(18) 根据牛顿二项式公式,方程式(13)中定义的标准变量Z的三阶和四阶矩如下所示,对于k∈ {3,4},uk=ESZk公司=νkkXj=0千焦ψ(j)(0)(-Rm,n(0))k-j、 式中ψ(0)(z)≡ ψ(Rm,n(0),V,0;z) ,带V≡ V(0),是方程(7)中以解析形式给出的矩母函数,其导数如下所示:ψ(1)=A(1)m+B(1)mV+Rm,n(0)ψ(0),ψ(2)=A(2)m+B(2)mVψ(0)+(ψ(1))ψ(0),ψ(3)=A(3)m+B(3)mVψ(0)+A(2)m+B(2)mVψ(1)+2ψ(2)ψ(1)ψ(0)-ψ(1)(ψ(0)),ψ(4)=A(4)m+B(4)mVψ(0)+ 2A(3)m+B(3)mVψ(1)+A(2)m+B(2)mVψ(2)+2ψ(3)ψ(1)ψ(0)+ψ(2)ψ(0)-5ψ(2)ψ(1)(ψ(0))+ψ(1)(ψ(0)),(19)其中,附录5.3.3.2掉期期权定价方程(17)和(18)中详细说明了映射和BM及其导数的计算,提出了允许通过考虑掉期远期利率分布的偏度和峰度来调整掉期期权定价Bachelier公式的附加条款。请注意,(18)中右侧的最后一项来自于埃奇沃思展开式中出现的与克夏勒展开式相比的额外数量,见等式(12)。对于这两个公式,可以检查任何偏斜度和峰度与正态分布相同的分布是否为u=u-3=0,使附加项消失。备注2。对于K=Rm,n(0)的at货币(ATM)交换选项,标准货币性zk为空,因此fp S(0,Rm,n(0))=√2πνBS(0)1.-u- 3.,andfP S(0,Rm,n(0))=√2πνBS(0)1.-u- 3.- u.这首先表明,即使是ATM掉期期权,调整后的掉期期权价格也与单身汉估值不匹配。此外,可以注意到,在这种情况下,GramCharlier价格并不取决于掉期利率的偏度,而Edgeworth价格则通过数量u来决定。现在我们陈述命题1的证明。证据1。
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