针对一致性风险措施的多币种准备金

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英文标题：
《Multi-currency reserving for coherent risk measures》
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作者：
Saul Jacka, Seb Armstrong and Abdel Berkaoui
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We examine the problem of dynamic reserving for risk in multiple currencies under a general coherent risk measure. The reserver requires to hedge risk in a time-consistent manner by trading in baskets of currencies. We show that reserving portfolios in multiple currencies $\\mathbf{V}$ are time-consistent when (and only when) a generalisation of Delbaen\'s m-stability condition \\cite{D06}, termed optional $\\V$-m-stability, holds. We prove a version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing in this context. We show that this problem is equivalent to dynamic trading across baskets of currencies (rather than just pairwise trades) in a market with proportional transaction costs and with a frictionless final period.
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中文摘要：
我们研究了在一般一致风险测度下，多币种的动态风险准备金问题。reserver要求通过一篮子货币进行交易，以时间一致的方式对冲风险。我们表明，当（且仅当）Delbaen的m-稳定条件的推广（称为可选的$\\V$-m-稳定）成立时，以多种货币计的储备投资组合$\\mathbf{V}$是时间一致的。在此背景下，我们证明了资产定价基本定理的一个版本。我们证明，这个问题相当于在具有比例交易成本和无摩擦最终期的市场中跨一揽子货币的动态交易（而不仅仅是成对交易）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Multi-currency_reserving_for_coherent_risk_measures.pdf (298.88 KB)

2022-6-2 17:22:05 上传

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关键词：一致性 准备金 Mathematical Quantitative proportional

针对一致性风险度量的多币种准备金*1,2，Seb Armstrong+1和Abdelkarem Berkaoui3华威大学图灵研究所穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学2018年9月19日摘要我们研究了在一般一致风险度量下，多种货币的动态风险准备金问题。reserver要求以时间一致的方式，通过买入现金来对冲风险。我们表明，当（且仅当）Delbaen的m-稳定性条件[5]的推广称为可选V-m稳定性时，以多种货币储备投资组合V是时间一致的。在此背景下，我们证明了资产定价基本定理的一个版本。我们认为，这个问题相当于在一个交易成本成比例且最终期限无摩擦的市场中，跨一揽子货币的动态交易（而不仅仅是成对交易）。1简介【1】中介绍了一致性风险度量（CRM）。一个重要的例子是基于芝加哥商品交易所的保证金要求。Ba sel III允许使用平均值atRisk（一种连贯的风险度量，不同于广泛使用的风险价值（VaR）度量，它不连贯），为某些基于衍生品的负债保留风险资本[14]。许多金融机构出于监管或其他原因测试其准备金，而连贯风险度量的动态版本正是这一过程的模型。在[8]中，我们概述了一种基于CRM的风险准备金方法。正如反复指出的那样，使用CRM的潜在缺点是时间一致性问题（参见示例[2]和其中的参考文献）：人们可以将time-t准备金视为一种负债，在稍后的时间t支付，其本身就是一种负债，在时间t支付。

这一系列版本表明（例如），实施CRM中隐含的准备金要求的监管机构实际上需要一系列准备金ρt（X）——在准备金被审计的每个时间点一个——用于负债X，因此可以认为，实际上需要一个初始准备金ρo · · · o ρT-1（X）。Delbaen[5]给出了一个必要且有效的条件，称为乘法稳定性（此后称为m-稳定性），使后一个量等于ρ（X），这通常不成立，尽管不等式ρo · · · o ρT-1（X）≥ ρ（X）*Saul D.Jacka非常感谢EPSRC赠款EP/P00377X/1提供的资金，也非常感谢图灵研究所在EPSRC赠款EP/N510129/1下提供的财政支持。电子邮件：s.d。jacka@warwick.ac.ukDepartment英国华威考文垂统计大学CV4 7AL+Seb Armstrong感谢EPSRC博士培训合作计划/M508184/1提供的资金。电子邮件：s。armstrong@warwick.ac.ukDepartment英国华威考文垂大学统计学院CV4 7AL电子邮件：berkaoui@yahoo.frCollege科学伊玛目穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学。O、 84880号信箱，利雅得11681沙特阿拉伯。特别是，Ris k的平均值或尾值（也称为预期差额）通常不具有时间一致性。在CRM的背景下，通常会将资产和负债折现为时间价值。由于客户关系管理是对t时应付金额的货币风险度量，我们认为可以明确地认为，负债是以t时单位表示的，因此在0时，风险或准备金是以t时应付的零息债券（或货币）单位表示的。

当然，一旦采用这种方法，很明显，我们的资产组合不仅需要对应于会计单位，我们还应该考虑持有多种货币或资产以履行其服务功能的可能性。在[8]中，我们展示了多个货币如何允许时间一致性的扩展版本：可预测的V时间一致性。我们设想了一套编号为0、1、…、，d随机终值V=（V，V，…，vd）（以区分的计算单位给出），并给出了时间一致的多as集合对任何特定CRM有效的必要条件和有效条件（见[8]的定理2.15）。CRM的例子包括不完全无摩擦市场中的超高价格和（正如我们所看到的）具有比例交易成本的市场中的最小捐赠。在本文中，我们考虑了一种更强大的多资产时间一致性，它对应于明确调整投资组合（因此似乎适用于可能交易作为储备持有的资产的情况），这两种情况都包括在内。我们将此版本称为optionaltime一致性，并将其视为许多情况下的适当设置，包括上面提到的情况。我们将给出必要且充分的条件，使A，与CRM相对应的可接受索赔锥ρ，可以表示为在时间t时可接受的基础as集合中交易的总和（在适当的顶部理论中的闭包）（定理3.13）。然后，我们将展示在这种情况下，我们获得了CRM资产定价基本定理的一个版本（Theorem4.5）。

最后，在理论em 6.1中，我们将展示可选的时间一致的CRM与由Jouini和Kallal【10】引入的、由Cvitanicand Karatzas【4】、Kabanov【11】开发的按比例交易成本进行交易的模型的推广（对应于允许的一揽子资产交易）之间的等价性，卡巴诺夫（Kabanov）和斯特里克（Stricker）（见[13]），Schachermayer（见[15]）和Jacka、Berkaoui和Warren（见[9]）等进一步研究。有关最新进展，请参见Bielecki、Cialenco和Rodriguez【3】及其调查报告【2】。2预备保险人通过投资适当谨慎且流动性充足的资产（通常为债券）或任何其他普遍同意始终持有正值的资产，为未来金融风险储备。我们称之为资产数量（assetsnum\'eraires），例如货币等纸面资产和实物商品。储备充足的金额可确保保险人承担的风险为保险人和（可能）监管机构、客户及其代理人所接受。在某些情况下，可以清楚地选择纳米线；在其他国家，情况并非如此，例如当保险公司为多种货币的索赔保留准备金时。在悲观或“worstrealistic”情况下，通常通过“谨慎”计算预期值来计算储量。我们假设形成准备金的最低金额由共同租金风险度量（CRM）建模；有关CRM的介绍，请参见[7]。我们假设有编号为（0，…，d）的有限数量的可用性。我们通过在离散时间T=0，1，…，调整以“货币”为单位持有的储备投资组合，研究了在终端时间T为风险储备的问题，T数值（计算单位）的终值表示为V=（V，V。

，vd），我们假设每个Vi都是一个严格正的、可测量的、bo-unded rando m变量，V的欧几里德范数为0。因此，为了对V中元素的任何投资组合Y进行估值，我们取内积Y·V，相反，任何有界X都可以用Y有界的形式Y·V来表示。我们将投资组合Y视为在终端时间T时的负债Y·V。一致性风险度量是一种储备机制：我们假设一个被保险人r在每个时间t根据一个条件一致性风险度量ρt储备风险。他们为一个随机索赔X储备金额ρt（X）。因此，持有风险索赔X并适当储备的总位置应该始终是保险人可以接受的。时间t的可接受索赔集合由具有非正ρt的可测有界随机变量组成。我们可以说，对于索赔X ifX，时间t上的订单组合y保留了时间t- Yt·V∈ 在2.1注释We fix a terminal time T∈ N、 离散时间集T：={0，1，…，T}。我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P是参考度量或客观度量。过滤（Ft）t∈t描述每个时间点可用的信息。所有F-可测随机变量的空间表示为DL=L(Ohm, F、 P）；我们表示L(Ohm, 所有P-可积（分别为P-本质边界）Ft-可测随机变量的空间为Lt（分别为L∞t） 。Ft可测（分别可积；本质有界）Rd+1值随机变量的空间表示为Lt=L(Ohm, Ft，P；Rd+1）（分别为Lt；L∞t） 。下标“+”表示空间的正正序，“++”表示严格正性；例如，非负（分别为严格正）本质上有界的随机变量集isL∞+（分别为∞++).

类似地，下标“-”表示空间的负正切。2.2定义和众所周知的结果我们回顾了一些定义和概念。每次t∈ T、 我们希望利用当时可用的所有信息对货币风险进行定价。以下定义改编自【6】：定义2.1。A映射ρt:L∞→ L∞t对于t∈ T是一个条件凸风险测度，如果对于所有X，Y∈ L∞,它具有以下属性：o条件现金不变性：对于所有m∈ L∞t、 ρt（X+m）=ρt（X）+m P-几乎肯定；o单调性：如果X≤ Y P-几乎肯定，然后ρt（X）≤ ρt（Y）；o条件凸性：对于所有λ∈ L∞twith 0≤ λ ≤ 1，ρt（λX+（1- λ） Y）≤ λρt（X）+（1- λ） ρt（Y）P-几乎可以肯定；o归一化：ρt（0）=0 P-几乎可以肯定。此外，如果条件凸风险度量也满足o条件正同质性：对于所有λ∈ L∞twithλ≥ 0，ρt（λX）=λρt（X）P-几乎可以肯定。我们的兴趣主要在于负债的储备和定价。我们将正随机变量X视为要对冲的负债，将负X视为信贷，这解释了我们在现金不变性方面的（非传统）选择，以及单调性的方向。定义2.2。对于任何有界序列（Xn）n，凸风险度量满足Fatou性质≥1.L∞收敛到X∈ L∞在概率中，我们有ρt（X）≤ lim信息→∞ρt（Xn）。Fatou性质等价于从上到下的连续性：ρtis continuous fr om over if，where（Xn）n≥1. L∞非累加序列的Xn→ X P-a.s.，然后ρt（Xn）→ ρt（X）P-a.s.作为n→ ∞如[1]所示，只要Fatou属性成立，我们就可以表示ρtasρt（X）=ess supQ∈QEQ【X | Ft】。概率测度Q的表示集由P支配，即Q<< P表示任意Q∈ Q

在本节和后续章节中，我们确定了集合Q的概率测度Q及其RadonNikodym导数，或密度，关于P，dQdP。我们相信，将从上下文中清楚使用哪个版本。我们还将通过∧qq来说明Q的密度，并通过∧Qt来说明Q对ftq的限制密度。回想一下，得到的过程是一个P-鞅。条件凸定价测度ρt:L的时间t接受集∞→ L∞tisAt={X∈ L∞: ρt（X）≤ 0}.对于以下结果，我们将读者转到[7]和[6]。我们装备空间L∞和弱者在一起*拓扑σ（L∞, 五十） 因此拓扑对偶将是L。当一组C的索赔是无套利的∩ L∞+ {0}，或者更准确地说是C∩ L∞+ {[0]}，其中[0]表示几乎肯定等于0的随机变量的等价类。提案2.3。定义（At）0≤t型≤t是动态条件相干pricingmeasu reρt:L的接受集∞→ L∞t满足Fatou属性并设置A=A。则A为弱*-闭凸锥在有界正可测随机变量相乘下是稳定的，包含∞-, 而且是无套利的。备注2.4。通常，在支付流（Xt）0上定义动态条件一致性风险度量≤t型≤T、 然而，将参考度量P扩展为概率度量的标准技巧Ohm ×{0，…T}使我们能够将我们的研究简化为单一支付案例（有关如何实现这一点的更多详细信息，请参见[8]第3.3节）。3可选表示和多币种时间一致性3.1时间一致性为索赔X投保的保险人需要持有一系列投资组合Y、Y、，YT（每个时间点一个，在该时间点上，准备金计算将进行ma de），以便风险得到充分的预留，并且在任何一次投资组合交换中都不会假设不可接受的风险。

也就是说，在可选的情况下，从时间t开始- 1直到时间t之前，保险人持有保单-1.∈ L∞（英尺-1） 该数字为X的可接受储备，并希望兑换成新的储备组合Yt。只有在调整风险可接受的情况下，即ρt（Yt·V），保险人才可转换为新的投资组合yti- 年初至今-1·V）≤ 因此，所有的风险转移都会在时间t瞬间发生（我们将在第6节中看到，与交易设置的分析并非巧合）。这与[8]中提出的可预测的情况形成了对比，其中的想法是时间-（t-1） 准备金是时间t所需的hedging投资组合的充足准备金。在可预测的情况下，可接受的风险在时间点t之间进行- 1和t，而在可选情况下，需要在时间t进行已知数量的明确交换，以更新储备组合。我们应该说，如果该属性从初始储备ρ（X）开始（至少在限制意义上）适用于每个索赔X，则动态风险度量是（可选）V时间一致的。定义3.1。动态凸风险测度ρ=（ρt）t=0，。。。，对于任何X，可选V时间一致if∈ A、 我们可以找到序列xnina和序列πn=（πnt）t=0，。。。，T-1这样πnt∈ L∞（Ft）和（i）Xn→ X几乎肯定（1）（ii）对于each t，ρt（πnt·V）≤ 每年0英镑。；在L中∞, i、 e.，Atis在拓扑σ（L）中闭合∞t、 Lt）（iii）对于ea ch n∈ N、 T型-1Xt=0πnt·V=XnP几乎可以肯定。备注3。2、通过子序列性质，我们可以用Lw中的收敛代替（1）中几乎确定的收敛，而不影响定义。我们认为tπntas是在时间t为概率Xn保留的储备。3.2索赔的可代表性我们可以将可选的V时间一致性视为投资组合序列的一个条件，该组合可以使索赔X更具优势。

给定一个V时间一致的动态CRM（ρt），我们可以（至少在极限意义上）将X表示为初始储量ρ（X）和（t+1）调整值在0，1。T（此处设置Y-1是L中ρ（Y.V）=ρ（X）的任何向量，例如ρ（X）ρ（V.1）1:X=ρ（X）+TXt=0（Yt- 年初至今-1） ·V，其中每次调整满足ρt（（Yt- 年初至今-1） ·V）≤ 0、每次调整Yt- 年初至今-1是具有t-可接受估值的Ft可测量投资组合；我们称这种投资组合的集合为Kt（A，V）。我们试图回答以下问题：“我是否有可能通过一系列此类调整来代表A中的每项索赔？”给定L中的任意圆锥体D∞和我们的数量向量V，我们定义了将D附着到床上的portfoliosattaining D的集合（V）={Y∈ L∞: Y·V∈ D} 。Ft可测量的时间t可接受投资组合集表示为dkt（A，V）：=At（V）∩ L∞（英尺）。（2） 定义3.3。L中的圆锥体A∞被称为可选的V代表性ifA（V）=⊕Tt=0Kt（A，V），（3），其中在弱*拓扑结构。如果是这种情况，我们还说A由V可选表示。当V固定时，如果（3）成立，我们还说A（V）可选表示。备注3.4。这是一个简单的练习，可以证明kt（A，V）={X∈ L∞（Ft，Rd+1）：αX∈ A表示任意α∈ L∞+（英尺）}。（4） 在接下来的内容和定理3.18的证明中，重复使用了该特征。从现在起，在没有歧义的情况下，我们将为Kt（A，V）3.3稳定性编写Kt。我们在标准随机基础上回顾Delbaen的m-稳定性条件(Ohm, F、 （Ft）t=0，。。。，T、 P）：定义3.5（Delbaen[5]）。一组概率测度Q L(Ohm, F、 P）对于elementsQ，Q是m-稳定的∈ Q、 关联密度鞅∧Qt=EhdQdPFtiand∧Qt=EhdQdPFti，对于每个停止时间τ，定义为lt的鞅=∧t的QT≤ t的τ∧Qτ∧Qτ∧qt≥ τ在Q中定义元素Q。