相对论性Black-Scholes方程的闭式解

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英文标题：
《Closed-form Solutions of Relativistic Black-Scholes Equations》
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作者：
Yanlin Qu and Randall R. Rojas
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Drawing insights from the triumph of relativistic over classical mechanics when velocities approach the speed of light, we explore a similar improvement to the seminal Black-Scholes (Black and Scholes (1973)) option pricing formula by considering a relativist version of it, and then finding a respective solution. We show that our solution offers a significant improvement over competing solutions (e.g., Romero and Zubieta-Martinez (2016)), and obtain a new closed-form option pricing formula, containing the speed limit of information transfer c as a new parameter. The new formula is rigorously shown to converge to the Black-Scholes formula as c goes to infinity. When c is finite, the new formula can flatten the standard volatility smile which is more consistent with empirical observations. In addition, an alternative family of distributions for stock prices arises from our new formula, which offer a better fit, are shown to converge to lognormal, and help to better explain the volatility skew.
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中文摘要：
当速度接近光速时，从相对论战胜经典力学的经验中，我们探索了对开创性的Black-Scholes（Black and Scholes（1973））期权定价公式的类似改进，方法是考虑其相对论版本，然后找到相应的解。我们证明，我们的解决方案比竞争解决方案（如Romero和Zubieta Martinez（2016））有显著改进，并获得了一个新的封闭形式期权定价公式，其中包含信息传输速度限制c作为新参数。当c趋于无穷大时，新公式被严格证明收敛于Black-Scholes公式。当c为有限时，新公式可以展平标准波动率微笑，这与经验观察结果更为一致。此外，我们的新公式产生了一个股票价格分布的替代族，它提供了更好的拟合，显示收敛于对数正态分布，并有助于更好地解释波动率偏斜。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Closed-form_Solutions_of_Relativistic_Black-Scholes_Equations.pdf (446.14 KB)

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关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

相对论性Black Scholese方程的闭式解Yanlin Qu1,2和Randall R.Rojas数学科学学院中国科技大学经济系加利福尼亚大学洛杉矶分校Angelesquyanlin@mail.ustc.edu.cn, rrojas@econ.ucla.eduAbstractDrawing当速度接近光速时，相对论战胜了经典力学，我们通过考虑相对论版本的期权定价公式，探索对seminalBlack-Scholes（Black and Scholes（1973））期权定价公式的类似改进，然后找到相应的解。我们证明，我们的解决方案比竞争解决方案（如Romero和ZubietaMart'inez（2016））有显著改进，并获得了一个新的封闭式期权定价公式，其中包含信息传递速度限制c作为一个新参数。新公式严格地证明了，当c趋于完整时，它会收敛于Black-Scholes公式。当c为有限时，新公式可以反映标准波动率微笑，这与经验观察结果更加一致。此外，我们的新公式产生了股票价格的另一个分布族，它提供了更好的fit，显示出收敛于对数正态分布，并有助于更好地解释波动率偏斜。关键词：期权定价、波动率微笑、股价分布、克莱因-戈登方程。1、简介根据Romero和Zubieta Mart'nez（2016）所做的工作，我们采用类似的方法进行初始配方。然而，为了清晰起见，我们通过定义α=σ来简化符号σ- r, β =2σσ+r, ν=cσ，其中r是无风险利率，σ是Black-Scholes模型中的波动率，cis是光速。通常，S、K、T分别是Black-Scholes模型中的当前股价、执行价和到期日。

此外，m表示质量，是约化普朗克常数。众所周知，Black-Scholes方程ft+rSfS+σSfS=rf（1）可以映射到自由薛定谔方程I~ψt=-~2米ψx（2）乘以▄t=it，~=1，m=σ，x=对数S，ψ=e-（αx+βt）·f.在相对论量子力学中，自由薛定谔方程被KleinGordon方程代替-~c~ψ~t+~~ψx=mc|ψ。（3） 在这个意义上，ψ·eimc/~→ ψ为c→ ∞ （见Schoene和Phillips（1970））。因此，我们应用（1）和（2）之间的逆映射，其中|ψ=e-imc▄t/~·ψ=eνt·ψ=e-（αx+（β-ν） t）·fon（3）得到相对论广义Black-Scholes方程2νft型+1.-βνft+rSfS+σSfS=r-β2νf、 （4）很明显（4）→（1） asν→ ∞. 在那篇文章中，作者试图通过忽略几个重要的术语来近似求解（4）。然而，即使有这样的简化，其解中的积分也无法收敛于普通期权情况。在第2节中，我们找到了（4）的显式解，从而得到了闭式期权定价公式，并提供了c→ ∞. 在第3节中，我们从理论基础和实证检验两方面展示了新公式和相应的分布如何影响波动率微笑/偏差。2、模型2.1。为了说明我们显式求解（4）的技巧，我们只考虑α>0的看涨期权情况。其他情况也可以用类似的方法解决。通过将terminal Condition添加到（3）中并用它替换▄t，我们需要解决~ψt+c~ψx=νИψ，（x，t）∈ R×（0，T）～ψT=e-（αx+（β-ν） T）（ex- K） +。（5） 设Д（x，t）=Дψ（cx，t-t） ，则终端条件成为初始条件，我们可以在上半平面H=R×R+而不是R×（0，t）中求解方程。

（5） 现在可以写为(ν=νν，（x，t）∈ HИ=e-(β-ν） T（e（1-α） cx公司- Ke公司-αcx）1cx>对数K（6），其中 是拉普拉斯函数，1是指示函数。由于α<通过定义，因此φ随x呈负增长→ +∞ 所以我们不能对它应用傅里叶变换。此外，atlog KC并不平滑，因此无法获得直观的解决方案。因此，我们的技术的主要观点是将Д分为两部分，一部分是简单的Д，另一部分是可积的Д，其中Д=Д- Д和Д=Д- ^1，两者均可解析。图1说明了我们提议的分解-1.0-0.5 0.5 1.00.51.01.52.02.5φ10φ0φ20图。1、简单部分的分解示例(ν=νν，（x，t）∈ HИ=e-(β-ν） T+（1-α） cx（7）我们可以在几次简单观察后得出一对解，即：Д=e-(β-ν） T+（1-α） cx±√ν-(1-α） 这里我们需要c>c=σ/2+r来保证平方根是实的。现在，我们用ν代替fin（4），f=△ψ（x，0）eαx=Д（x/c，T）eαx=Se（±）√ν-(1-α） c类-(β-ν） ）T.如果我们选择“+”，f→ ∞ 作为c→ ∞. 因为f对应于有界的可积部分，所以f=f是不可能的- fto收敛到Black-Scholes公式asc→ ∞. 因此“- ” 是唯一的选择，f=Se(-√ν-(1-α） c类-(β-ν） ）T.对于可积部分(ν=νν，（x，t）∈ HИ=e-(β-ν） T（e（1-α） cxcx≤日志K+Ke-αcxcx>log K）（8）注意，0<α<1/2，因此ν的指数衰减为x→ ±∞. 因此，我们可以对x进行傅里叶变换，以获得^φt（ξ，t）=（ν+ξ）Д（ξ，t），（ξ，t）∈ H^Д（ξ）=e-(β-ν） TK（1-α)-iξcc√2π((1 - α) -iξc）（α+iξc））（9），其中我们使用了以下两个简单公式（a>0）\\e-附件>k=√2πZRe-附件>k·e-iωtdt=√2πZ∞ke公司-（a+iω）tdt=e-k（a+iω）√2π（a+iω），\\eatt≤k级=√2πZReatt≤k·e-iωtdt=√2πZk-∞e（a-iω）tdt=ek（a-iω）√2π（a- iω）。（9）的溶液应为^Д=e±√ν+ξ·t^И。

为了将Fourier逆变换应用于^И，以获得^，（8），^И的解必须可积于ξ，so“- ” 是唯一的选择Д（x，t）=√2πZR^Д（ξ）·e-√ν+ξ·t+ixξdξ。现在，我们返回到fin（4），y=ξ/cf=|ψ（x，0）eαx=Д（x/c，T）eαx=e-βT2πSαKα-1ZR（S/K）iy·e-(√cy+ν-ν） T（α+iy）（1- α - 最后，我们得到了这种情况下的公式，f=f- f=e-βTSe（ν-√ν-c（1-α） ）T+2πSαKα-1ZR（不锈钢）iye-(√cy+ν-ν） T（α+iy）（α+iy- 1） dy！。2.2. 对于α6=0的新公式，我们的技术适用于欧式看涨期权和看跌期权。因此，重复上述步骤后，我们得到cc（r，σ，S，T，K）=e-βTSe（ν-√ν-c（1-α） ）T- Ke（ν-√ν-cα）Tα<0+2πSαKα-1ZR（不锈钢）iye-(√cy+ν-ν） T（α+iy）（α+iy- 1） dy！Pc（r，σ，S，T，K）=e-βTKe（ν-√ν-cα）Tα>0+2πSαKα-1ZR（不锈钢）iye-(√cy+ν-ν） T（α+iy）（α+iy- 1） dy！。（10） 然而，当α=0时，我们的技术失败。实际上，如果有适当的计算精度，α=0几乎不可能精确保持。即使它成立，因为我们知道σ的精确值，我们可以在σ上添加一个小扰动来避免这种情况。虽然每个公式中都有一个不合适的积分，但请注意，被积函数具有指数衰减，因此我们可以使用有限区间上的数值积分来高效地近似EIT。此外，我们还有一个新的put调用奇偶校验，Cc（r，σ，S，T，K）- Pc（r，σ，S，T，K）=e-βT（Se（ν-√ν-c（1-α） ）T- Ke（ν-√ν-cα）T）。2.3. 聚合自（4）→ （1） 作为c→ ∞, 我们的新公式应该收敛于Black-Scholes公式。然而，在第2.1节中，我们排除了（4）的几个解，因为它们不能收敛到（1）的解。因此，我们的新公式也可能无法收敛。幸运的是，在本节中，我们可以通过提供收敛性的严格数学证明来消除这种可能性。为了明确地说明证明方法，我们只考虑α<0的看跌期权情况。

其他情况也可以用类似的方式证明。在开始之前，我们可以方便地回忆一下Black-Scholes公式，C（r，σ，S，T，K）=SN（d）- Ke公司-rTN（d）（11）P（r，σ，S，T，K）=Ke-rTN公司(-d）- 序号(-d） （12）式中，d=对数S/K+（r+σ）Tσ√Td=对数S/K+（r-σ） Tσ√T、 （13）为了在（11）和（12）中的N（·）（正态分布的CDF）和（10）中的不当积分之间建立联系，我们建立了以下有趣的引理。引理2.1。设θ>0 thenN（τ）=i2πZRe-（x+iθ）-iτ（x+iθ）x+iθdx，τ ∈ R、 （14）证明。用f（x，τ）（包括积分前的常数）表示上述被积函数sofτ（x，τ）=2πe-（x+iθ）-iτ（x+iθ）。f和fτ在R中是连续的。此外，RRfτ（x，τ）dx在τ的任何有限区间内一致收敛，因为fτ（x，τ）≤ e-x+θ+τθ。根据Trench（2012）中的定理11，我们τZRf（x，τ）dx=ZRfτ（x，τ）dx=eτθ+θ2πZRe-x个-ix（τ+θ）dx=√2πe-τ，其中，由于从x到τ+θ的傅里叶变换，最后一个等式成立。因此，（14）两边的导数总是相同的，所以我们只需要证明（14）在τ=0时成立。考虑h（z）=i2πe的复积分-Z在下图中的矩形轮廓上（逆时针方向）。图2：。矩形轮廓Γr注意到h在原点有一个单极，根据留数定理，IΓRh（z）dz=2πiRes（h，0）=2πI limz→0zh（z）=-1、自| h（z）|=i2πe-（x+iy）x+iy≤2πe-R+θRfor x=±R和| y |≤ θ、 两个垂直段上的积分消失为R→ ∞. 请注意，两个水平段上的积分是相同的，因为h（z）=-h类(-z） 。让R→ ∞ 最后我们得到了Zrf（x，0）dx=-limR公司→∞IΓRh（z）dz==N（0）。通过引理的证明，我们现在可以证明收敛性了。提案1。设α<0，然后Pc→ P作为c→ ∞.证据

用f（y，c）表示（10）中的被积函数（包括积分前的常数）。我们有LIMC→∞pcy+ν- ν=limc→∞cypcy+ν+ν=limc→∞yσqyσc+1+1=yσ（15），然后| f（y，c）|≤e-βT2πSαKα-1e级-(√cy+ν-ν） T |α| | 1- α|≤欧洲经委会-yσTsyσc+1+1，其中ec是常数，c=σ/2+r是c的下界。因此，f由具有指数衰减的c-独立函数控制，因此rrf（y，c）dy在[c，∞). 根据Trench（2012）和（15）中的定理10，limc→∞Pc=limc→∞ZRf（y，c）dy=ZRlimc→∞f（y，c）dy=e-βT2πSαKα-1ZR（不锈钢）iye-yσT（α+iy）（α+iy- 1） dy=-e-βT2πSαKα-1ZR（不锈钢）iye-yσTα+iydy+e-βT2πSαKα-1ZR（不锈钢）iye-yσTα+iy- 1dy（16）Letθ=-α√σT，τ=-d、 x=y√σT在引理2.1中，经过标准简化后，我们将发现（16）中的第一项等于（12）中的第一项。设θ=（1- α)√σT，τ=-d、 x=y√σT在引理2.1中，经过标准简化后，我们将发现（16）中的第二项等于（12）中的第二项。然后证明了该命题。分布和波动率微笑/歪斜3.1。直接展平标准微笑在证明了收敛性之后，现在我们可以转而研究新公式和Black-Scholes公式之间的差异。这里我们主要研究看涨期权的公式。如果我们fix r=0.1，σ=0.5，S=50，T=1，c=3，那么c- CCI是K的函数，其绘制在下图3（a）中。图3（b）显示，CCI是类似σC的单调递增函数。如果我们满足标准波动率微笑，当K≈ 当| K时，S和将更高-S | 通过单调性，表明当K≈ 当| K时，S和低价选项- S | 从图3（a）可以看出，我们的新公式可以几乎完美地减少这种错误定价。

我们可以预期，我们的新配方可以让人微笑。30 40 50 60 70 80K-0.010.010.02C-C3（a）两个公式之间的差异0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8σ810121416价格CC3（b）CC3相对于σ图3的单调性。差异性和单调性现在我们使用Fengler（2009）附录B中的数据进行实证检验。这是2000年6月13日DAX指数期权的修正波动率表。当日DAX现货价格为S=7268.91。事实上，对于股票指数或货币期权的定价，我们需要用Se代替S来推广我们的新公式-QT，以便其能够处理支付已知股息收益率q的股票期权。有关这方面的进一步讨论，请参见（Hull and Sankarshan，2016，第402页）。幸运的是，这里不需要这样做，因为DAX是q=0的性能指数。我们仍然选择c=3，结果如图4所示。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■6500 7000 7500 8000K0.10.20.30.40.5IV●C隐含波动率■C3Fig隐含波动率。4、用CAs展平笑容，我们的新配方可以大大展平笑容。当c=3时，所有的点都被推到0.27左右。请注意，S=7268.91周围的点略微上升，而远离S=7268.91的点明显下降。这正是我们想要展现的标准笑容。事实上，这里的微笑与标准微笑仍然有点不同，因为最低点（7400左右）略大于S=7268.91。然而，根据（Derman and Miller，2016，第149页），在“同等实力”货币（如美元、欧元）之间的货币选择可以是标准的。在这种情况下，我们的新公式可能会产生一条水平线。本小节中的选择c=3是非常随意的，但它做得很好。重新计算出实际光速约为3×10。

这是一个有趣的巧合。虽然c在物理学中是一个常数，但从现在起我们不需要将c=3乘以。我们知道，光在不同的介质中以不同的速度传播。同时，不同的市场有不同的笑容（Derman和Miller，2016，第131页）。因此，当我们处理不同种类的选项时，选择不同的c是合理的。例如，当我们处理比smiles更常见的股票期权波动率偏差时，我们可能需要在下一小节中选择较小的c。3.2. 分布和偏斜我们使用Breeden和Litzenberger（1978）的公式来获得一个新的股票价格分布族，gc（K；r，σ，S，T）=erT复写的副本K=e（r-β） T2πSαK1+αZR（S/K）iye-(√cy+ν-ν） Tdy（17），我们在积分符号下进行微分。当我们证明引理2.1时，我们也做了同样的事情。因此，其有效性可以通过类似的方式进行验证。回想一下具有相同参数的Black-Scholes模型中的对数正态分布，g（K；r，σ，S，T）=K√2πσTe-（log（K/S）+ασT）2σT.（18）我们在本小节中设置了c=0.6，并将图5（a）中的（17）与（18）进行比较。图5（b）摘自（Hull and Sankarshan，2016，第465页），通过比较隐含分布和对数正态分布来解释股票期权的波动性。50 100 150 200K0.0050.0100.0150.020PDFg0.6g（a）gc和对数正态分布（b）隐含分布和对数正态图。5.gc、隐含分布和对数正态分布令我们惊讶的是，与对数正态分布相比，图5（a）中的gcin具有与图5（b）中隐含分布完全相同的特征，例如K附近的左尾较重，阿沙珀峰向右偏移，K附近的尾较轻。

有趣的是，当K极大于K时，gca的右尾比对数正态分布重。然而，对于隐含分布，不可能观察到这种现象，因为没有人会以荒谬的高执行价格交易这些期权。这可能是对期权隐含股价分配的限制。为方便读者，我们将在（Hull and Sankarshan，2016，第465页）brie fly中提出论点，以说明图5（b）和图5（a）如何解释股票观点的向下波动性倾斜。考虑一个执行价高K的看涨期权。只有当股票价格超过K时，期权支付才有效。隐含分布的概率低于对数正态分布，这意味着Black-Scholes公式高估了这些选项的价格。由于单调性，Black-Scholes模型中的隐含波动率低于σ。考虑执行价K较低的看跌期权。只有当股票价格低于K时，才考虑期权支付。隐含分布的概率高于对数正态分布，这意味着Black-Scholes公式低估了这些选项的价格。根据单调性，Black-Scholes模型中的隐含波动率高于σ。因此，图5（b）与向下波动率偏斜一致，图5（a）也是如此。然后，我们使用（Dar\'oczi et al.，2013，第97页）的数据进行实证检验。这是2013年6月25日谷歌看涨期权的一组价格。当天谷歌股票的价格isS=866.2。我们使用平滑曲线来拟合波动率偏差。使用Black-Scholes公式，我们获得了一条平滑的期权价格曲线，我们可以再次应用Breedenand Litzenberger（1978）的公式来计算隐含分布。事实上，这里的波动曲线看起来仍然像一个微笑，但它的最低点在1050左右，这比S=866.2大得多，所以我们可以称之为倾斜。