Hermite市场中的衍生品定价

因此，投资组合价值过程（税后）为      不再保证概率为正。瞬时税收控制着扣除税收后的价值过程为正的概率，     因此，投资组合的税后价值不再是Ceridito（2003）定义的风险消失的免费午餐。F"ollmer and Schied（2013）第5节中的示例成为一个特例   然后，上述概率变为   .14命题2：假设  仅由具有价格过程的风险证券组成的市场（2.12） 在具有（2.10）和（2.11）给出的成本约束的马尔可夫策略类中，相应的投资组合 由（2.9）定义，满足（2.13）  假设  满足  对一些人来说,  因此   .  然后  确定无风险资产 价格动态（2.14） 无风险利率考虑扩展市场, 并假设（2.9）、（2.10）和（2.11）保持不变。然后在马尔可夫策略类中没有套利，成本由（2.9）、（2.10）和（2.11）给出。命题2的证明：见附录A2.2.15，为了说明套利税的性质，我们将其应用于经典的BSM模型。

允许  是一个有价格过程的两种风险证券的市场 带（2.15） 哪里 是标准BM，生成随机基  考虑永久衍生工具，指定为, 采用价格流程 哪里.  假设交易者  持有空头头寸-合同此外’s复制投资组合 (2.16)              涉及（2.17）中给出的套利税   , 式中（2.18） 然后，简单的套期保值论证可参见以下PDE (2.19)              也就是说， 具有二阶连续导数。例如，见Duffie（2001年，第6章）。16 , 式中（2.20）.

PDE（2.19）是具有两项风险资产且无风险资产的市场中衍生工具的经典BSM-PDE，其中资产回报的瞬时方差随税收强度的增加而增加  特别是，如果  是具有价格过程的证券然后满足（2.19）当且仅当，         接下来，考虑到一个拥有无风险资产的市场 和风险资产 价格过程（2.21）S, 假设无风险资产的成本强度 是零，而风险资产的成本强度， 是.  考虑永久衍生工具 带价格流程. 然后 满足PDE 具有连续 和, 表示为17  (2.22)                    . 正如预期的那样，在对冲组合中引入成本会增加BSM方程的波动性。下一个例子表明，在有套利机会的扩散市场中，引入套利税将消除任何此类机会。

考虑一个具有两种风险资产的扩散市场： 价格过程：  价格过程： 允许 t是永久衍生工具 带价格流程 然后，标准复制参数导致以下PDF (2.23)                                 (2.24)                      考虑  带价格流程  然后  满足（2.23）和（2.24）当且仅当  此外  带价格流程,  是一种由自筹资金战略产生的永久性衍生产品18 然后考虑以下自筹资金投资组合：        因此 虽然 -a、 现在考虑同样的市场, 但假设套期保值可以用带有套利税的马尔可夫策略进行。那么，对于永续导数 带价格流程 允许 是一个带有套利税的马尔可夫策略，也就是说，  和  对于某些税收强度 和 然后, 满足PDE  19边界条件  暗示  因此  在带有套利税的马尔可夫策略类中没有套利机会。3.

具有分数随机漂移的混合HERMITE市场模型我们现在介绍混合HERMITE市场中风险资产的动力学。风险资产的动态应具有以下五个特征：  文献中提出的各种分数市场模型应作为特例包含在内。  该模型应导致一个没有套利机会的市场（至少在引入特定策略的套利税之后）。例如，见Cheridito（2001、2003）、Mishura（2008）和Kozachenko、Melnikov和Mishura（2014）。见Mishura和Valkeida（2002）、Mishura（2008）、Bender、Sottinen和Valkeida（2011）、Biagini等人（2008）、Kuznezov（1999）、Cheridito（2001、2003）、Z"ahle（1998、2002）和Rostek（2009）。与命题1和命题2的证明类似，另见Mishura（2008年，第5.1.4节），可以证明混合隐士市场与（i）无风险债券  价格过程（2.14）和（ii）风险资产 带价格流程    在马尔可夫策略类中没有套利机会。在本文中，我们通过考虑市场，对更一般的框架感兴趣. 忽略没有套利机会的埃尔米特市场有两个原因。第一个是20 回归过程应具有灵活的分布尾部行为：从高斯（细尾）分布到重尾非高斯分布。  平均回报过程应在时间上呈线性增长，以便与无风险债券的动态相比较。 该模型应具有足够的灵活性，以提供与实际资产数据的紧密拟合，同时仍然很节省。

我们将Hermite市场中的风险资产表示为 假设-动力学遵循（3.1）给出的混合几何埃尔米特过程     ,  和  成为独立于流程的标准BM  定义见（2.2）。这显著概括了LRD的现有市场模型。根据其公式和路径积分公式（A1.14），套利税的引入将具有套利机会的分形和扩散市场转变为无套利市场。第二，无论税收有多小，它的引入都会将有套利机会的埃尔米特市场转变为无套利市场。例如，见Mishura（2008）、Biagini等人（2008）、Rostek（2009）和Torres and Tudor（2009）。21  (3.2)              在（3.1）和（3.2）中，  是- 瞬时平均收益率； 是- 扩散波动性；  是- 分数随机漂移；这一术语是必需的，因为我们希望拥有无风险资产（债券），表示为 价格动态如果 一个简单的套利策略如下。考虑一个零利率的“纯”埃尔米特市场：   形成战略，  , 生成自筹资金的投资组合   清晰地 虽然-a、 s.Shiryayev（1998）为FBM提供了这个例子，.

请注意是股价的平滑函数只是，也就是说，它们是马尔可夫自筹资金策略。因为  和 具有重尾边际分布，当 增加，请参见 （附录A1中），然后是术语  在拟合真实数据时，增加了价格动态的灵活性。22 是- 分数波动率。作为我们选择的无风险资产 价格动态. 允许 成为具有价格动态的风险资产 GBM零漂后（3.3） 允许 具有混合几何埃尔米特过程的风险资产（3.4）  . 我们参考 和 作为混合Hermite市场的基本资产。我们将展示市场 允许存在套利机会，但如果包含套利税，则不存在此类机会。我们将只考虑自筹资金战略（SFS）这是马尔可夫型SFS，即生成马尔可夫型自筹资金投资组合（3.5） 其中，所有分形市场的研究，目标是将给定的无套利扩散市场模型扩展到在一定条件下可以无套利的分形市场。

市场 是一个例外：如果我们在（3.4）中设置 和替换 使用BM独立于, 市场 将有套利机会。23      具有一阶连续导数 和关于 提案3。在马尔可夫自筹资金策略类别中，满足（3.5）的相应投资组合也将满足PDE（3.6）   . 因此，市场 允许套利机会。证明：与命题1相似，省略。接下来，让我们假设埃尔米特市场中的交易马尔可夫策略是有代价的。因此，我们需要以下投资组合动态：（3.7）   嵌入式运行成本（3.8）  24 对一些人来说 提案4。  （3.7）和（3.8）证明：与命题2相似，省略了，在马尔可夫策略类中没有套利。结论在本文中，我们认为在研究分形市场时应遵循以下两个原则，例如Hermite市场的一般类。首先，在Hermite市场中，无风险资产动态不应被强加，而应作为构成Hermite市场的风险资产的永久衍生产品的价格过程。

其次，Hermite市场天生具有洞察力，因此可以对交易策略征收套利税。我们引入了一种专门设计的套利税，与对冲投资组合的速度成比例，这样无论它有多小，埃尔米特市场都不会有套利机会。我们还表明，即使在具有套利机会的扩散市场的经典情况下，引入这种新税也可以使这种扩散市场无套利。附录1：HERMITE运动作为市场不确定性模型25 HERMITE运动（HM）， 定义如下（A1.1）  哪里   对于给定的内核 定义如下（A1.2） 参见Taqqu（1979）、Dobrushin（1979）、Dobrushin和Major（1979）、Dehling和Taqqu（1989）、Lacey（1991）、Embrechts和Maejima（2002）、Lavancier（2006）、Maejima和Tudor（2007）、Chronopoulou（2008）、Tudor（2008）、Torres和Tudor（2009）、Pipiras和Taqqqu（2010）、Chronopoulou、Tudor和Viens（2011）、Tudor（2013）、Marty（2013）、Bai和Taqqqu（2014）、Sun和Cheng（2014）、Clausel等人（2014），福斯和都铎（2016）。积分被理解为多重维纳It^o积分，例如，参见Dobrushin（1979）、Nualart（2006）和Clausel et al.（2014）。对于每个给定的, 内核 对称且具有有限-标准： .

因此 是定义明确的流程。26 是赫斯特指数（自相似指数）； 是一个规格化常量，因此   是否定义了双面BMON 备选代表，由（A1.3）给出, 哪里 是一个规格化常量，因此 和 是由标准布朗运动生成的复杂随机测度。有关LRD工艺的广泛研究，请参见Samorodnitsky（2016）。, 和见Clausel等人。