电价的多项式过程

因此，在这种情况下可以使用更简单的基，例如h（x，y）=（1，x，y，x，xy，x，xy，···，xn，xn-1年）.此外，如果B=0，则可以使用tens或乘积基。2.3期权定价结果表明，至少在某些情况下，我们可以推导出明确的期权定价公式。具体而言，如果基础因子过程Xt允许使用因子幂的欧式看涨期权或看跌期权的显式公式（如Xt遵循几何布朗运动的情况），并且Φ是一个递增多项式映射，那么我们可以推导出St=Φ（Xt）上的普通欧式期权的显式公式。例如，如果我们用payoff（XjT）写出一个欧式看涨期权的价值公式- Kj）+作为fj（K），Φ（x）=Pnj=0ajxj，然后是带payoff（ST- K） +由nxj=0ajfj给出Φ-1（K）.更一般地说，期权价格可以通过某种程度的多项式来近似支付，并使用Xtender Q生成器的矩阵表示G来计算Q下的期望值，或者在可用的情况下进行快速多项式变换来近似[26，22]。这可以被视为类似于变换方法，如Fang和Oosterlee的COS方法【14】。此外，多项式跳跃扩散模型中期权定价的多项式展开方法在[15]的第7节中进行了讨论。3阿尔伯塔省电力市场中的现货价格建模在本节中，我们演示了如何使用多项式过程来建模阿尔伯塔省电力市场中的日平均现货价格。

与巴洛（Barlow）[2]类似，我们在这些价格中看不到强有力的年度季节性证据，因此我们在现货价格模型中没有纳入季节性条款。degΦκθσa b CCCCC LL BIC1 284.73 0.05 2.81 3.25 68.85 2037.3-4054.62 237.93 0.15 3.16 7.24 40.32 0.86 2149.7-4272.63 146.76 0.29 4.77 3.74 9.19 0.95 0.64 2492.2-4950.94 143.96 0.37 4.70 4.81 8.21 0.86 0.76 0.73 2501.5-4962.85 140.10 0.42 6.09 3.18 4.37 0.17 0.91 0.96 0.59 2534.9-5023.06 140.14 0.43 6.11 3.26 4.26 0.04 0.91 0.95 0.60 0.19 2535.1-5016.8表3.1：最佳参数，1998年3月10日至2000年5月18日期间单因素模型校准的对数似然度和贝叶斯信息准则（BIC）分数，不同程度的多项式映射Φ。a和b值如（a.1）所述。请注意≥ 1和b≥ 1在所有情况下。最有利的BIC得分为Degree 5.1999 2000美元/兆瓦哈尔贝塔日电价200 400 600 800天0.20.40.60.8Jacobi过程0.5 1xΦ（x）200 400 600 800天美元/兆瓦大米模拟图4：适用于阿尔伯塔价格的单因素多项式模型。从左至右：1998年3月10日至2000年5月18日期间的历史日均价格；使用该时期的校准参数模拟XT（c.f.表3.1）；五次多项式映射Φ（x）；结果价格St=Φ（Xt）。3.1单因素模型我们的单因素模型采用（2.1）的形式，XT遵循雅可比过程（2.6），并根据附录B中列出的公式生成（增加）多项式映射Φ（·）（但按比例缩放，以便Φ：[0，1]7→ [0，Smax]，对于阿尔伯塔省，最大值为1000）。因此，Φ为n+1的模型由参数向量Θ=（κ，θ，σ，c，…）确定。

，cn），其中系数C对应于（成对）附录B中所述二次因子φ中的参数（α，β），如果n为奇数，则最后一个值分配给一对（0，β）。对于每个n，这些参数的估计是使用最大似然估计进行的，优化是使用遗传搜索和模式搜索的组合进行的，这些组合来自于MATLAB中的全局优化工具箱。首先对纯雅可比模型（n=0）进行校准，并使用每个n值的最佳参数（在cn+1=0后）为n+1的校准提供初始估计。注意，对于给定的一组参数，连续几天观察到的基础因子过程X的条件转移概率密度由（a.3）中定义的函数p给出，使用T- t=1/365，无条件密度为w。然而，Xt=Φ-1（St）。因此，如果我们为tm日观察到的价格写SMM，m=0，M，xm=Φ-1（sm），则对数可能性可写为ll=MXm=0log p（xm，tm；xm-1，tm-1) - logddxΦ（xm），（3.1），其中，对于m=0，p（xm，tm；xm-1，tm-1） 塌陷为无条件密度w（x）。我们首先对Barlow[2]考虑的其中一个数据集进行校准。这是1998年3月10日至2000年5月18日期间，图3显示了巴洛的模型与该数据集的匹配情况。n=0，…的校准结果。

，5如表3.1所示。在我们这里进行的估算中，我们隐含地假设日均价格对应于过程St.degΦκθσa b CCCCC LL BIC1 263.19 0.07 5.47 1.30 16.29 2709.6-5397.32 210.87 0.19 5.70 2.50 10.47 0.85 2910.3-5791.43 165.51 0.34 7.28 2.13 4.11 0.95 0.62 3405.8-6775.14 162.62 0.43 6.94 2.90 3.85 0.86 0.76 3422的瞬时观测值.4-6801.25 150.16 0.536.91 3.30 2.98 0.20 0.91 0.97 0.55 3464.7-6878.36 150.13 0.53 6.91 3.32 2.97 0.18 0.91 0.97 0.55 0.03 3464.7-6871.0表3.2：2010年1月1日至2014年1月1日期间校准单因素模型的最佳参数、对数似然度和贝叶斯信息准则（BIC）得分，具有不同程度的多项式映射Φ。a和b值如（a.1）所述。请注意≥ 1和b≥ 1在所有情况下。最有利的BIC得分为Degree 4.2010 2011 2012 2013 2014美元/兆瓦哈尔贝塔日电价200 600 1000 1400天0.20.40.60.8Jacobi过程0.5 1xΦ（x）200 600 1000 1400天美元/兆瓦大米模拟图5：符合艾伯塔价格的单因素多项式模型。从左至右：2010年1月1日至2014年1月1日期间的历史日均价格；使用该时期的校准参数模拟XT（c.f.表3.2）；四次多项式映射Φ（x）；结果价格St=Φ（Xt）。贝叶斯信息准则允许我们比较具有不同参数数的模型的性能，并惩罚具有更多参数的模型。随着Φ阶数的增加，对数似然增加，但在5阶时达到峰值。生成的多项式映射和示例模拟如图4所示。

很明显，该模型能够成功再现历史数据中明显的短期峰值，而多项式映射的不同斜率意味着该模型能够捕捉不同价格水平下的不同波动水平。作为第二个实验，我们考虑从2010年1月1日到2014年1月1日这段时间（见图2）。校准结果如表3.2所示。这一次，BIC得分最低的是4级，相应的模型如图5所示。该模型能够使用略低于第一个实验的多项式映射来捕获该数据集中增加的、持续的峰值水平。然而，从这两个实验中可以明显看出，峰值依赖于非常不稳定的雅可比过程，具有很强的均值回归水平。这是此类时间序列单因素模型的一个常见特征，也是希望考虑多因素模型的原因之一。我们将在下一节中这样做。3.2双因素模型构建N+1因素模型的一种方法是从单位单纯形上的多项式过程开始[15]：Yt∈[0，1]N | Y1，t+。YN，t=1}。有了这样一个过程，再加上一个独立的Jacobi过程Xt，我们可以构造一个有限个（可能依赖于时间的）递增多项式映射Φn:[0，1]7→ [0，Smax]，n=1，N、 使用系数向量pn，生成价格viaSt=H（Xt）XnYn，tpn。在双因素模型的情况下，Ytis是[0，1]上的标量过程，该方程可以用形式st=H（Xt）H（1- Yt）p+Ytpi=（1- Yt）Φ（Xt）+YtΦ（Xt）。（3.2）因子Xt和Yt不是直接观察到的，因此需要使用过滤方法进行最大似然校准。3.2.1过滤方程我们从smon day tm的观测值开始，对于m=0。

，M，我们希望估计log-likelihoodLL=MXm=0log-pSm | sm-1（sm；sm-1） ，其中我们（略微滥用）编写了Smfor Stm，并使用sm=（sm，…，s）收集到的观测值，以及sm=（sm，…，s）对应的随机变量向量。pSm | sm-1（s；sm）-1） 表示观测值sm上的sm条件密度sm-1、x的条件跃迁密度由pxm | Xm给出-1（x；xm-1） =p（x，tm；xm-1，tm-1） ，（3.3）式中，如在单因素情况下，p由（A.3）使用T给出- t=1/365，以及对应于控制Xt的Jacobi过程的参数。Xtis-pX的无条件密度∞（x） =w（x）。如果我们假设我们也知道条件跃迁密度pYm | Ym-1（y；ym-1） ，和无条件密度pY∞（y） ，我们可以使用最优贝叶斯滤波法估计LL（最近的处理方法见[27]）。这包括四个步骤：初始化、预测、更新和规范化，其中最后三个步骤在一个周期内执行，对于m=0，M初始化（X）的先验分布-1，Y-1） 是pX-1，Y-1|（x，y）=pX∞（x） pY公司∞（y） 。预测Chapman-Kolmogorov方程得出预测的条件密度xm，Ym | sm-1（x，y；sm-1） =ZZpXm | Xm-1（x；x′）pYm | Ym-1（y；y′）pXm-1，Ym-1 | sm-1（x′，y′；sm-1） dx′dy′。（3.4）更新Bayes规则yieldspXm，Ym | Sm（x，y；Sm）=ZmpSm | Xm，Ym（Sm；x，y）pXm，Ym | Sm-1（x，y；sm-1） （3.5）归一化归一化常数Zm=pSm | Sm-1（sm；sm-1） 由zm=ZZpSm | Xm，Ym（sm；x，y）pXm，Ym | sm给出-1（x，y；sm-1） dxdy。（3.6）完成此过程后，LL由LL=PMm=0log Zm给出。从（3.2）可以看出，Xm和Ym上的Smconditional密度是Dirac delta分布PSM | Xm，Ym（s；x，y）=δ（1-y） Φ（x）+yΦ（x）（s）。

（3.7）如果，对于y∈ [0，1]和s如果我们将^x（s，y）定义为（1）的（唯一）解- y） Φ（x）+yΦ（x）=s，我们也可以将其写成x中的狄拉克三角分布：pSm | Xm，Ym（s；x，y）=Δ^x（s，y）（x）（1- y） Φ′（x）+yΦ′（x）。（3.8）这意味着（3.4）和（3.6）中的二重积分被简化为y′和y.3.2.2区域切换模型上的一维积分。也许这种设置的最简单示例是以Yt为例∈ {0，1}是速率参数λ0的连续时间马尔可夫链→1和λ1→这使我们进入了示例2.5的设置，其中B=0。在这种情况下，我们可以写y′∈ {0，1}，h表示连续观测之间的时间步长，pYm | Ym-1（y；y′）=Py′→0（h）δ（y）+Py′→1δ（y）（3.9）或者，对于y∈ {0，1}，pYm | Ym-1（y；y′）=P0→yδ（y′）+P1→yδ（y′），（3.10），其中，对于j∈ {0，1}，且λ=λ0→1+ λ1→0，Pj→1.-j=λj→1.-jλ1.- 经验值(-λh）, （3.11）我们有那个和Pj→j=1- Pj公司→1.-j、 因此，这种状态切换设置会导致pY的先验分布∞（y） =λ1→0λδ（y）+λ0→1λδ（y）。这也意味着，使用（3.5）和（3.8），（3.4）折叠topXm，Ym | sm-1（x，y；sm-1） =Xj=0pm，j（x）δj（y）（3.12），其中，对于j=0，1，pm，j（x）=P0→jZpXm | Xm-1（x；x′）pXm-1，Ym-1 | sm-1（x′，j；sm-1） dx′=P0→jZm公司-1Φ′j^x（sm-1，j）pXm | Xm-1（x；^x（sm-1，j））pXm-1，Ym-1 | sm-2（^x（sm-1，j），j；sm-1） =P0→jPj′=0pm-1，j′（^x（sm-1，j′）Zm-1Φ′j^x（sm-1，j）pXm | Xm-1（x；^x（sm-1，j））。（3.13）此外，使用（3.6）、（3.8）和（3.12），zm=Xj=0pm，j（^x（sm，j））Φ′j（^x（sm，j））。（3.14）最后，我们从（A.3）中注意到，转变密度pXm | Xm-1（x；x′），因此函数pm，j（x）表示为雅可比多项式的和（实际上是截断的），因此（3.13）可以转化为pm，0和pm，1的展开系数与pm的展开系数之间的矩阵方程-1,0和pm-1,1.对于我们的第一个历史数据集，使用该程序的结果如表3.3所示。

请注意，最可避免的BIC分数是Φ和Φ的3级分数，该分数表示比单因素模型的最佳分数有所提高（见表3.1）。图6显示了使用3阶参数生成的模拟。表3.4显示了对第二个历史数据集（2010-2013）a集使用此程序的结果。请注意，最有利的BIC分数是Φ和Φ的5级，该分数比单因素模型的最佳分数有显著提高（见表3.1）。图7显示了使用5阶参数生成的模拟。很明显，与单因素模型相比，这两个数据集的雅可比过程的波动性大大降低，尖峰至少部分由切换过程产生，第二张图中的黄金区域分别表示Yt=1.3.2.3的时间，这是一个双雅可比模型。尽管上述制度转换模型与单因素模型相比，给出了改进的fit，降低了波动率，但2010年1月1日至2014年1月1日期间的波动率仍然很高，因此，我们考虑对Ytin使用第二个雅可比过程（3.2）。

如果wetake B=B=0，则这符合示例2.2中所述的框架。度数Φi1 2 3 4 5 6a 3.47 7.55 5.69 6.34 7.74 7.34b 74.80 85.08 17.04 17.39 22.53 21.31σ2.86 1.74 3.29 3.20 2.85 2.91λ0→128.44 19.64 21.60 24.99 23.75 25.24λ1→011.84 244.98 217.12 214.94 207.34 211.07c0.60 0.93 0.91 0.92 0.92c0.61 0.63 0.64 0.64c0.19-0.02-0.13c-0.29-0.24c0.11c-0.78 1.00-1.00-1.00-1.00-0.31-0.72-0.94-0.62c0.88 0.90-1.00c-0.39-0.62c0.83LL 2041.5 2384.9 2555.8 2559.0 2559.4 2560.4BIC-4049.6-4722.9-5051.4-5044.5-5031.9-5020.4表3.3：最佳参数，1998年3月10日至2000年5月18日期间，采用不同程度的多项式映射Φ，对体制转换双因素模型进行校准的对数似然度和贝叶斯信息准则（BIC）分数。a和b值如（a.1）所述。请注意≥ 1和b≥ 1在所有情况下。最容易避免的BIC分数是3级。图6：适用于阿尔伯塔省价格的制度转换双因素多项式模型。从左至右：1998年3月10日至2000年5月18日期间的历史日均价格；使用该时期的校准参数（c.f。

表3.3），其中Yt=1的时间以黄金表示；三次多项式映射Φ（x）和φ（x）；结果价格St=Φ（Xt）。度数Φ1 2 3 4 5 6a 1.30 5.05 3.80 5.77 5.22 5.59b 16.31 42.15 10.35 9.70 5.62 5.38σ5.47 3.11 4.62 4.38 5.03 5.00λ0→11.02 37.57 32.96 34.77 23.65 21.24λ1→01.42 184.83 136.93 136.18 119.14 115.77c0.74 0.93 0.82 0.23 0.04c0.59 0.73 0.89 0.90c0.85 0.96 0.96c0.54 0.55c0.30c-1.00 1.00-1.00-0.75-0.86c-0.93-0.96 0.28 0.50c0.99 1.00 1.00c0.50 0.53c0.70LL 2711.6 3287.3 3510.7 3546.0 3549.3BIC-5386.8-6523.7-6955.7-6961.3-6997.2-6989.4表3.4：最佳参数，2010年1月1日至2014年1月1日期间，使用不同程度的多项式映射Φ，对体制转换双因素模型进行校准的对数似然度和贝叶斯信息准则（BIC）得分。a和b值如（a.1）所述。请注意≥ 1和b≥ 1在所有情况下。最容易避免的BIC分数是3级。图7：适用于阿尔伯塔省价格的制度转换双因素多项式模型。从左至右：2010年1月1日至2014年1月1日期间的历史日平均价格；使用该时期的校准参数（c.f.表3.4）生成的XT和Yt模拟，Yt=1的时间以黄金表示；五次多项式映射Φ（x）和φ（x）；结果价格St=Φ（Xt）。2010、2011、2012、2013、2014美元/兆瓦哈尔贝塔日电价200 600 1000 1400天0.20.40.60.8Jacobi过程Xt200 600 1000 1400天0.20.40.60.8Jacobi过程Yt0 0.2 0.4 0.6 0.8 1xΦ（x）和Φ（x）Φ200Φ600 1000 1400天美元/兆瓦大米模拟图8：符合阿尔伯塔价格的双Jacobi双因素多项式模型。从左至右：2010年1月1日至2014年1月1日期间的历史每日平均价格；使用该时期的校准参数（c.f。