中径向对称边值之间的最优布朗停止

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英文标题：
《Optimal Brownian Stopping between radially symmetric marginals in
  general dimensions》
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作者：
Nassif Ghoussoub, Young-Heon Kim, and Tongseok Lim
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Given an initial (resp., terminal) probability measure $\\mu$ (resp., $\\nu$) on $\\mathbb{R}^d$, we characterize those optimal stopping times $\\tau$ that maximize or minimize the functional $\\mathbb{E} |B_0 - B_\\tau|^{\\alpha}$, $\\alpha > 0$, where $(B_t)_t$ is Brownian motion with initial law $B_0\\sim \\mu$ and with final distribution --once stopped at $\\tau$-- equal to $B_\\tau\\sim \\nu$.   The existence of such stopping times is guaranteed by Skorohod-type embeddings of probability measures in \"subharmoic order\" into Brownian motion. This problem is equivalent to an optimal mass transport problem with certain constraints, namely the optimal subharmonic martingale transport. Under the assumption of radial symmetry on $\\mu$ and $\\nu$, we show that the optimal stopping time is a hitting time of a suitable barrier, hence is non-randomized and is unique.
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中文摘要：
给定$\\mathbb{R}^d$上的初始（分别，终端）概率测度$\\mu$（分别，$\\nu$），我们刻画了那些最大化或最小化函数$\\mathbb{E}B\\U 0-B\\Utau ^{\\alpha}，$\\alpha>0$的最优停止时间$\\tau$，其中$（B\\U t）\\U t$是布朗运动，初始定律为$\\U 0\\sim mu$，最终分布为$\\tau$，一旦停止在$\\tau$，则等于$\\B\\uu\\tau\\sim\\nu$。这种停止时间的存在是通过在布朗运动中嵌入“次调和序”概率测度的Skorohod类型来保证的。该问题等价于具有一定约束条件的最优质量输运问题，即最优次调和鞅输运问题。在$\\ mu$和$\\ nu$上径向对称的假设下，我们证明了最佳停止时间是一个合适障碍物的击中时间，因此是非随机的，并且是唯一的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Brownian_Stopping_between_radially_symmetric_marginals_in_general_dimensions.pdf (261.98 KB)

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关键词：Mathematical distribution Quantitative Differential Applications

一般维度径向对称边缘之间的最优布朗停止由Nassif Ghoussoub+Young Heon Kim+和Tongseok Lim+不列颠哥伦比亚大学+和牛津大学+在Rd上给出初始（分别，终端）概率度量u（分别，ν），我们描述了最大化或最小化函数E | B的最优停止时间τ- Bτ|α，α>0，其中（Bt）具有初始定律B的提斯布朗运动~ u和最终分布-一旦在τ处停止-等于Bτ~ ν. 这种停止时间的存在是由Skorohod类型的概率测度嵌入到布朗运动中的“次谐波序”来保证的。该问题等价于一个具有一定约束的最优质量输运问题，即最优次调和鞅输运问题。在u和ν上径向对称的假设下，我们证明了最佳停止时间是一个合适势垒的击中时间，Hencei是非随机化的，并且是唯一的。1、简介。设u和ν为Rd，d上的两个概率测度≥ 2具有有限的一阶矩，并让（Bt）t生成具有初始定律u的布朗运动。我们考虑以下关于布朗过滤的停止时间集（可能为空）：T（u，ν）={τ|τ是停止时间，B~ u，Bτ~ ν、 和E[τ]<∞},在这里和续集中，符号X~ λ表示随机变量X的定律是概率测度λ。对于成本函数c:Rd×Rd→ R、 我们将考虑以下优化问题：在τ上最大化/最小化E[c（B，Bτ）]∈ T（u，ν），（1.1）*这两位第一作者部分得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。Y、 H.Kim还得到了阿尔弗雷德·P·斯隆研究奖学金的支持。T

Lim得到了不列颠哥伦比亚大学博士研究生奖学金、奥地利科学基金会（FWF）通过Y782拨款以及欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号拨款协议下的欧洲研究理事会的部分支持。这项研究的一部分是作者在2014年秋季“变分法”主题项目期间访问多伦多菲尔德研究所时完成的。我们感谢研究所提供的热情好客和良好的研究环境。MSC 2010学科分类：初级49-XX、60-XX；次要52个XX关键词和短语：最佳传输、Skorokhod嵌入、单调性、径向对称性。2 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMprovided当然T（u，ν）是非空的。回想一下，过滤概率空间上的停止时间(Ohm, F、 （Ft）t，P）是arandom变量τ：Ohm → [0, +∞] 使得{τ≤ t}∈ 每t的FTF≥ 0.a最大停车时间是一个概率度量τonOhm × [0, +∞] 这样foreach u∈ R+，随机时间ρu（ω）：=inf{t≥ 0：τω（[0，t]）≥ u} 是一个停止时间，其中（τω）是τ沿路径ω的分解，根据P，即τ（dω，dt）=τω（dt）P（dω）。在续集中，“停止时间”是指随机停止时间，除非另有说明。我们注意到，如果衰变τω是P a.e.ω在R+上的狄拉克测度，则停止时间是非随机化的。在本文中，我们将重点讨论formc（x，y）=| x的成本函数- y |α，（1.2），其中0<α6=2，尽管大多数结果可以应用于更一般的形式c（x，y）=f（| x）的成本函数- y |），其中f:R+→ R是一个连续函数，因此f（0）=0。本文的目的是确定和描述此类最佳停车时间，即达到（1.1）的时间。

特别是，我们将调查最佳停车时间何时是“真实”停车时间，而不是随机的，因此是唯一的。但首先，我们回顾了Skorokhod嵌入问题（SEP）——本质上要求哪些对（u，ν），集合T（u，ν）是非空的——是由Korokhod在20世纪60年代早期提出的。从那时起，大量研究人员对该问题及其变体进行了研究，并在概率论和随机过程中产生了一些重要结果。我们参考Ob l’oj【34】了解该主题的卓越研究，其中描述了不少于21种（SEP）解决方案。最近，霍布森（Hobson）[26]将SEP与金融工具的稳健定价和对冲联系起来。此外，霍布森·克里梅克（Hobson Klimmek）[28]和霍布森·纽伯格（HobsonNeuberger）[29]将其与为远期启动跨座（forward StartingSpaddle）确定稳健的价格界限联系在一起。另见霍布森的优秀调查【27】。因此，人们的兴趣转移到在解决的问题（SEP）中找到最优解决方案的问题上。换言之，在T（u，ν）中的停止时间中，最大化或最小化给定的成本函数。在对这些问题做出的众多贡献中，我们仅列举了贝格洛克·考克斯·休斯曼（Beiglb¨ock Cox Huesmann）[4]、考克斯·奥布·洛伊图兹（Cox Ob l\'ojTouzi）[13]、多林斯基·索纳（Dolinsky Soner）[15、16]、郭Tan Touzi（25%）、科巴拉德·谭Touzi（K¨allblad Tan Touzi。然而，我们确实挑出了Beiglb¨ock CoxHuesmann[4]最近的工作，该工作使用了最佳SEP和最佳质量输运理论之间的类比，以确定和证明所谓的单调性原理（MP），这将是本文使用的主要工具之一。我们注意到，上面提到的大多数文章和调查只涉及边缘是实线度量的情况。底层空间的维数更高的情况更为微妙。

这在我们的论文【22】中得到了说明，在这里我们处理一般鞅质量输运。本文研究了径向对称边缘之间的最优SKOROKHOD嵌入问题以及高维中一些相关的最优停止问题。使SEP研究更多地涉及到更高维度的事实是≥ 2、有许多与高维布朗运动相容的凸性自然概念，如次调和性和多重次调和性，这些概念比凸性更一般，有时更微妙。除非T（u，ν）非空，否则优化问题（1.1）显然毫无意义。自{f（Bt），t≥ 0}是Rd上任何次调和函数f的子鞅，我们有Ef（B）≤ Ef（Bτ），因此（1.3）Zf du≤Zf dν，这显然是T（u，ν）非空的必要条件。这种条件也是有效的，这是许多研究的主题，从斯科罗霍德在一维情况下的原始工作开始。我们还参考了门罗（Monroe）[33]、罗斯特（Rost）[38]、查孔·沃尔什（ChaconWalsh）[11]、福克纳（Falkner）[19]和许多其他人的研究成果，以获得不同的证据。在第2节中，我们将给出这一事实的另一个证明，并证明每一步次调和鞅（X，Y），即验证（1.4）f（X）的任意一对随机变量≤ E[f（Y）| X]对于每个f次谐波，都可以通过停止布朗运动来实现，即存在一个-可能随机-停止时间τ，使得（1.5）（B，Bτ）和（X，Y）具有相同的联合分布。我们将在第3节中使用这一事实来证明以下对偶结果：用SH（O）表示开集O上的次调和函数锥，并考虑O×O.P（O×O）={P上的函数锥∈ C（O×O）| p（x，x）=0和p（x，·）∈ 所有x的SH（O）∈ O} 。定理1.1。

假设u，ν是满足（1.3）的两个紧支撑概率度量，因此suppu∪ suppν包含在开集O中。如果cis是O×O上的连续代价，则以下对偶成立：inf{E[c（B，Bτ）]；τ∈ T（u，ν）}=supZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）,式中，kc（O）：={α，β：O→ R局部Lipschitz，这样就有p∈ P（O×O）带β（y）- α（x）+p（x，y）≤ c（x，y）x、 y型∈ 面向对象。4 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMIn为了证明这种对偶性，我们使用了（1.1）实际上等价于最优次调和鞅问题的事实。实际上，首先回顾一下最优鞅问题包括以下内容：最小化成本[π]=ZZO×Oc（x，y）dπ（x，y）除以π∈ MT（u，ν）（1.6），其中MT（u，ν）是鞅运输计划集，即O×O上的概率π集，使得oπ具有边缘u和ν对于每个π∈ MT（u，ν），其崩解（πx）x∈Rdw。r、 t.u使得πxis的重心位于x。换句话说，对于O上的任何凸函数f Rd，g（x）≤ZOg（y）dπx（y）。（1.7）问题（1.6）已经得到了广泛的研究，特别是Beiglb¨ock Juillet【7】、Beiglb¨ock Nutz Touzi【8】在一维方面的研究，以及Ghousoub Kim Lim【22】最近在更高维方面的研究。此外，关于鞅输运的高维分解的最新进展，见De March Touzi【14】和Ob l’oj Siorpaes【35】。在我们的情况下，我们需要考虑亚调和鞅运输计划的类，即那些π的类SMTO（u，ν）∈ MT（u，ν），使得不等式（1.7）也适用于O上的每个次谐波函数f。这就导致了次谐波鞅最优传输（SMOT）问题：最小代价[π]=ZZO×Oc（x，y）dπ（x，y）除以π∈ SMTO（u，ν）。（1.8）由于每个凸函数都是次谐函数，SMTO（u，ν） MT（u，ν），对于d=1，这两组是相同的。

然而，对于d≥ 2、纳入严格，问题（1.6）和（1.8）有所不同。实际上，如果u是单位球体inRd上的统一度量，且ν的一半质量位于原点，另一半均匀分布在半径为2的球体上，那么很明显，MT（u，ν）6=. 另一方面，如果我们考虑次谐波函数g（z）=log | z |，那么zg（z）du（z）>-∞ =Zg（z）dν（z），这意味着SMTO（u，ν）=.然而，就像一维中的凸情形一样，我们将能够显示inf{E[c（B，Bτ）]；τ∈ T（u，ν）}=infZZO×Oc（x，y）dπ；π ∈ SMTO（u，ν）.（1.9）径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入5然后我们解决了我们的主要问题，即表明（1.1）中的最佳停止时间不是随机的，因此是唯一的。虽然我们将在即将发表的一篇论文[23]中表明，在适当的条件下，这一结论将适用于一般边缘u，ν，但一般情况仍然难以捉摸。在本文中，我们将关注u和ν径向对称的情况，这有其自身的兴趣。定理1.2。假设u，ν在Rd，d上是径向对称且紧支撑的概率测度≥ 2、假设u∧ ν=0，u（{0}）=0。设c（x，y）=x- y |α，其中0<α6=2。然后，边际u，ν下的优化问题（1.1）的解是唯一的，并且由非随机停止时间给出。我们注意到，对于极小化问题，当0<α≤ 1，假设u∧ ν=0将不是必需的。2、球面鞅与Skorohod嵌入。在本节中，weshall将证明以下结果，这些结果属于围绕Skorohod嵌入的一系列结果。如果u，ν是O ofRd域中支持的两个概率度量，我们有时会使用Choquet理论的Reminesent表示法uOνifROfdu≤每f的ROfdν∈ SH（O）。定理2.1。

设u，ν是Rd上的两个紧支撑概率测度，O是包含suppu的开集∪ 补充ν。然后，以下属性是等效的：1。u Oν。2、存在一个次调和鞅计划π∈ SMTO（u，ν）。此外，对于每个次调和鞅计划π∈ SM到（u，ν），存在一个映射时间τ和一个d维布朗运动（Bt），其中定律（B）=u，定律（Bτ）=ν，π是（B，Bτ）的联合分布。此外，τ=τ∧ κ、 式中，κ是Btfrom O的首次退出时间。换句话说，TO（u，ν）是非空的。备注2.2。如果u，ν不是紧支撑的，而是在它们有有限的二阶矩的条件下，同样的结果成立。在这种情况下，条件是uOν应替换为ZRDFDu≤每f的ZRdfdν∈ SH（Rd）带f（x）≤ Cf（1+| x |）。在这种情况下，TO（u，ν）再次是非空的，并且存在一个停止时间τ和一维布朗运动（Bt），其中定律（B）=u，定律（Bτ）=ν，和（Bτ∧t） t型≥0是一个L有界鞅。6 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMTo证明1）意味着2），我们将使用Strassen经典定理的以下变体【40】。设Lip（O）是O上有界函数和Lipschitz函数的Banach空间。由O上的所有Borel概率测度组成的集P（O）将与对偶空间Lip（O）的一个闭有界凸集识别*. 证明了可测映射T:O的存在性→ P（O）使得所有函数f的i）hν，f i=RhT（x），fidu（x）∈ 边缘（O）。ii）δxSH（O）πxf或u-几乎所有x∈ O、 为此，确定每个f∈ Lip（O）函数^f（x）=inf{ν（x）；-φ ∈ SH（O）和Д≥ f}。关于所有简单Borel函数θ：O的向量空间S→ Lip（O），定义公共职能部门→ R乘以p（θ）=Rθ（x）^（x）du（x）。设Sbe为由形式XB的函数生成的子空间 定义人（XB f）（x）=f如果x∈ B0如果x/∈ b定义线性函数l(11  f） =hν，fi。

订单uOν意味着l ≤ S上的p。让▄l 是的任何Hahn Banach扩展l 然后我们可以检查向量measurem：∑→ 边缘（O）*由hm（A）确定的钻孔σ-现场POF，hi=~l（XA） h） 对于所有A∈ ∑andh∈ Cb（O）的平均范围为P（O）：ism（A）u（A）∈ 所有A的P（O）∈P、 由于后者具有Radon-Nikodym性质【17，18】，m的密度为T:O→ P（O）。很容易检查T在P（O）中的值是否满足i）和ii）。现在通过π（D）=RT（x）（Dx）Du（x）确定O×O上的概率π，其中Dx={y∈ O；（x，y）∈ D） }。很容易证明π是次调和鞅π∈ SMTO（u，ν）。对于定理的第二部分，我们引入了球面鞅的概念。定义2.3。设U是单位球面inRd上的一致概率测度。Let（Xi）∞i=某概率空间上的1be i.i.d随机变量(Ohm, P） ，其分布为U。我们定义球面鞅如下：F=x∈ Rd（2.1）Fn（X，…，Xn）- Fn公司-1（X，…，Xn-1） =rn（X，…，Xn-1） ·Xn。（2.2）换句话说，在每次n时，一个粒子均匀地分裂到半径为rn的环绕球体上。一个简单但重要的观察结果是，球面鞅fn在δxb的径向对称边缘7测量之间的前推最优SKOROKHOD嵌入与Bxτ具有相同的规律，其中停止时间τ定义如下：τ是第一次Bx，其球面S（x，r）以x为中心，半径为r。IfBτ（ω）=x∈ S（x，r），然后定义τ为球体（x，r）的第一次击中时间bx。然后可以归纳地确定一系列停止时间τ≤ τ≤ ...使得Fn（P）=定律（Bxτn）。下面的引理类似于Bu Schachermayer[10，命题2.1]在球面鞅情况下的结果。引理2.4。设O是rdf中的开集，f:O→ R∪ {-∞} 是上半连续函数。

定义f=f，对于n≥ 1fn（x）=infZfn公司-1（x+ry）dU（y）其中，母公司接管了所有r≥ 0使得{x+rB} O、 然后（fn）∞n=0逐点减少到由f支配的O上的最大次谐波函数^f。证据首先注意序列（fn）∞n=0正在减小。为了显示^f的上半连续性，我们进行归纳并假设fn-1上部半连续。If（xk）∞k=0英寸O是指limk→∞xk=x和r≥ 0是这样的{x+rB}O、 其中b是闭单位球，那么k是{xk+rB} Ofor k≥ k、 上半连续函数fn-1在相对紧集上有界∪∞k=k{xk+rB}，对于每个z∈ B、 fn公司-1（x+rz）≥lim SUP公司→∞fn公司-1（xk+rz）。因此由Fatou引理Zfn-1（x+ry）dU（y）≥ lim SUP公司→∞Zfn公司-1（xk+ry）dU（y）≥ lim SUP公司→∞fn（xk）。因此fn（x）≥ lim SUP公司→∞fn（xk），因此表明fn和由此产生的^f是上半连续的。设g是O上g的次调和函数≤ f同样，假设g≤ fn公司-1，则对于{x+rB} O、 Zfn公司-1（x+ry）dU（y）≥Zg（x+ry）dU（y）≥ g（x）和so fn（x）≥ g（x）。因此^f≥ g、 最后，对于{x+rB} O、 我们从单调收敛^f（x）=limn得到→∞fn（x）≤ 画→∞Zfn公司-1（x+ry）dU（y）=Z^f（x+ry）dU（y）。这表明^f是次谐波的，引理的证明是完整的。8 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMWe现在可以将fn重写如下：fn（x）=inf{E[f（fn）]：（Fi）ni=0是O中的球面鞅，f=x}。（2.3）引理2.5。设u，ν为定理2.1中的概率，使得uOν，andΦ是Lip的以下子集*（O） ，这是所有有限测度onO的空间，具有有限的一阶矩，Φ={Fn（P）：（Fi）ni=0是一个球面鞅，值为O，F~ u}.对于某些σ，设置▄ν：=（1+| x |）ν和▄Φ=（1+| x |）Φ：={▄σ|▄σ=（1+| x |）σ∈ Φ}.那么ν处于弱态*-唇口处￠Φ闭合*（O） 。证据首先观察Φ是凸的。