非局部算子的障碍问题

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英文标题：
《Obstacle problems for nonlocal operators》
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作者：
Donatella Danielli, Arshak Petrosyan, and Camelia A. Pop
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We prove existence, uniqueness, and regularity of viscosity solutions to the stationary and evolution obstacle problems defined by a class of nonlocal operators that are not stable-like and may have supercritical drift. We give sufficient conditions on the coefficients of the operator to obtain H\\\"older and Lipschitz continuous solutions. The class of nonlocal operators that we consider include non-Gaussian asset price models widely used in mathematical finance, such as Variance Gamma Processes and Regular L\\\'evy Processes of Exponential type. In this context, the viscosity solutions that we analyze coincide with the prices of perpetual and finite expiry American options.
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中文摘要：
我们证明了由一类非局部算子定义的平稳和演化障碍问题的粘性解的存在性、唯一性和正则性，这些算子不稳定，可能具有超临界漂移。我们给出了算子系数的充分条件，以获得H\\“older和Lipschitz连续解。我们考虑的非局部算子类包括在数学金融中广泛使用的非高斯资产价格模型，如方差Gamma过程和指数型正则L趵evy过程。在这种情况下，我们分析的粘性解与永久和有限到期美式期权的价格一致。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Quantitative Conservation coefficients Applications

非局部算子Donatella DANIELLI、ARSHAK PETROSYAN和CAMELIA A.POPAbstract的障碍问题。我们证明了由一类非局部算子定义的平稳和演化障碍问题的粘性解的存在性、唯一性和正则性，这些算子不稳定，可能具有超临界漂移。我们给出了算子系数的充分条件，以得到H¨older和Lipschitz连续解。我们考虑的非局部算子类别包括数学金融中广泛使用的非高斯资产价格模型，如方差Gamma过程和指数型正则L'evy过程。在这种情况下，我们分析的粘度解与永久和无限期美国期权的价格一致。1、简介我们考虑的非局部算子是强马尔可夫过程的微元生成器，它是s-tochastic方程的解，其形式为：dX（t）=b（X（t-)) dt+ZRn{O}F（（X（t- ), y） eN（dt，dy）， t>0，（1.1），其中O表示Rn中的原点，eN（dt，dy）是一个补偿泊松随机测度，具有L'evymeasureν（dy），并且假设等式（1.1）中出现的系数b（x）和F（x，y）满足：假设1.1（系数）。存在一个正常数K，使得：1。对于所有x，x，x∈ Rn，我们有thatZRn{O}| F（x，y）- F（x，y）| dν（y）≤ K | x- x |，（1.2）supz∈B | y | | F（x，z）|≤ ρ（y）， x、 y型∈ Rn，andZRn \\{O}（| y |∨ ρ（y））ν（dy）≤ K、 （1.3）式中ρ：Rn→ [0, ∞) 是一个可测量的函数。2、系数b:Rn→ Rnis有界且Lipschitz连续，即b∈ C0,1（Rn）。让(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是满足通常假设的过滤概率空间，[11，§I.1]，支持泊松随机测度N（dt，dy），L'evy测度ν（dy）。

假设1.1和[11，定理V.3.6]确保，对于任何初始条件Xx（0）=x∈ Rn，随机方程（1.1）允许一个唯一的强解{Xx（t）}t≥0右连续体日期：2017年10月3日0:24.2010数学科目分类。初级35R35；第二个ary 60G51、91G80。关键词和短语。障碍问题，非局部算子，列维过程，美式运算，粘性解，存在唯一性。2 D.DANIELLI、A.PETROSYAN和C.A.P OPand left limits（RCLL）路径A.s。。此外，根据【11，定理V.6.32】*因此，过程{Xx（t）}t≥0满足强马尔可夫特性。因此，马尔可夫过程{Xx（t）}t≥0的完全特征是它的微型生成器，由非局部运算符Lu（x）：=b（x）给出·u（x）+ZRn \\{O}（u（x+F（x，y））- u（x）- u（x）·F（x，y））ν（dy），（1.4）对于所有u∈ C∞c（Rn）。我们的目标是研究与算子相关的平稳和演化障碍问题的粘性解的存在性、唯一性和正则性。1.1. 静止障碍物问题。在本节中，我们陈述了与非局部算子L，min定义的平稳障碍问题的粘性解的存在性、唯一性和正则性相关的结果{-Lv+cv- f、 五- ν}=0，在Rn上，（1.5），其中c:Rn→ R是零阶项，f:Rn→ R是源函数，且Д：Rn→ Ris障碍物功能。对于平稳情况下的存在结果，我们还将假设跳跃大小F（x，y）不依赖于状态变量，即F（x，y）=y， x、 y型∈ 注册护士。（1.6）T表示适应过滤{Ft}T的P-a.s.有限公司顶部时间集≥0

障碍问题（1.5）的解是使用随机表示公式：v（x）：=sup{v（x；τ）：τ构造的∈ T}，（1.7），其中表示v（x；τ）：=Ee-Rτc（Xx（s））dsД（Xx（τ））+Zτe-Rtc（Xx（s））dsf（Xx（t））dt, （1.8）其中{Xx（t）}t≥0是初始条件xx（0）=x的随机方程（1.1）的唯一解，对于所有x∈ 注册护士。我们首先陈述命题1.2（值函数的正则性）。假设假设假设1.1和条件（1.6）成立。设c，Д，f:Rn→ R是有界Lipschitz连续函数，并假设有一个正常数c，其性质为c（x）≥ c> 0， x个∈ 注册护士。（1.9）然后保持以下状态：（i）（H–older连续性）有一个常数，α=α（[b]C0,1（Rn），c）∈ （0，1），使得（1.7）中定义的值函数v属于Cα（Rn）。（ii）（Lipschitz连续性）如果我们还有≥ [b] C0,1（Rn），（1.10）那么（1.7）中的值函数v属于C0,1（Rn）。*【11，定理V.6.32】适用于b≡ 在随机方程（1.1）中为0，但正如我们在假设1.1中所假设的那样，不难看出证明立即结束于Lipschitz连续漂移系数b（x）的情况。非局部运算符的障碍问题3De定义1.3（粘度解决方案）。让v∈ C（Rn）。我们说v是静止障碍问题（1.5）的粘性亚解（上解），如果，对于所有的u∈ C（Rn）使得v- u在x处具有全局最大值（最小值）∈ Rnand u（x）=v（x），然后最小{-Lu（x）+c（x）u（x）- f（x），u（x）- ^1（x）}≤ (≥) 0。（1.11）我们说v是方程（1.5）的粘度解，如果它既是次解又是s超解。定理1.4（粘性解的存在性）。假设命题1.2的假设成立，thatZRn \\{O}| y | 2αν（dy）<∞ （1.12）其中α∈ （0，1）是命题1.2（i）中出现的常数。

（1.7）中定义的v值函数vde是静态障碍问题（1.5）的粘度解。定理1.5（v粘性解的唯一性）。假设假设1.1成立，c、f、Д属于c（Rn），c满足条件（1.9）。如果固定障碍问题（1.5）有aviscosity解，那么它是唯一的。备注1.6（零阶项c（x）的条件（1.9））。定理1.5中的条件（1.9）可以替换为限制性较小的假设，即c（x）是Rnandlim sup | x上的正函数|→∞|x | c（x）=0。(1.13)1.2. 进化障碍问题。接下来，我们考虑非局部算子L定义的演化障碍问题的粘性解的存在性、唯一性和正则性问题，最小值{-及物动词- Lv+cv- f、 五- ν}=0，on[0，T）×Rn，v（T，·）=g，on Rn，（1.14），其中我们假设兼容性假设g≥ И（T，·）在Rn上。（1.15）设ttt表示停车时间τ的集合∈ T受T约束，对于所有T≥ 用随机表示公式v（t，x）：=sup{v（t，x；τ）：τ构造问题（1.14）的0.S解∈ TT-t} ，（1.16）式中，我们定义（t，x；τ）：=Ehe-Rτc（t+s，Xx（s））dsИ（t+τ，Xx（τ））1{τ<t-t} i+Ehe-Rτc（t+s，Xx（s））dsg（Xx（t- t） ）1{τ=t-t} i+EZτe-Rsc（t+r，Xx（r））drf（t+s，Xx（s））ds,（1.17）对于所有（t，x）∈ [0，T]×∈ 注册护士。价值函数v（t，x）满足：命题1.7（价值函数的正则性）。除了假设1.1假设c、Д、f属于C0,1（[0，T]×Rn），最终条件g位于C0,1（Rn），相容性条件（1.15）成立。那么（1.16）中定义的值函数v属于CtC0,1x（[0，T]×Rn）。接下来，我们定义了演化障碍问题（1.14）的粘度解的概念，将方程（1.5）的稳态类似物的概念进行了扩展，类似于【7，§8】：4 D.DANIELLI、a.PETROSYAN和C.a.P OPDe定义1.8（粘度解）。

让v∈ C（Rn）。我们说v是演化障碍问题（1.14）的粘性亚解（上解）ifv（T，·）≤ (≥)g、 （1.18）和∈ CtCx（[0，T]×Rn），使u- v在（t，x）处具有全局最大值（min）∈ [0，T）×r和u（T，x）=v（T，x），我们有{-ut（t，x）- Lu（t，x）+c（t，x）u（t，x）- f（t，x），u（t，x）- ^1（t，x）}≤ (≥) 0。（1.19）我们说v是方程（1.14）的粘性解，如果它既是次解又是上解。定理1.9（粘性解的存在性）。假设命题1.7的假设成立。（1.16）中定义的值函数v是演化障碍问题（1.14）的粘性解。备注1.10（进化与平稳情况下的假设）。我们注意到，在进化障碍问题的情况下，我们允许跳跃大小F（x，y）取决于空间变量x，与静止障碍问题的假设（1.6）相反。我们还注意到，我们不要求条件（1.12）在定理1.9的陈述中保持不变。我们能够消除这个条件，因为在进化论的情况下，命题1.7表明，值函数在空间变量中是Lipschitz连续的，而在平稳的情况下，我们在命题1.2中证明了值函数是α-H¨older连续的。定理1.11（粘度解的唯一性）。假设满足假设1.1，G到C（Rn）、C、f、Д的长度在C（[0，T]×Rn）中，相容性条件（1.15）成立，并且→（x，y）=0， x个∈ 注册护士。（1.20）如果障碍问题（1.14）有一个解决方案，那么它是唯一的。1.3. 数学金融应用。在数学金融中，形式（1.7）和（1.16）的随机表示分别具有美式永久期权和固定探索期权价格的含义。

为了进行这种对应，在进化障碍问题（1.14）中，我们设置了g≡ ^1，f≡ 0，我们选择障碍函数Д仅依赖于空间变量x，并与美式期权的支付相一致。此外，我们假设n=1，零阶项c≡ r>0，其中r是无风险利率，资产定价过程可以写成形式S（t）=eX（t），其中{X（t）}t≥0求解随机方程（1.1）。最重要的是，我们需要确保贴现资产价格过程{e-rtS（t）}t≥0是为了获得无套利市场的鞅。由于包含由非泊松过程的不连续L'evy过程驱动的资产价格的市场是不完整的，因此使用资产价格分布给出的无风险概率度量来选择定价期权的动机需要仔细考虑。然而，我们在论文中没有讨论这个问题，但有关这个问题的更多讨论，请参见[2，§1.3.4]和[6，第9章]。假设{X（t）}t≥0是一个满足随机方程的一维L'evy过程：dX（t）=b dt+ZRnyeN（dt，dy）， t>0，（1.21），其中b是一个实常数，而en（dt，dy）是一个带L'evymeasureν（dy）的补偿泊松随机测度。利用[1，定理5.2.4和推论5.2.2]为非局部算子5保证障碍问题的一个有效条件，即贴现资产定价过程{-rt+X（t）}t≥0是鞅：Z | x|≥1exν（dx）<∞,-r+ψ(-i） =0，（1.22），其中ψ（ξ）den otes是L'evy过程{X（t）}t的特征指数≥0，即ψ（ξ）=ibξ+ZR \\{0}（eixξ- 1.- ixξ）ν（dx）。（1.23）我们的结果适用于数学金融的例子包括方差GammaProcess[9]和指数型正则L'evy过程（RLPE）[2]。1.3.1. 方差伽马过程。

在[5，恒等式（6）]之后，方差Gamma过程{X（t）}t≥0参数ν、σ和θ的L'evy度量由ν（dx）=ν| x给出|e-|x |ηp{x>0}+e-|x |ηn{x<0}dx，其中ηp>ηnare是方程x的根-θνx-σν/2=0，ν、σ、θ为正常数。根据[5，恒等式（4）]，我们得到了具有常数漂移的方差Gamma过程的特征指数b∈ R、 {X（t）+bt}t≥0，表达式为：ψVG（ξ）=νln1.- iθνξ+σνξ+ ibξ， ξ ∈ R、 所以{X（t）+bt}t的最小生成元≥0由l=νln（1）给出- θν -σ) + b类·,它是一个伪微分算子的和，在任何s>0的情况下，它的阶数小于th，而在任何s>0的情况下，它的阶数为1。当ηp<1且r=ψV G时(-i） +，满足条件（1.22），贴现资产价格过程{e-rt+X（t）}t≥0是鞅。因此，将§1.1和§1.2中的结果应用于方差伽马过程{X（t）}t≥0对于常数漂移b，我们以永久无限到期美式期权的价格获得th，空间变量中的Lipschitz Payoff和Lipschitz Payoff是Lipschitz函数。考虑到最小生成元L的非局部分量的阶数小于任何s>0，这可能是我们所期望的最优解的正则性。1.3.2. 指数型正则L'evy过程。遵循【2，第3章】，f或p参数λ-<0<λ+，则称L'evy过程为指数型[λ-, λ+]如果它有一个L'evy度量ν（dx），使得z-1.-∞e-λ+xν（dx）+Z∞e-λ-xν（dx）<∞.非高斯L'evy过程被称为指数型R'evy过程[λ-, λ+]和ν阶，如果它具有指数型[λ-, λ+]且在零的邻域中，L'evy度量可以表示为ν（dx）=f（x）dx，其中f（x）满足'f（x）的性质- c | x|-ν-1| ≤ C | x|-ν′-1. |x |≤ 1，+r>0且r=ψV G(-i） 意味着1+θν-σν是一个正常数，漂移b满足不等式b>-νln1 + θν -σν.6天。

DANIELLI、A.PETROSYAN和C.A.P OPfor常数ν′<ν、C>0和C>0。我们的结果适用于RLPE型[λ-, λ+]，当我们选择p参数λ时-≤ -1和λ+≥ 1.RLPE的类别包括[5]中介绍的CGMY/KoBoL过程。遵循[5，方程式（7）]，CGMY/KoBoL过程的特征是形式为ν（dx）=C | x | 1+Y的L'evy度量e-G | x |{x<0}+e-M | x |{x>0}dx，其中参数C>0，G，M≥ 0，Y<2。当我们选择参数M>1和d Y<2，或M=1和0<Y<2§，我们的结果适用于C GMY/kobol过程。我们注意到，[2，定理5.4，第133页]中提供了一个关于L'evy测度的有效条件，以确保永久美国看跌期权价格是L ipschitz连续的，但不是连续可微的。然而，条件是L'evy过程特征指数的维纳-霍普夫分解，很难找到一个具体的例子。1.4. 与以往研究的比较。在【10】中，作者建立了由一般列维过程驱动的股票的永久美国看涨期权和看跌期权的封闭式价格公式，分别根据su溢价分布和过程的上限分布。在[3，2]中，作者在独立型正则L'evy过程的框架下，通过过程的上确界和下确界的维纳-霍普夫分解方法分布，得到了永久美式看涨期权价格的闭式公式。

与[10，3，2]相比，在我们的工作中，我们允许使用更一般的支付函数，我们研究了永久和到期美式期权，以及期权价格的规律性。我们的结果适用于可能不是L'evy过程的多维马尔可夫过程，但当限制于L'evy过程的类别时，我们既允许比[10]中更严格的族，也允许比[3，2]中更一般的族。在障碍问题中最常研究的非局部算子是稳定的，如[4]。然而，在数学金融应用中经常出现的非局部运算符并不是这种形式，在我们的工作中，我们包括了§1.3中所述的与该领域相关的运算符。正如§1.3.1中方差伽马过程的情况所示，它们的分析性质似乎非常不同，我们使用概率解和粘度解的参数证明了解的正则性。我们在定理1.4中建立的非局部算子子类的等时解的Lipschitz正则性，如[2，定理5.4，第133页]所证明。1.5. 论文的结构。我们分别证明了§2和§3引言中所述的主要结果。除了这些结果之外，我们首先在静态情况下分别在引理2.1和定理2.2中验证了动态编程原理和比较原理。在定理1.4的证明中，我们使用动态规划原理来确定粘性解的存在性，而在定理1.5的证明中，我们使用比较原理来确定平稳障碍问题（1.5）的解的唯一性。在引理3.2和定理3.3中分别得到了演化情形的类似结果。在§1.6中，我们描述了我们在整个文件中使用的符号和约定。1.6. 符号让U Rnbe一套。