解读经济复杂性

在这里，节点是英国地方当局，根据其在不同行业的就业集中度（按三位数的粒度分类），它们彼此相似。图D中的相似图是根据2010年综合公用微数据系列（IPUMS）[30]的区域数据源D构建的（可从https://usa.ipums.org/usa/). 在这张图中，节点是美国各州，相似度是根据不同职业的就业集中度计算的（也按三位数的等级划分）。有关这些网络构建的更多详细信息，请参见“材料和方法”一节。有趣的是，在这两个示例中，数据也没有清晰地划分为两个组件。然而，正如我们在下一节中所展示的，ECI和PCI仍然提供了有经济见解的信息。3.2解释作为降维工具除了近似标准化切割标准外，ECI还可以解释为降维工具。正如Shi和Malik[32]所示，ECI精确地最小化了Espij（yi- yj）SijPiyidi，（23）受限于约束xiyidi=0。（24）这里，目标是为每个节点i找到实数yi，使节点之间的平方距离之和最小，其中距离根据相似矩阵S进行加权。该约束确保分配的yin数具有正值和负值，并在零上下的分布中合理平衡。正如我们将在第3.3节中进一步讨论的那样，它还硬连接了ECIA和分集向量之间的正交性条件。当应用于出口数据时，我们可以将ECI解释为一种将国家出口相似性的高维空间收集为一维的方法。

ECI将国家定位在一个区间上，相似的国家放在一起，而不同的国家放在很远的地方。这条线上国家之间的距离是“差异地图距离”（Diffusion mapdistance）[27]的特例，与对应分析密切相关（参见[37]和SM）。从经济学角度来看，将经济复杂性指标应用于出口数据尤其令人感兴趣，因为ECI与各国的人均GDP和未来增长率密切相关[16，11]。然而，正如我们在图2中所示，ECI产生了出口数据以外的具有经济洞察力的信息（面板A）。小组B显示，英国地方当局的ECI也与人均收入相关，小组C显示，美国各州的ECI与州一级的人均GDP相关。英国收入数据来源于英国国家统计局年度小时调查，收入和美国各州人均GDP数据来源于美国经济分析局。A BCFigure 2:Panel A）ECI与国家和出口数据的对数人均GDP之间的关系。小组B）英国地方当局工业就业集中度数据的ECIA和对数人均收入之间的关系。由于散点图过于密集，无法显示清晰的地方当局标签，我们提供了SM中按ECI排名的前10名和后10名地方当局。面板C）美国各州职业就业集中度数据的ECI和人均对数GDP之间的关系。将PCI应用于国家出口空间可提供额外的经济效益。

与ECI类似，PCI定义为与转置OFFM矩阵第二大特征值相关的特征向量。因此，PCI将产品放置在一维间隔上，使得相同国家出口的产品紧密相连，而不同国家出口的产品相距遥远。此外，由于一个国家的ECI等于该国具有竞争力的产品的PCI平均值（见SM），PCI揭示了各国共同的出口类型。我们在图3中提供了一个插图，其中显示了国家和出口（面板A）、英国地方当局和行业（面板B）以及美国各州和职业（面板C）的M（二方）矩阵。在这三种情况下，我们根据相应的ECI（按升序排序）对国家或地区行进行排序。我们还按相应的PCI（也按升序排序）对export、industry和Occupation列进行排序。按ECI分类的国家按PCIBLocal当局分类的产品按ECI分类的行业按PCIStates分类的国家按ECIaccountries&ExportsUK分类的职业按PCIACCountries&ExportsUK地方当局&Industries美国各州&职业图3：在每个矩阵中，行按ECI分类，列按PCI：面板A）国家产品M矩阵分类；小组B）英国regionindustry M矩阵；面板C）美国州占领M矩阵。面板A揭示了导出数据的显著专业化模式。通过同时观察ECI和PCI，我们可以推断，富国和穷国根据其具有竞争力的出口类型有系统地进行区分。具有高（低）ECI的富裕（贫穷）国家专门生产高（低）PCI产品。值得注意的是，类似的专业化模式在英国和美国的地区数据中也很明显。

在SM中，我们展示了ECI排名最高和最低的地方当局和美国各州，以及PCI排名最高和最低的行业和职业。在英国，高（低）ECI地方当局往往是城市（农村）地区，专门从事与金融和专业（农业和制造业）行业相关的高（低）PCI行业。我们在美国发现了类似的结果。因此，通过将ECI和PCI解释为相似性度量，我们能够从著名和新的数据集中揭示新的经济见解。3.3重温之前对经济复杂性的解释之前对ECI的解释倾向于从多样性的角度来考虑[16、11、26、9]，即使ECI和多样性在数学上是正交的（见等式（24）和[19]）。然而，在国家出口数据（图4中A的附录）以及中国地区数据[9]中，多样性与ECI呈正相关。回想一下，正交性（具有零点积）并不意味着零相关性，除非其中一个变量的平均值为零。多样性和（非标准化）ECI在这些数据中都没有零均值。事实上，正如我们在图4的面板B和C中所示，在英国和美国的区域数据中，ECI和多样性之间的经验关系是不同的。尽管ECI与地区人均收入呈正相关（图2），但与英国地方当局的产业多样性呈负相关，与美国各州的职业多样性无显著相关性。A BCFigure 4：多样性与ECI之间的关系，数据涉及：面板A）国家和出口；小组B）英国地区和行业；小组C）美国各州和职业。ECI和多样性之间的数学正交性表明，这些变量捕获了不同的信息【19】。

在出口数据中，ECI和多样性都提供了有用的经济见解。特别是，之前的工作表明，按countrydiversity对矩阵M的行进行排序，按产品普遍性对列进行排序，显示了一种三角形结构[12]（见图5的面板a）。这种模式表明，与传统的比较优势理论形成鲜明对比的是，多样化程度越高的国家倾向于出口不太普遍的产品，而多样化程度越低的国家则倾向于出口更普遍的产品。按多样性分类的国家按多样性分类的产品按多样性分类的地方当局按多样性分类的行业按多样性分类的国家按多样性分类的职业A国家和出口suk地方当局和行业美国国家和职业图5：在每个矩阵中，行按多样性分类，列按普遍性分类：面板A）国家产品M矩阵；小组B）英国regionindustry M矩阵；面板C）美国州占领M矩阵。然而，在我们这两个地区的例子中，多样性和普遍性并不能提供经济信息。正如我们在图5的面板B和C中所看到的，根据美国和英国的区域数据构建的矩阵M的多样性和普遍性排序并没有显示出三角形结构。此外，如图6所示，虽然国家多样性与出口数据中的人均GDP呈正相关（面板A），但英国的多样性与人均收入（面板B）或美国的人均州际GDP（面板C）之间没有正相关。A BCFigure 6:Panel A）各国和出口数据的多样性与人均对数GDP之间的关系。小组B）英国地方当局工业就业集中度数据的多样性与对数人均收入之间的关系。

小组C）美国各州职业就业集中度数据的多样性与人均对数GDP之间的关系。4讨论本文提供了ECIand PCI的许多数学解释，并说明了这些解释如何在出口和区域数据中提供有用的经济见解。我们的结果也为现有的经验发现提供了新的视角。此前，ECI在解释各国人均GDP和未来增长率变化方面的成功被认为反映了积累多样化生产能力的重要性【16、12、11】。然而，通过明确ECI和多样性之间的差异，我们可以更好地理解这些变量在发展过程中扮演的不同角色。多元化与发展之间的关系在经济学文献中得到了很好的确立。各国倾向于遵循U型模式，即首先多样化，然后在发展过程中相对较晚地开始专业化【18】。这一模式与其他实证研究一致，这些研究描述了出口多样化与经济增长之间的正相关关系，而经济增长对欠发达国家来说往往更为强劲[1、14、15]。与多样性不同，ECI和PCI揭示了关于低收入和高收入国家专门从事的出口类型的更多信息。高PCI产品（往往由较富裕、高ECI的国家出口）与需要先进技术和先进制造工艺的化学品和机械出口有关，而低PCI产品（往往由较贫穷、低ECI的国家出口）对应的是简单的农产品或原矿物【11】。

虽然经济文献[20、21、23]中也充分认识到技术升级对增长和发展的重要性，但我们将ECI和PCI解释为相似性度量，为低收入和高收入国家出口篮子中的技术差异提供了新的实证依据。经济复杂性度量和谱聚类之间的数学联系也为降维方法在其他经济数据集的进一步应用打开了大门。事实上，正如我们对英国和美国就业数据的说明所示，ECIand PCI揭示了富裕和贫穷地区的类似专业化模式。有趣的是，在这两个特定的例子中，我们发现，集中在一个地区的行业和职业的类型，而不是多样性，似乎对区域经济繁荣更为重要。未来的工作可以很容易地扩展经济复杂性度量，以检查其他经济网络，例如根据国家投入产出数据构建的生产网络。此外，ECI、差异图[6，37]和简单对应分析[38]（其中一些在SM中讨论）之间的关系表明，可以从非线性差异图和多重对应分析对经济数据的应用中收集新的见解。5材料和方法5.1计算英国和美国地区就业数据的ECI 5.1.1英国地方当局和行业使用英国商业登记和就业调查（BRES）的数据，我们根据行业iLQri=eri/PieriPreri/PrPieri中的地区r\'sLocation商（LQ）构建了二元地区行业矩阵W，（25）其中，ERI是区域r中行业i的就业人数，如果LQri>1，则WRI=1，否则LQri=0。注意，等式（25）类似于等式（1）。

然后，我们从W构造afW矩阵，方法与从M构造FM相同（等式5）。最后，我们通过找出与第二大特征值OFW相关的特征向量，计算英国地方当局基于行业的ECI。5.1.2美国各州和职业我们采用相同的方法计算美国各州基于职业的ECI。（我们还利用美国各州和行业的数据得出了一致的结果。）根据美国人口普查数据（可从综合公共用途微数据系列（IPUMS）获得）[30]，我们利用州在职业i中的位置商构建州职业矩阵。然后，我们计算美国各州基于职业的ECI，类似于英国地方当局基于行业的ECI。补充材料1多样性和程度等效性称多样性定义为：k（0）c=XpMcp（26），图中节点的程度由相似矩阵S isdi=XjSij定义，（27），我们想证明这些是等效的。我们定义S=MU-1米。注意，U-1Mis行随机和D-1M也是随机的。因此，任何一行fm=D-1亩-1加起来等于1，因此MU的每一行i-1必须加起来等于Dii。S2 ECI和PCI位置1之间的关系。一个国家的ECI等于该国显示出比较优势的产品的平均PCI。证据回想一下FM=D-1亩-1米。（28）ECI是以下特征系统的解ey之一：fM ey=eλey。（29）为了计算所有产品的PCI，我们感兴趣的是矩阵的第二个特征向量，由cm=U给出-1MD-1米。（30）因此，PCI是以下特征系统的解决方案之一：cM by=bλby。（31）为了证明这个命题，取公式（29），ECI的本征系统，并替换为公式。

（28）：D-1亩-1Mey=eλey，（32）M-1DD-1亩-1Mey=eλM-1DY，（33）U-1Mey=eλM-1Dey，（34），相当于PCI的特征系统，U-1MD-1M x=bλx（35）forey=D-1米宽。（36）根据需要。因此，可以使用M立即从PCI获得ECI。此外，请注意，CM和FM的所有特征值都是相同的。S3将ECI解释为差异图以及与对应分析和核主成分分析的关系差异图是一种降维方法，通过迭代与数据相关的马尔可夫矩阵，在低维欧几里德空间中生成复杂数据集的表示【6，27】。由于CEFM可以被视为马尔可夫转移矩阵（见第2节），因此ECI还可以用来构建一个基本的差异图，表明在特定节点（或马尔可夫链“状态”）开始的随机步行者将如何在系统中移动【37】。例如，如果我们让图S中的节点表示Markovtransition矩阵中的状态，则从状态I开始的随机游动在下一步到达状态j的概率由fmij给出。现在，考虑从状态i和j开始的两个随机游动。在时间t，随机游动之间的“距离”告诉我们节点i和jin图S的相似性。让向量xi（t）表示在时间t，通过从状态i开始的随机游动在状态t上获得的概率分布。然后确定扩散映射距离与（xi（t）成比例）- xj（t））D-1（（xi（t）- xj（t））。（37）时间t处的每个状态可以表示为具有坐标（|λt | y[2]i，|λt | y[3]i，…，λtn | y[n]i）的n维UClidean空间中的一个点，其中λjis是与jthlargest特征向量fm andy[n]i关联的特征值，是第n个最大特征向量的输入项[37]。

点之间的距离正好是差异贴图距离。在图S1中，我们将差异图应用于国家出口数据。通过使用扩散图的第二和第三个坐标，我们可以在一个二维平面上的不同位置将国家可视化。由于第二大特征值占主导地位，我们根据其值重新缩放轴。当t趋于精确时，DiffusionMap距离捕捉到随机游动中状态的平稳概率之间的距离，并很好地近似于第二大特征向量OFM，即ECI【27】。A B Ct=1t=5t=10图S1：将差异地图解释应用于国家出口数据。Ncut标准和对应分析（CA）之间也存在等效性【38】。简单（多重）CA是多变量分析中的经典工具，通过奇异值分解研究两个（两个或多个）分类变量（如国家和产品）之间的关系[24、10、3、17]。在此设置中，相似度矩阵S表示Pearsoncorrelation矩阵。当t=1时，执行简单对应分析相当于计算基本差异图[37]。最后，差异图也与核主成分分析（PCA）相关。定义（t）=fMtD-1fMt（38）是一种对称的正定义矩阵，称为扩散映射核。表示w[n]为K的特征向量，与un相关，为第三大特征值。时间t处的每个状态都可以在具有坐标的n维欧几里德空间中表示(√uw【1】i，√uw[2]i，√unw【n】i）。（39）这不仅是主成分空间中每个点的向量表示，而且点之间的距离正是差异映射距离。计算无向加权图的低维嵌入的不同光谱方法之间的关系可在[8，表10.1，p]中找到明确的总结。