约束条件下的动态投资组合优化

请注意，变量V（k）对于所有时间瞬间k都是已知的，可以将其视为预先选择的参数。绩效标准（9）由二次部分和线性部分组成，二次部分表示投资组合价值与参考（基准）组合之间的条件均方误差，线性部分表示惩罚低于期望值的财富价值。备注1。在准则（9）中，增加了控制向量上涉及二次型的项。一般来说，这些术语的存在保证了控制问题解决方案的存在，如下所示（见附录1后的备注3）。备注2。请注意，标准（9）可以在表格中显示  21200( / ) ( ) { ( ) / ( ), ( )} / ( ), ( ){ ( ) / ( ), ( )} ( )( , ) { ( ) / ( ), ( )} ( ){ ( 1 / ) ( , 1) ( 1 / ) ( ), ( )}./miTJ k m k E V k i E V k i V k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k               （10） 性能标准（10）由第一项（即投资组合的条件方差）、第二项（即投资组合价值的条件平均值与参考投资组合之间的二次误差）和线性部分（表示条件平均投资组合价值与参考投资组合之间的误差）的线性组合组成。如果我们去掉（10）中的第二项，我们就得到了地平线后退的多周期条件均值方差准则。

在这种情况下，参数ρ（k，i）>0可以视为风险规避系数，在预期投资组合价值和相关风险（方差）水平之间进行权衡。在二次标准（9）（或其等效形式（10））下跟踪参考投资组合方法的一个重要优势是，它能够预测增长投资组合财富的轨迹，这将接近或超过确定性（投资者给出的）基准。这使得在整个投资期内获得投资组合财富增长的平滑曲线成为可能。这是金融市场投资者交易策略的基本要求之一。

增长因子μ由投资者根据对金融市场的分析选择。离散时间马尔可夫链，取{1,2，…，ν}中的值，具有转移概率矩阵P，在状态空间中允许以下表示（Aggoun和Elliott，2004）（1）（）（1），k P k k     （11） 其中θ（k）=[δ（α（k），1），…，δ（α（k），ν）]T，δ（α（k），j）是Kronecker函数；{ν（k）}是带条件矩的鞅增量序列 （1）/（）0，E k k（12） （1）{（1）（1）/（）}诊断{（）}-诊断{（）}。TTC k k k P k P        （13） 考虑到（11），等式（4）可以表示为     1( ), ( ), ( ), ( ).ni i ij jjk k k k k k w k     （14） 标准（9）可转换为2001( / ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )( 1/ ) ( , 1) ( 1/ ) ( ), ( ) ./miTJ k m k E V k i V k i k i V k i u k i k R k i u k i k V k k k                   （15） 最小化准则（9）的问题等价于准则为211（/）{（）（，）（）（1/）（，1）（1/）（），（）}，/mTiJ k m k E V k k i R k i V k i u k i k R k i k k V k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k          （16） 其中，我们消除了与控制变量无关的项，R（k+i）=2V（k+i）+ρ（k，i）。我们有以下定理。定理1。假设财富动态由（3）给出，风险资产回报率之后是形式（14）欠约束（6）-（8）的动态。然后是具有后退地平线m的MPC策略，这样，对于等式定义的每个瞬间kis，它将目标（15）最小化 1 1 1( ) 0 ...

0（），n n nu k I U k  （17） 其中1NI是（n+1）-维单位矩阵；10牛是（n+1）-维零矩阵；U（k）=[uT（k/k），…，uT（k+m-1/k）]这是通过用准则求解二次规划问题定义的预测控制集 （/）2（）（）（）（）（）（）（）（）TY k m k V k G k F k U k U k H k U k   （18） 在约束条件下（元素不等式）min max（）（）（）（），U k S k U k U k k（19） 其中min min 2 1 2 1（）[（），0，…，0]，TTnnU k u k   最大值最大值2 1 2 1（）[（），0，…，0]，TTnnU k u k   MinMax11MaxMin22MaxMaxMinMinMinMax0Max1（）（）（）（）。。。。。。( ) , ( ) .（）（）（）（）（）（）0nnnukukukukuku k u kukuku k V kVkuk（）Sk、H（k）、G（k）、F（k）是以下形式的块矩阵 2 1 2 1（）诊断（），0，。。。，0，n n n n nS k S k     11 12 121 22 212( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )( ) ,... ... ... ...( ) ( ) ... （）mmm mmH k H k H k H k H k H k H k H k H k H k H k H k 12( ) ( ) ( ) ... （），mG k G k G k k G k 12( ) ( ) ( ) ... （），mF k F k F k F k k块满足以下递归方程1 0。。。0 00 1 ... 0 0... ... ... ... ...( ) ,0 0 ... 1 01 1 ... 1 10 0 ... 0 1Sk   （）（）110（）（，1）（）诊断{（）}（）（），nTt T q qtt q j jqjH k R k T q m T e P k e B k T B k T k T     (20)   （）（）1 0 011（）（）诊断{（）}（）（），TTf t f t q rtf r qqrH k A q m f e P k P e B k t B k f t f t f f f    （21）（（）），Ttf ftH k H k t f（，1，），t f m（22）101（）（）（），t t qtqg k A Q m t e P k B k t  （23）201（）（）（）（），TQTQF k Q m t e P k B k t  （24）211（）（1）1，Q t A Q t  1（0）1，Q2 1（）（1）（，），Q t AQ t R k m t   21（0）（，），Q R k mR（k，t）=2V（k+t）+ρ（k，t），（1，），tm11，Ar 10,...,0,1,0,...,0，（1，），qeq( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 1 1 1 2( ) ...

，q q q qnB k r r r r r r r r      ( ) ( ) ( )1( ) ... 0 ,( 1, ),( 1, ).q q qj j njB k j n q    附录A中报告了该定理的证明。备注3。条件R（k，i）>0保证矩阵H（k）是正定的，因此，如果约束条件（19）允许，则具有条件（18）的二次规划问题的解存在且唯一。数值实验和讨论在本节中，我们给出了几个数值示例，展示了我们的方法在区域股票和货币对投资组合中的应用。我们希望通过计算长期的投资组合财富来评估我们的模型在实际市场条件下的表现。这些示例使用的数据来自俄罗斯证券交易所、纽约证券交易所和外汇市场（FOREX）（www.finam.ru）。其中包括最大公司的每日股票价格、货币对以及MICEX指数和道琼斯指数的价值。我们考虑的情况是，投资者必须在大约600个交易日的投资期限内，将一个单位的财富分配给风险资产和一个无风险资产。投资组合的更新在每个交易日执行一次。在每次投资组合再平衡都会带来交易成本的情况下，对实际投资组合的财富进行了评估。让投资者支付购买和出售第i支股票交易金额的分数ci>0，（i=1，…，n）。在时间k时，所有交易的总成本为1（）（1），ni i iic u k u k k式中（）（1）iiu k u k是每个期间购买和出售第i项资产的交易金额【k-1，k】。在存在交易成本的情况下，自筹资金的投资组合策略不允许向投资组合中注入额外资金来支付交易成本。

因此，这些成本应该从投资的财富中支付。考虑到交易成本，k+1时实际投资组合的财富定义为  1 1 2 1 111( 1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) [ ] ( ).nni i i i niiV k r V k r u k c u k u k r u k          （25）因此，我们在考虑交易成本的情况下评估实际投资组合的财富。我们使用等式（18）中由（25）计算的投资组合价值。这种方法可以有效地避免在处理具有交易成本的投资组合优化时经常出现的非凸优化问题。此处将无风险资产视为银行账户。为了简单起见，我们假设r=r=0。我们也没有考虑不同资产之间的横截面相关性，即σij=0，i≠j、 在假设资产之间的互相关被呈现的情况下，我们已经用更复杂的方案进行了实验。然而，我们发现它对跟踪性能的影响非常负面。这是意料之中的，因为我们需要估计大量将“估计不确定性”引入投资组合优化策略的参数。在第一组实验中，我们使用了在俄罗斯证券交易所MICEX交易的风险资产：俄罗斯联邦储备银行、俄罗斯天然气工业股份公司、VTB、卢克石油公司、挪威镍业公司、俄罗斯石油公司、俄罗斯天然气工业股份公司。所有投资组合由5项风险资产组成。俄罗斯证券交易所规模相对较小，无法进行大量资产的实验。另一方面，由于指数的高波动性，它带来了额外的挑战。我们假设市场参数取决于根据马尔可夫链在两个状态之间切换的市场模式。我们使用MICEX指数来观察当前的马尔可夫状态并估计转移概率矩阵。

我们假设，只有回报的波动性才受到当地或全球因素的影响，而这些因素由市场机制所代表。因此，状态1代表低市场波动性，状态2代表高市场波动性。当指数的日波动率低于0.015时，我们将该日定义为低波动率，并将σii（1）=0.01，（i=1,2，…，n）。鉴于指数的日波动率高于0.015，我们将该日定义为高波动率，并将σii（2）=0.02，（i=1,2，…，n）。这些挥发性值是通过分析真实的市场行为获得的。转移概率矩阵通过最大似然法估计，使用跟踪期之前MICEX指数过去200天的收盘值。转移概率矩阵的估计为0.96 0.24.0.04 0.76P马尔可夫过程被假定为投资期内的平稳多周期过程。我们使用过去历史回报数据的13天简单平均值计算预期回报，并假设预期回报在预测期m内保持不变。我们使用调整后的程序，在每个决策时间k更新估计值，以使投资组合适应市场上的价格变化，包括新到达的信息。我们将跟踪目标设定为每天返回0.15%（μ=0.0015）。我们假设初始投资组合财富为V（0）=V（0）=1。对于所有k，i，权重系数设置为R（k，i）=diag（10-4，…，10-4），ρ（k，i）=0.1。我们假设分数ci（i=1，…，n）等于0.0006（0.06%）。我们对参数βi=-0.6，（i=1，…，n），γi=3，（i=1，…，n+1）的跟踪投资组合问题施加约束。因此，在所有例子中，我们都允许借贷和卖空。预测层位为m=10。

优化问题（18）、（19）由quadprog解决。MATLAB优化工具箱中的m函数。我们在图1-3中给出了典型的实验结果。在下图中，投资组合由fiverisky的资产组成：卢克石油、俄罗斯天然气工业股份公司、俄罗斯联邦储备银行、Sibneft、NorNickel。投资期限为2011年8月10日至2013年10月20日。图1绘制了实际投资组合和基准值。在图2中，我们对俄罗斯天然气工业股份公司的风险资产进行了投资。图3说明了MICEX指数每日收益率和马尔可夫链的估计状态。图1：。跟踪绩效（V–真实投资组合，V–参考投资组合）。图2：。资产配置决策（uis是对Gazprom的投资金额）。图3：。每日MICEX收益和马尔可夫链状态。在第二组实验中，我们使用了在纽约证券交易所交易的风险资产：美国电话电报公司、苹果公司、美国银行、卡特彼勒公司、思科系统公司、花旗集团、谷歌公司、IBM、英特尔公司、摩根大通公司、微软公司、联合技术公司。所有投资组合均由6项风险资产组成。我们使用道琼斯指数来观察当前的马尔可夫状态，并估计转移概率矩阵。当指数的日波动率低于0.01时，我们将该日定义为低波动率，并将σii（1）=0.005（i=1,2，…，n）。鉴于指数的日波动率高于0.01，我们将该日定义为高波动率，并将σii（2）=0.02（i=1,2，…，n）。这些波动率值是通过分析真实的美国市场行为获得的。应该注意的是，美国市场的波动性低于俄罗斯市场。转移概率矩阵的估计为0.91 0.15.0.09 0.85P使用21天简单平均法估计预期收益。

我们将跟踪目标设定为每天返回0.1%（μ=0.001），ρ=0.1。其他参数与第一个示例中的相同。我们在图4-6中给出了典型的实验结果。在下图中，投资组合由风险资产组成：苹果公司、思科系统公司、卡特彼勒公司、谷歌公司、英特尔公司、联合技术公司。投资期为2011年6月7日至2013年10月20日。图4绘制了实际投资组合值和参考投资组合值。在图5中，我们投资了风险资产苹果（股份有限公司）。图6显示了道琼斯指数的每日回报率和马尔可夫链的估计状态。图4：。跟踪绩效（V–真实投资组合，V–参考投资组合）。图5：。资产配置决策（u–投资于苹果公司的金额）。图6：。每日D＆J回报和马尔可夫链状态。在第三组实验中，我们使用外汇市场上的货币对交易：美元/日元、欧元/日元、欧元/美元、美元/瑞士法郎、美元/德国马克、欧元/英镑、英镑/美元。货币之间进行交易。因此，每个货币对构成一个单独的交易产品。所有投资组合由5种货币对组成。我们使用欧元/美元对来观察当前的马尔可夫状态，并估计转移概率矩阵。当指数的每日波动率低于0.006时，我们将该日定义为低波动率，并将σii（1）=0.004（i=1,2，…，n）。当指数的日波动率高于0.006时，我们将该日定义为高波动率，并将σii（2）=0.008（i=1,2，…，n）。这些波动率值是通过分析真实的货币市场行为获得的。转移概率矩阵的估计值为0.91 0.16.0.09 0.84P使用21天简单平均法估计预期收益。

我们用参数βi=-1，（i=1，…，n），γi=5，（i=1，…，n+1）对跟踪portfolioproblem施加约束。请注意，外汇市场是独特的，因为相对利润率较低，利用高杠杆率来提高损益率以及账户规模。我们假设分数ci（i=1，…，n）等于0.0001（0.01%），ρ=0.2。我们将跟踪目标设定为每天返回0.15%（μ=0.0015），ρ=0.1。其他参数与第一个示例中的相同。我们在图7-9中给出了典型的实验结果。在下图中，投资组合由货币对组成：欧元/英镑、欧元/美元、美元/瑞士法郎、美元/日元、美元/德国马克。投资期限为2012年2月22日至2013年10月20日。图7绘制了实际投资组合值和参考投资组合值。在图8中，我们的投资货币为欧元/美元。图9显示了欧元/美元日收益率和马尔可夫链的估计状态。图7：。跟踪绩效（V–真实投资组合，V–参考投资组合）。图8：。资产配置决策（uis指以欧元/美元投资的金额）。图9：。每日欧元/美元收益和马尔可夫链状态。可以从上述示例中获得一些见解。重要的是要承认，在我们的实验中，我们使用相当简单的参数估计方法，跟踪性能似乎非常有效。所提出的MPC算法的一个主要优点在于，它似乎对输入模型的估计参数相当不敏感。我们的方法不需要严重依赖基于过去数据的参数估计；相反，它专注于试图捕捉跟踪期内市场的动态变化，并相应地采取行动。