关于贝叶斯控制图的注记

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英文标题：
《Remarks on Bayesian Control Charts》
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作者：
Amir Ahmadi-Javid and Mohsen Ebadi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  There is a considerable amount of ongoing research on the use of Bayesian control charts for detecting a shift from a good quality distribution to a bad quality distribution in univariate and multivariate processes. It is widely claimed that Bayesian control charts are economically optimal; see, for example, Calabrese (1995) [Bayesian process control for attributes. Management Science, DOI: 10.1287/mnsc.41.4.637] and Makis (2008) [Multivariate Bayesian control chart. Operations Research, DOI: 10.1287/opre.1070.0495]. Some researchers also generalize the optimality of controls defined based on posterior probabilities to the class of partially observable Markov decision processes. This note points out that the existing Bayesian control charts cannot generally be optimal because many years ago an analytical counterexample was provided by Taylor (1965) [Markovian sequential replacement processes. The Annals of Mathematical Statistics, DOI: 10.1214/aoms/1177699796].
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中文摘要：
在单变量和多变量过程中，有大量正在进行的关于使用贝叶斯控制图来检测从良好质量分布到不良质量分布的转变的研究。人们普遍认为，贝叶斯控制图是经济最优的；例如，参见Calabrese（1995）【属性的贝叶斯过程控制。管理科学，DOI:10.1287/mnsc.41.4.637】和Makis（2008）【多元贝叶斯控制图。运筹学，DOI:10.1287/opre.1070.0495】。一些研究人员还将基于后验概率定义的控制的最优性推广到一类部分可观测的马尔可夫决策过程。本说明指出，现有的贝叶斯控制图通常不可能是最优的，因为多年前泰勒（1965）提供了一个分析反例。[马尔可夫序列替换过程。数理统计年鉴，DOI:10.1214/aoms/1177699796]。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Remarks_on_Bayesian_Control_Charts.pdf (511.51 KB)

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关键词：贝叶斯 控制图 Applications Mathematical distribution

关于贝叶斯控制图的评论Samir Ahmadi Javid+*和Mohsen Ebadi+++伊朗德黑兰阿米尔卡比尔理工大学工业工程系*通讯作者；电子邮件地址：ahmadi_javid@aut.ac.irarXive：2017年12月18日摘要。在单变量和多变量过程中，有大量正在进行的关于使用贝叶斯控制图来检测从良好质量分布到不良质量分布的转变的研究。人们普遍认为，贝叶斯控制图是经济最优的；例如，参见Calabrese（1995）【属性的贝叶斯过程控制。管理科学，DOI:10.1287/mnsc.41.4.637】和Makis（2008）【多元贝叶斯控制图。运营研究，DOI:10.1287/opre.1070.0495】。一些研究人员还将基于后验概率定义的控制最优性推广到一类部分可观测的马尔可夫决策过程。本说明指出，现有的贝叶斯控制图通常不能是最优的，因为多年前泰勒（1965）提供了一个分析反例。[马尔可夫序贯替换过程。数理统计年鉴，DOI:10.1214/aoms/1177699796]。关键词：贝叶斯控制图，经济设计，部分可观测马尔可夫决策过程（POMDP），随机最优控制，后验概率。简介由Girshick和Rubin（1952）提出的贝叶斯控制图在文献中并不新鲜，其经济设计在过去二十年中受到了越来越多的关注（见Tagaras和Nikolaidis（2002），Nikolaidis和Tagaras（2017），以及其中的参考文献）。Girshick和Rubin（1952）首次讨论了贝叶斯图的最优性。

他们只考虑了离散时间生产系统的一个特例，该系统在离散时间生产，并进行了100%的检验（检验成本忽略不计）。对于这一特殊设置，他们研究了最佳质量控制政策，该政策规定何时终止生产并将机器投入维修车间，以最小化长期预期平均成本（关于一类具有长期预期平均成本目标函数的最佳质量控制问题的重要评论，请参见Ahmadi Javid和Ebadi（2017））。他们明确确定了以下最佳政策（Tagaras，1994）：“及时停车并维修 当且仅当时间的后验概率 进程处于错误状态超过了控制限制.“请注意，他们提出的政策最初是以不同的形式呈现的。为了了解与上述形式的等价性，读者可以参考Girshick和Rubin（1952）第116页引理1的证明。2.讨论不幸的是，通过概括Girshick和Rubin（1952）获得的特定最优性结果进行讨论。”，几篇论文作出了误导性的陈述，暗示了贝叶斯控制图的最优性和非贝叶斯控制图在一般情况下的非最优性。在表1中，收集了其中一些陈述。此表提供了从1995年开始的一系列引文。Makis（2008）在论文摘要中明确声称，他证明了aBayesian控制图的最优性。然而，他和同样的卡拉布雷斯（1995年）和马基斯（2009年）没有提供任何证据，只引用了泰勒（1965年、1967年）的两篇论文，他们的陈述措辞完全相同。

现在让我们检查一下这些泰勒的论文，以确保它们没有将贝叶斯图的最优性扩展到更一般的设置，并且它们只重新评估了Girshick和Rubin（1952）获得的结果。表1关于贝叶斯图表最优性的误导性陈述列表《管理科学》（1995）Taylor（19651967）表明，非贝叶斯技术不是最优的……（第637页第16行）“贝叶斯统计和简单的控制限制政策被证明是过程控制的经济最优方法”（第638页第9行）Makis（2008）运筹学“众所周知，这些传统的非贝叶斯过程控制技术不是最优的”（摘要：第795页，第4行）“在标准操作和成本假设下，[在本文中]证明了[贝叶斯]控制极限策略是最优的，并提出了一种算法来寻找最优控制极限和最小平均成本。”（摘要：第487页，第8行）“Taylor（19651967）表明非贝叶斯技术不是最优的……”（第488页，第4行）Makis（2009）《欧洲运筹学杂志》“众所周知，控制图设计的这种传统非贝叶斯方法不是最优的”（摘要：第487页，第3行）“Taylor（19651967）表明非贝叶斯技术不是最优的……”（第796页，第9行）Wang和Lee（2015）Operations Research“Calabrese（1995）证明，当采样间隔和样本量都固定时，[贝叶斯]控制极限策略对于有限时间问题是最优的。

Makis（2008，2009），假设二元状态空间，表明在有限和无限水平情况下，多元控制图的控制极限策略是最优的”（第1页，第46行）。Taylor（1965）研究了一个称为顺序替换过程的一般控制问题，该问题处理的是一个周期性观察的动态系统，并将其划分为若干可能状态之一；每次观察之后，都会做出一个可能的决定。顺序替换过程是一个带有额外特殊操作（称为替换）的控制过程，该操作会立即将系统返回到某个初始状态。本文首先证明了非最优平稳非随机化规则的存在性，然后提出了在两种常用的有效性度量下确定最优策略的方法：预期总贴现成本和长期预期平均成本。本文还表明，Girshick和Rubin（1952）提出的“100%检验”的最优规则可以被他们的结果所覆盖。另一方面，通过一个计数器样本，本文展示了Girshick和Rubin（1952）声称的“非100%检验”情况下的另一条规则的非最优性。Taylor（1967）讨论了无最优结果，只提出了一种近似确定最优控制极限的方法 Girshick和Rubin（1952）提出的“100%检查”规则，只要不良状态稍微偏离良好状态。因此，泰勒（19651967）没有为贝叶斯图提供任何新的最优性结果。

事实上，Taylor（1965）在一般情况下证明了Girshick和Rubin关于Bayesiancharts最优性的说法的谬误。我们刚刚收到了两位贝叶斯控制图领域专家对上述事实的回复。他们再次表达了对贝叶斯图最优性的确信，并将其推广到部分可观测马尔可夫决策过程类。为了证明他们的主张，他们只提供了另外三份参考资料，即Bertsekas和Shreve（1996）、Davis（1993）和Smallwood和Sondik（1973），我们在其中找不到任何证据。事实上，他们表示：“正如Bertsekas和Shreve所证明的那样：随机最优控制（另见Davis：马尔可夫模型和优化），贝叶斯控制确实是部分可观测随机过程的最优控制，其中后验概率是最优动态决策的充分统计。”“我个人认为这些论文中没有必要提供这种证明，因为这是部分可观测马尔可夫决策过程（POMDP）理论中的一个众所周知的结果，见Smallwood和Sondik（1973）。”这些回复我们手稿的研究人员没有提供任何证明他们目标的参考资料。此外，他们没有表明泰勒（1965）提供的反例是错误的。结论一个重要的开放领域是描述Girshick和Rubin（1952）、Calabrese（1995）、Makis（2008）和许多其他略有不同的论文中考虑的离散时间或连续时间生产系统的最优质量控制图类别。目前基于阈值的贝叶斯控制图似乎不是最优的。

原因是Taylor（1965）表明，即使对于非100%检验的离散时间生产环境，贝叶斯图也不是最优的，Girshick和Rubin（1952）首先考虑了这一点。此外，描述覆盖上述质量控制问题的一般类部分可观测马尔可夫决策过程的最优控制仍然是另一个未来的研究方向。参考Ahmadi Javid，A.，&Ebadi，M.（2017）。记忆型控制图的经济设计：Lorenzen和Vance（1986）提出的公式的谬误。arXiv:1708.06160。Bertsekas，D.P.，&Shreve，S.（1996）。随机最优控制：离散时间情况。雅典科学。Calabrese，J.M.（1995年）。属性的贝叶斯过程控制。《管理科学》，41（4），637645。Davis，M.H.（1993年）。马尔可夫模型与优化。CRC出版社。Girshick，M.A.，&Rubin，H.（1952年）。质量控制模型的贝叶斯方法。《数学统计年鉴》，23（1），114-125。Lorenzen，T.J.，&Vance，L.C.（1986）。控制图的经济设计：统一方法。技术计量学，28（1），3-10。Makis，V.（2008年）。多元贝叶斯控制图。运筹学，56（2），487-496。Makis，V.（2009年）。有限生产运行的多元贝叶斯过程控制。《欧洲运筹学杂志》，194（3），795-806。Molnau，W.E.，Montgomery，D.C.，和Runger，G.C.（2001）。多元指数加权移动平均控制图的统计约束经济设计。质量与责任工程国际，17（1），39-49。蒙哥马利，D.C.、托恩，J.C.、科克伦，J.K.、劳伦斯，F.P.（1995）。EWMA控制图的统计约束经济设计。质量技术杂志，27（3），250-256。Nikolaidis，Y.，&Tagaras，G.（2017）。

评价贝叶斯统计特性的新指标 短期运行控制图。《欧洲运筹学杂志》，259（1），280292。Smallwood，R.D.，&Sondik，E.J.（1973）。有限视界上部分可观测马尔可夫过程的最优控制。运筹学，21（5）：1071-1088。Tagaras，G.（1994年）。X图经济设计的动态规划方法。IIETransactions，26（3），48-56。Tagaras，G.，&Nikolaidis，Y.（2002）。比较各种贝叶斯X控制图的有效性。运筹学，50（5），878-888。Taylor，H.M.（1965年）。马尔可夫序列置换过程。《数学统计年鉴》，36（6），1677-1694年。Taylor，H.M.（1967年）。高斯过程的统计控制。技术计量学，9（1），29-41。Wang，J.，&Lee，C.G.（2015）。有限范围内的多状态贝叶斯控制图。《运营研究》，63（4），949-964。