跳扩散下的有效欧美期权定价

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英文标题：
《Efficient European and American option pricing under a jump-diffusion
  process》
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作者：
Marcellino Gaudenzi and Alice Spangaro and Patrizia Stucchi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  When the underlying asset displays oscillations, spikes or heavy-tailed distributions, the lognormal diffusion process (for which Black and Scholes developed their momentous option pricing formula) is inadequate: in order to overcome these real world difficulties many models have been developed. Merton proposed a jump-diffusion model, where the dynamics of the price of the underlying are subject to variations due to a Brownian process and also to possible jumps, driven by a compound Poisson process. Merton\'s model admits a series solution for the European option price, and there have been a lot of attempts to obtain a discretisation of the Merton model with tree methods in order to price American or more complex options, e. g. Amin, the $O(n^3)$ procedure by Hilliard and Schwartz and the $O(n^{2.5})$ procedure by Dai et al. Here, starting from the implementation of the seven-nodes procedure by Hilliard and Schwartz, we prove theoretically that it is possible to reduce the complexity to $O(n \\ln n)$ in the European case and $O(n^2 \\ln n)$ in the American put case. These theoretical results can be obtained through suitable truncation of the lattice structure and the proofs provide closed formulas for the truncation limitations.
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中文摘要：
当标的资产显示出振荡、尖峰或重尾分布时，对数正态扩散过程（Black和Scholes为其开发了重要的期权定价公式）是不充分的：为了克服这些现实世界的困难，已经开发了许多模型。默顿提出了一个跳跃扩散模型，在该模型中，标的资产价格的动态会受到布朗过程的影响，也会受到复合泊松过程驱动的可能跳跃的影响。默顿模型为欧式期权价格提供了一个级数解，为了给美式或更复杂的期权定价，已经有很多人尝试用树方法对默顿模型进行离散化，例如Amin、Hilliard和Schwartz的$O（n^3）$程序和Dai等人的$O（n^2.5）$程序，从Hilliard和Schwartz的七节点程序的实现出发，我们从理论上证明了在欧洲情况下可以将复杂性降低到$O（n\\ln n）$，在美国put情况下可以将复杂性降低到$O（n^2\\ln n）$。通过对晶格结构进行适当的截断，可以得到这些理论结果，证明了截断限制的闭合公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Efficient_European_and_American_option_pricing_under_a_jump-diffusion_process.pdf (212.29 KB)

2022-6-2 19:28:03 上传

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关键词：期权定价 Difficulties distribution Quantitative Applications

有效的欧洲和美国期权价格在跳跃式差异过程中Marcellino Gaudenzi、Patrizia Stucchi、Alice SpangaroUniversit\'a di Udine、Dipartmento di Scienze Economiche E Statistiche、via Tomadini 30/a、Udineabstract当标的资产显示振荡、尖峰或重尾分布时，对数正态分布差异过程（Black和Scholes为此制定了重要的期权定价公式）并不充分：为了克服这些现实世界的差异，已经开发了许多模型。默顿提出了一个jump-d扩散模型，其中标的资产价格的动态会受到布朗过程的影响，也会受到复合泊松过程驱动的可能跳跃的影响。默顿模型为欧式期权价格提供了一个系列的解决方案，为了给美式或更复杂的期权定价，已经有很多人尝试用树方法对默顿模型进行分类，例如Amin、Hilliard和Schwartz的O（n）程序和Dai等人的O（n2.5）程序。。这里，从Hilliard和Schwartz七节点过程的实现开始，我们从理论上证明，在欧洲情况下，可以将复杂性降低到O（n ln n），在同样的李加情况下，可以将复杂性降低到O（nln n）。这些理论结果可以通过对晶格结构进行适当的截断来获得，并提供了截断限制的封闭公式。关键词：Merton跳跃差异对数正态二元树选项优先级1。引言众所周知，当标的资产是股票且其价格遵循对数正态分布过程时，Black和Scholes[2]开发了他们重要的期权定价公式。然而，金融衍生品通常不能用封闭式公式定价，必须用数值方法（如treesor格）进行评估（如[3]）。

此外，当标的资产显示出振荡、尖峰或重尾分布时，对数正态分布过程是不适当的（详细讨论见[6]）。为了克服这些现实世界的困难，已经开发了许多模型。默顿（Merton）[9]提出了一种最流行的简单高效的模型。这是一个跳跃-差异模型，其中基础价格的动态会因布朗过程和可能的ju-mps而发生变化。在Black和Scholes[2]对布朗成分的假设下，考虑跳跃部分的复合泊松过程，该模型给出了欧式期权价格的级数解。为了给美式或更复杂的期权定价，已经多次尝试使用对数正态跳跃的梅顿模型的树方法进行离散化。Amin【1】提出了一种衍生定价方法，通过离散基础分布，允许跳跃具有随机振幅，该振幅必须是布朗运动的倍数。Hilliard和Schwartz[6]考虑到默顿模型中涉及的两个过程的独立密度，开发了一个多项式晶格：一个变量模拟扩散过程，另一个变量模拟复合泊松过程中的对数正态跳跃。HS程序（当第二个变量允许在每个时间步进行七节点分支时）提供了比Amin更精确的结果，并且在确定跳跃幅度的特殊情况下确保了离散过程的弱收敛性，否则需要进行数值调整。Hilliard和Schwartz将其二元树应用于美式期权的评估，其后向过程的时间复杂性为O（n）。Dai等人。

[4] 在HS程序的基础上，通过在最近的扩散节点中分解跳跃引入的树上的中间节点，将复杂性降低到O（n2.5），重新构建提供了一维树。为了克服这种程序的计算成本，从业者中的一种常见补救方法是忽略分布的尾部，仅根据树的一部分节点计算价格，而不考虑与预期值最远的节点。我们在这里提出的是从HS技术开始，并证明这种实践可以从理论上建立起来：我们证明，通过对传统晶格结构的合理截断，可以将欧洲情况下的复杂性降低到O（n ln n），美国情况下的复杂性降低到O（nln n n），并且理论证明提供了截断限制的闭合公式。更详细地说，我们从评估欧洲看涨期权开始，将其视为从HS后退程序中得出的贴现预期到期收益。我们的基本思想包括关注相对于每个结束节点的跳跃概率，并分析仅考虑与ln n成比例的累积跳跃范围所获得的误差。如果我们考虑在整个树中截断的后向过程具有这些限制，我们将获得误差的上估计。如果我们将截断应用于跳跃概率的正向计算，这也提供了误差的上估计。这样，我们就可以为Europeancase构造一个O（n ln n）阶程序。最后，我们继续讨论美国案例，证明我们的树在p ut ca se中给出的HS程序错误小于欧洲的错误。

详细程序的顺序为O（nln n n）。数值结果表明，对于较低的步数，我们的程序也大大改进了现有技术。我们的报纸组织如下。第2节描述了默顿模型。第3节介绍了默顿模型的Hilliard和Schwartz离散化。第4节致力于介绍我们截断程序的主要结果，第5节进一步发展了欧洲和美国的情况，而第6节处理了美国的情况。第7节给出了数值结果。第8节包含结论。为了便于读者阅读，附录ix中包含了关于一般奇数跳节点程序的理论结果（有些繁琐）的证明，可在线获取。2、跳跃扩散过程的默顿模型Black&Scholes模型的强假设并不总是满足真实的市场动态；这一原因推动了不同模型的发展。特别是，为了描述基础价值在少量时间内发生重大变化的可能性，我们将其称为“跳跃”，默顿[9]提供了一个跳跃-差异模型，其中基础价格的动态不仅受到阿布罗过程变化的影响，而且还受到可能（如果罕见）更大变化的影响，可由外部事件（如信息到达）引起的。为了对罕见事件的随机ar竞争进行建模，使用了泊松分布。每个事件都会导致由随机变量确定的pr ice的随机变化。模拟单一事件变化幅度的随机dom变量应该是独立的且分布相同的。

出于简单和相关性的原因，文献中研究了跳跃的各种分布（例如，见[7]）。我们将考虑跳跃的对数正态分布振幅，如[9]、[1]、[6]所示。在这些假设下，默顿模型的地下动力学由以下方程给出：dSS=（r- d- λ′j）dt+σdz+Jdq（1），其中r是无风险利率，d是连续股息收益率，σ是回报的方差，前提是没有跳跃，λ是模拟跳跃到达的泊松过程的强度（即λ等于时间单位中到达的平均数），dq根据跳跃的存在或不存在假设值1或0，J是跳跃的随机振幅，ln（J+1）~ N（γ′，δ），且'j=E（j）。将伊藤引理应用于同样考虑跳跃的公式中（见[8]），我们可以将方程（1）的解表示为：s=Se（r-d-λ′j-σ） t+σz（t）n（t）Yi=0（1+Ji）（2），其中n（t）是参数λ、J=0和ln（1+Ji）的泊松过程~ i的N（γ′，δ）≥ 1、在下文中，为清楚起见，我们将考虑对数回报除以两个分量XT和Yt，其中XT=αt+σz（t），α=r- d- λ′j-σ、 是扩散分量，而t=n（t）Xi=0ln（1+Ji）是跳跃分量，我们将重点了解复合泊松过程的行为。Hilliard和Schwartz的实现Hilliard和Schwartz[6]通过创建一棵二元树来离散Merton模型。

在每个时间步，树模型的节点返回underling的值，考虑到这同时受到布朗运动和对数正态跳跃的影响。给定τ为到期时间，n为时间步数，t=τ作为时间间隔，H illiard and dSchwartz考虑σ√t表示布朗阶跃的振幅，通常在二项树中是这样，h表示跳跃的最小振幅。为了尽可能忠实地恢复跳跃动力学的结构，他们在“无跳跃”情况下引入了一个节点，然后添加了1个节点，以考虑振幅±h、±2h、…、的跳跃可能性。，±Nh。Hilliard和Schartz对h的选择是cpγ′2+δ，其中0<c≤ 1、选择N=1给出了基础的粗略近似值，从而得出了衍生产品的价格；通过选择N=2、3、4（即分别为五节点树、七节点树和九节点树），结果更加明确。在精度和计算成本之间的通常权衡中，选择N=3（即七节点树）似乎是最佳选择[6]。一旦N固定，在每个时间间隔都有两种可能的布朗运动（+σ√t和-σ√t） 和2N+1跳跃可能性。因此，从每个节点上分离出2个（2N+1）分支：每一个分支用于区分移动和跳跃移动的可能组合。树的每个节点都可以用一个三元组（i，j，l）标记，其中第一个索引保持时间的轨迹（0≤ 我≤ n） ，j描述了布朗运动到那时的影响（0≤ j≤ i） 我是跳跃动作的结果(-镍≤ l≤ Ni）。Xnand Yn（连续随机变量Xτ和Yτ的离散对应项）是n i.i.d的代数和。

流程X和Y分别，其中X是布朗运动的经典CRR离散化，带有Nelson Ramaswamy对概率的修改：X:=+σ√概率为p的t=1 +α√tσ-σ√概率为1的t- P时Y是跳跃幅度的离散化：Y:=概率为λ的lht·qlfor公司-N≤ l≤ N、 概率为1的0- λt、 概率qlfor-N≤ l≤ N的选择应确保前2N- 1个月，共Y个月匹配Y的那些t、 近似于其累积量。为了更好地定义p，我们需要-1.≤α√tσ≤ 让我们用S（i，j，l）表示节点（i，j，l）上的基础值：S（i，j，l）=Se(-i+2 j）σ√t+左侧。欧洲情况下的期权价格可以评估为到期时所有可能支付的贴现预期值，但我们更倾向于分别关注布朗运动和复合泊松跳的影响。让我们只考虑泊松移动，并将QN（l）命名为到期时l个累积泵的净余额的概率，即离散过程Ynof取值的可能性-Nn型≤ l≤ Nn。这等于QN（l）是0到达任何终端节点（n，j，l）的概率≤ j≤ n、 虽然我们没有QN的公式，但我们可以用O（n）过程递归地计算它。同样，设P（j）为到期时j布朗运动的净平衡概率，即P（j）=nj！pj（1- p） n个-j、 执行K的欧式看涨期权价格为v=e-rτnNXl=-nNnXj=0（东南(-n+2 j）σ√t+hl- K） +P（j）QN（l）。

（3） 通过递推公式（i，j，l）=e，分别得到了欧式和美式看涨期权价格的反向过程e-rtNXk公司=-N（VE（i+1，j+1，l+k）p+VE（i+1，j，l+k）（1- p） ）qk（4）VA（i，j，l）=最大值e-rtNXk公司=-N（VA（i+1，j+1，l+k）p+VA（i+1，j，l+k）（1- p） ）qk，S（i，j，l）- K（5） 初始数据VE（n，j，l）=VA（n，j，l）=（S（n，j，l）- K） +，对于介于0和n之间的j整数，以及介于0和n之间的l整数-Nn和Nn。我们将对欧洲看跌期权价格使用相同的符号，分别计算为欧洲和美国看跌期权价格的贴现预期值和反向过程，初始数据VE（n，j，l）=VA（n，j，l）=（K- S（n，j，l））+，对于0和n之间的j整数和介于两者之间的l整数-Nn和Nn。在欧洲案例中，通过d获得的定价是经过计算的预期值，通过反向过程获得的定价是一致的，即V=VE（0，0，0）。4、主要结果4.1。在这一节中，我们分别提出了一个O（n ln n）和一个O（nln n）程序来评估欧洲和美国的期权价格。给定两个正整数k，l≤ Nn我们将QTN（l）称为-Nn型≤ l≤ Nn，达到累积跳跃成熟度的l级的概率（递归向前计算）不超出边界-在任何时间点着陆。我们将重点关注价值VT Tde，定义为终端节点（n、j、l）期权价值的贴现平均值，其中-l≤ l≤ k、 每个都用概率P（j）QTN（l）进行加权。对于看涨期权，这意味着SVT T=e-rτkXl=-lnXj=0（东南(-n+2 j）σ√t+hl- K） +P（j）QTN（l）。（6） 如果我们如上所述截断树，我们将以两种不同的方式失去概率贡献：（a）忽略在成熟时到达允许区域外节点的路径，即。

k>k或k<-l、 对于任何0≤ j≤ n（b） 忽略路径，即使在允许的区域内的节点成熟时结束，但在成熟之前的某个点至少侵犯了一个边界。让我们用VT表示仅使用类型（a）删除获得的值。对于买入期权，这将是：VT=e-rτkXk=-lnXj=0（东南(-n+2 j）σ√t+香港- K） +P（j）QN（K）。（7） 以下是正确的：VT T≤ 及物动词≤ 五、 我们将用eqn（l）表示在单跳概率q+i和q中与概率QN（l）不同的值-I都被两个中的最大值替换为1≤ 我≤ N、 显然，eqnca可以用O（N）过程和QN（±l）递归地向前计算≤eQN（l）=eQN(-l） 。我们将说明我们可以选择和k，以便-VT小于任意ε，并且表明对于ε=nw，我们可以得到与ln n成比例的k。在这种情况下，qtnc可以用O（n ln n）程序重新粗略计算，因此我们可以通过O（n ln n）程序通过VT推取欧式期权值。对于美式期权案例，我们将定义一个落后的程序，该程序也适用于-l和k，因此是一个O（nln n）过程。我们的主要目的是明确土地k.4.2的分析估算。结果i整数振幅ih跳跃的概率qi，-N≤ 我≤ N、 在a中t时间间隔是通过施加力矩匹配条件来确定的，力矩由时间均匀的积算近似，所有i，0的qi与n成反比。我们将表示：Cia为常数，使得对于i，0，qi=Cin，-N≤ 我≤ Nwias c+I和c之间的最大值-执行器1≤ 我≤ N并递归定义W=wWi+1=wi+1+wi+1ii。（8） andMi=最大值Wi，W-i+1ii.让我们表示G=2N max{WN，1}eWNQN-1i=1Mi。定理4.1。