食品质量与服务质量的比率（见图4）。请注意，显著影响关键tiprate T的参数描述了我们正在考虑的餐厅系统的类型或“等级”。例如，高级餐厅保持较低的用餐者与服务员比率Rd和较高的菜单价格m。高级餐厅的用餐者也可能比休闲餐厅更重视服务，降低r。关于“典型”美国餐厅参数的当地敏感性分析表明，菜单价格的提高，服务重要性的提高，食客与服务员比率的增加以及服务员与厨师比率的增加都会增加临界小费率（见图5）。因为任何类型或等级的餐厅都会增加所有这些参数，所以我们不能肯定地说某一类型的餐厅应该先放弃小费。

然而，三个最强的相关参数（r、rCW、m）支持这样的预测，即休闲餐厅应首先放弃小费，而小型餐厅应最后放弃小费。这一预测与大多数休闲餐厅的小费做法是一致的：快餐店和柜台服务机构的顾客通常不会留下小费。在那些希望顾客留下小费的餐馆中，这一预测令人惊讶，因为在美国，最积极主张取消小费的是高档餐馆的老板。然而，小型餐厅业主将社会公正作为其机构消除小费的主要动机【33】。这一说法与我们的预测一致，因为许多餐馆为了保持盈利，被迫恢复餐馆的小费供应。B、 限制作为一个概念模型，系统（11）-（15）无法提供可靠的定量预测。这种模式的一个局限性是许多在家就餐的餐厅之间缺乏竞争，尽管可以通过将“竞争餐厅”视为一个竞争池来解决这一问题。此外，该模型假设更多员工的利益不会产生递减回报。更现实地说，餐厅的食物或服务在一定程度上只能从更多的员工那里获得；餐厅完全停业后，更多的员工将是浪费金钱，甚至可能妨碍服务。我们的模型还忽视了要求餐厅老板在每小时小费不超过联邦最低工资的情况下向员工提供额外小费的联邦法律[35]，以及许多州法律对小费员工规定了更高的最低工资[24]。

我们也没有提供常规小费率增加的机制，只是假设增加的趋势将继续；然而，这种增长趋势得到了理论经济模型的支持[9]。最后也是最重要的一点，该模型假设人类在竞争性餐厅的行为报酬率（任意单位）T1=T2T1=0允许报酬率tippingforbid tipping0 0.1 0.2 0.3 TC00.30.95111.15小费率食客价值比（v1/v2）11.15小费率厨师报酬比（bC1/bC2）0.30.21服务员总报酬比（bW1+g1）/（bW2+g2）00.3小费率0.811小费率食客质量比（q1/q2）00.3小费率0.711有效菜单价格比率（m1/m2）00.3提成bcd e fFIG。3.（彩色在线）临界小费率阈值示例。（a） 对于传统小费率低于某个临界阈值Tc的情况，理性的餐厅老板会允许食客留下小费，以最大限度地提高利润（黑色曲线）。超过这个临界值，一个理性的餐馆老板不允许在餐馆给小费（红色虚线）。这两条曲线都假设，餐馆老板选择员工薪酬（在法律限制范围内）来最大化利润。对于这个假设的餐馆生态系统，（b）最佳厨师薪酬和（c）如果不考虑小费，服务员总薪酬（最佳工资加小费）都会下降。虽然员工离开我们的餐厅是为了响应无小费政策，（d）感知质量下降平衡（e）有效菜单价格（菜单成本加小费）接近临界小费率。（f）食客认为，质量和价格之间的权衡推动了关键小费率。例如，m=m=10，r=4，bW 2=10，bC2=25，rDW=10，rCW=1，给小费工人的最低工资为2.13，未给小费工人的最低工资为7.25。理性地花钱或赚钱，这是经济模型中常见的错误假设。

餐馆老板可能会选择放弃或维持小费，无论其价格如何，理由是经济上不合理的原因，或是回应非理性的顾客感受。尽管存在这些局限性，但先前的trendsr rcw rdw m bw2bc2支持存在临界小费阈值的定性预测，即餐厅老板可能会放弃小费-11PRCC（倾翻阈值Tc）参数**********图4。倾翻阈值Tc的全局灵敏度和不确定性分析。模型参数和倾翻阈值t之间的部分RankCorrelation系数（PRCC）显示。星号表示相关性显著（***p<0.001，N=100个样本）。请注意，我们使用PRCC，因为数值测试表明参数和Tc之间的关系是单调的。无论是在美国还是在国际上。小费在世界各地已经时兴时兴，尽管顾客通常会推动这种趋势的引入（或重新引入），但餐馆老板或政府通常会终止这种做法。五、 结论本文提出的概念模型为理解复杂服务业提供了一个新的方向。小费的流行之前被归因于社会传染和对古典主义的非理性反应。使用一种新的方法对小费的社会惯例进行建模，我们表明，为了最大化收益而做出的理性决策可能会推动小费趋势的循环。我们预测，存在一个关键的小费门槛，在这个门槛下，餐馆老板将明智地消除其场所的小费。此外，我们预计休闲餐厅应该首先放弃小费，而高级餐厅应该是最后一家。该模型的简单性不允许进行定量预测，例如在美国什么时候贴水会过时，或者临界贴水率会是多少。

然而，该模型为更复杂的模型奠定了基础，可以指导经济数据收集，以更好地回答定量问题。这项服务不仅对餐馆老板很重要，对经济学家、社会学家、决策者以及所有在服务业中发挥作用或与服务业互动的人也很重要。2 200.050.5菜单每小时价格触发阈值（Tc）5 30食品与服务重要性的比率8 24食客与服务员的比率触发阈值（Tc）厨师与服务员的比率A bc d0.50.10.50.20.3500.52图。倾翻阈值Tc的局部敏感性分析。（a） 保持所有其他条件不变，较高的价格意味着更高的小费门槛。这表明，如果所有其他参数相同，小型餐厅应该是最后一个放弃小费的餐厅。（b） 随着用餐者对食物的相对重要性高于服务，临界小费率下降。由于餐厅的顾客可能更看重服务，我们再次预计餐厅将是最后一家放弃小费的餐厅。（c） 相反，随着食客与服务员比例的增加，临界小费率也会增加。所有其他因素都保持不变，这意味着随意的饮食会最终减少小费。（d） 随着厨师与服务员比例的增加，临界小费率降低。虽然很难知道全方位服务餐厅的这一比例，但这让人意识到柜台服务餐厅的厨师与服务员比例很大，这并不意味着什么。在此示例中，m=m=10，r=12，bW 2=5，bC2=10，rDW=12，rCW=0.5，除非在独立轴上另有说明。六、 补充材料更多讨论和图表请参见补充材料。七、致谢作者感谢Michael Lynn分享数据和想法。这项工作部分由国家科学基金会研究生研究奖学金资助。

西北大学本科生研究助理项目也提供了资金。资助者在研究设计、数据收集和分析、决定出版或准备手稿方面没有任何作用。VII I.数据可用性用于模拟模型的所有软件（Matlab.m文件）可从Northwestern ARCH repository（DOI:10.21985/N2DM26）公开获取，网址为https://arch.library.northwestern.edu/concern/generic_works/gf06g273j.[1] O.H.Azar，“小费的历史——从16世纪的英国到19世纪10年代的美国”，《社会经济杂志》，第33卷，第6期，第745-7642004页。[2] M.Lynn、M.Sturman、C.Ganley、E.Adams、M.Douglas和J.McNeil，“小费中的消费者种族歧视：复制和延伸”，《应用社会心理学杂志》，第38卷，第4期，第1045-1060页，2008年。[3] B.Rind和P.Bordia，“男女服务员给餐厅小费的影响——在顾客的支票背面画出一张幸福的笑脸”，《应用社会心理学杂志》，第26卷，第3期，第218-225页，1996年。[4] M.Lynn和T.Simons，“男性和女性服务员平均小费收入的预测因素”，《应用社会心理学杂志》，第30卷，第2期，第241-2522000页。[5] Y.Margalioth，《反对小费的案例》，《美国宾夕法尼亚大学实验室与环境管理计划》。五十、 ，第9卷，第117页，2006年。[6] K.塞格雷夫，《小费：美国小费社会史》。麦克法兰，1998年。[7] M.Lynn和R.J.Kwortnik，“小费政策对客户满意度的影响：邮轮行业的测试”，《国际酒店管理杂志》，第51卷，第15-18页，2015年。[8] O.H.Azar，“美国和以色列的小费动机和行为”，《应用社会心理学杂志》，第40卷，第2期，第421-4572010页。[9] O.H.Azar，“什么支撑着社会规范以及它们是如何演变的？：小费的案例”，《经济行为与组织杂志》，第54卷，第1期。