具有幂律记忆的动态部门间模型

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英文标题：
《Dynamic intersectoral models with power-law memory》
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作者：
Valentina V. Tarasova, Vasily E. Tarasov
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Intersectoral dynamic models with power-law memory are proposed. The equations of open and closed intersectoral models, in which the memory effects are described by the Caputo derivatives of non-integer orders, are derived. We suggest solutions of these equations, which have the form of linear combinations of the Mittag-Leffler functions and which are characterized by different effective growth rates. Examples of intersectoral dynamics with power-law memory are suggested for two sectoral cases. We formulate two principles of intersectoral dynamics with memory: the principle of changing of technological growth rates and the principle of domination change. It has been shown that in the input-output economic dynamics the effects of fading memory can change the economic growth rate and dominant behavior of economic sectors.
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中文摘要：
提出了具有幂律记忆的区间动力学模型。推导了用非整数阶Caputo导数描述记忆效应的开放和闭合交叉模型的方程。我们建议这些方程的解，其形式为Mittag-Leffler函数的线性组合，并且具有不同的有效增长率。对于两个部门案例，提出了具有幂律记忆的部门间动力学示例。我们建立了具有记忆的部门间动力学的两个原理：技术增长率变化原理和支配变化原理。研究表明，在投入产出经济动态中，记忆衰退的效应可以改变经济增长率和经济部门的主导行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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2022-6-2 19:43:39 上传

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关键词：Quantitative Combinations derivatives Internation QUANTITATIV

非线性科学与数值模拟通信。2018年，第54卷。P、 100-117。内政部：10.1016/j.cnsns。2017.05.015具有幂律记忆的动态部门间模型Valentina V.Tarasova，洛蒙诺索夫莫斯科国立大学商学院，洛蒙诺索夫莫斯科国立大学，莫斯科119991；电子邮件：v.v。tarasova@mail.ru;瓦西里·塔拉索夫（Vasily E.Tarasov），俄罗斯罗蒙诺索夫国立大学斯科贝尔特森核物理研究所，莫斯科119991；电子邮件：tarasov@theory.sinp.msu.ruAbstract.提出了具有幂律记忆的区间动力学模型。推导了用非整数阶的Caputo导数描述记忆效应的开放和封闭交叉模型的方程。我们建议这些方程的解，其形式为Mittag-Leffler函数的线性组合，并以不同的有效增长率为特征。针对两个部门案例，提出了具有幂律记忆的部门间动力学示例。我们提出了有记忆的部门间动力学的两个原理：技术增长率变化原理和支配变化原理。研究表明，在投入产出经济动态中，超前记忆效应可以改变经济增长率和经济部门的主导行为。关键词：宏观经济学、部门间模型、衰退记忆、幂律记忆、分数阶导数、列昂蒂夫模型、投入产出模型MSC:26A33；34A08PACS:45.10。Hj；05.45.-aJEL：C02；C65；动态模型描述了经济中总产值和最终产品（国民收入）的部门间平衡动态。这些模型基于货币方面的投入产出平衡方程，该方程描述了各部门之间总产品和最终产品的生产和分配。

它考虑到部门间生产环节、物质资源的使用、国民收入的生产和分配。在平衡方程中，每个部门被视为消费者和生产者的两倍。这就引出了平衡方程的矩阵形式。部门间模型的一个显著特征是以矩阵形式描述“输入-输出”平衡方程。部门间平衡矩阵方程假设每个产品只有一个生产（一个部门），每个生产（行业）只生产一种类型的产品。在动态部门间模型中，外生变量和内生变量用矩阵描述。最著名的模型之一是Nobellaureate Wassily W.Leontief开发的动态部门间模型。Leontief在二十世纪五十年代提出了动态部门间模型[1、2、3、4]。Leontief动态模型是国民生产总值和国民收入增长的经济模型。动态部门间模型使用不同的假设，未考虑某些经济因素。动态部门间模型中常用的假设之一是忽略记忆效应。事实上，动态部门间模型认为，经济主体无法记住内生和外生变量的变化历史。因此，我们可以说，这些模型只描述了allagents完全失忆的过程。

记忆效应可以在经济学和自然科学中发挥重要作用[5、6、7、8、9]。在宏观经济学中，记忆可以被视为经济过程的一种属性，它表征了这一过程在特定时间对过去状态的依赖性。具有记忆的非经济过程给定时间的内生变量和外生变量取决于它们在前一时刻的值。在宏观经济过程中，经济主体的行为不仅基于给定时间t内过程状态{t，X（t）}的信息，而且还基于对状态信息的使用在时间瞬间. 记忆在过程中的存在意味着存在一个内生变量，它不仅取决于当前外部变量的值，而且还取决于其在前一时刻的值。Amemory效应与外生变量的相同变化会导致相应内生变量的不同变化有关。这就引出了这些变量的多值相关性。多值依赖是由于经济主体记住了这些变量之前的变化，因此可以做出不同的反应。因此，外部变量的相同变化可能导致内部变量的不同动态。在经济学中，记忆的概念可以与分馏动力学类比考虑[8，第394-396页]。在本文中，我们提出了一种计算动态部门间模型构造中幂律记忆的方法，其形式是对具有连续时间的dynamicLeontief模型的推广。

作为一种数学工具，我们使用具有非整数阶导数的微分方程理论【10、11、12、13、14】。我们的考虑基于具有记忆和非整数阶边缘值的加速器的概念，这在[15、16、17、18、19]中有建议。本文利用文献[12，13，20，21，22]中所考虑的分数阶微分方程的解，给出并分析了闭合和开放交叉动力学模型方程的解。2、无记忆动态部门间模型我们考虑部门间模型，其中我们假设生产和使用了n种产品。每个部门只生产一种类型的产品，每个产品都是在某个部门生产的。假设生产过程的特征是恒定的，也就是说，我们不会考虑技术进步会导致生产技术的变化。此外，模型中不会考虑货物和材料的进口以及不可再生资源的使用。动态部门间模型将在连续时间方法的框架内制定。让我们描述一下动态Leontief模型方程的输入-输出平衡推导。在Leontief模型中，总产值（总产出）由向量描述,它分为两部分   （1） 在哪里  是最终乘积的向量；  是中间积的向量，其中k=1，…，n是生产部门。

最终产品分配给投资和非生产性消费   （2） 在哪里  是投资的载体；  是非生产性消费（包括非生产性积累）产品的向量，其中k=1，…，n为生产部门。Leontief动态模型假设平衡方程（1）和（2）在任何t>0时的性能。这些方程把经济的动态平衡描述为一个整体。因此，动态Leontief模型是“投入产出”平衡的动态模型。将最终产物（2）的表达式代入式（1），我们得到了平衡方程      （3） 为了从平衡方程（3）中得到Leontief模型方程，需要去除内生（内部）变量Z（t）和I（t）。为此，我们应该给出Z（t）和I（t）对外生变量X（t）的依赖关系。Leontief模型假设生产的直接材料成本系数不变。中间产品对总产品的依赖性以直接比例的形式假设。这使我们能够通过直接材料成本矩阵A和总产品X（t）向量的乘法来表示中间产品Z（t）的向量，其形式为矩阵乘法方程    （4） 在哪里是带系数的n阶方阵, 它描述了第i个部门（i=1，…，n）在生产单位产出的第j个部门（j=1，…，n）时的直接材料成本。假设矩阵A为常数，即它不随时间变化。

在dynamicLeontief模型中，系数不仅包括直接材料成本，还包括损坏赔偿和修理基本生产资产的成本。因此，矩阵A的主对角线的元素是非零的。动态Leontief模型基于累积与总产出增长之间关系的假设。这种关系是通过使用生产增长的资本强度矩阵来实现的。此外，假设固定资产收益投资的瞬时转换和生产（产出）中这些资金的瞬时回报，也就是说，模型忽略了延迟。时间应该是连续的。这使我们能够使用微分方程理论。资本投资向量I（t）对总产值向量X（t）的依赖性由矩阵加速器方程描述 ,  （5） 在哪里 是投资的载体， 是系数的n阶方阵生产的增量资本密集度。系数描述第i部门的生产成本，以增加j部门的生产。矩阵B假设为非退化，即矩阵B的行列式不同于零。对于方阵B，该条件等价于矩阵的可逆性，即逆矩阵的存在.  通常，矩阵B可以有零线，例如，对于仅生产消费品的部门。

对于部门间动态模型矩阵B的可逆性，我们只能考虑构成固定资产的部门的方程。将表达式（4）和（5）代入方程（3），我们以矩阵微分方程的形式得到了总产量（总产量）的dynamicLeontief模型方程        （6） 其中，E是n阶单位对角矩阵。只有等式（6）的这些解才有经济意义，其中X（t）≥由向量Y（t）描述的最终产品（国民收入）方程可从方程（6）中获得。为此，我们将由公式（4）给出的Z（t）的表达式替换为方程（1），然后表示Y（t）。因此，我们得到了表达式   （7） 如果给出了总产量的向量X（t），那么等式（7）允许我们找到最终产品的向量Y（t）。替换（7），其写在表格中 , 在方程（6）中，考虑到矩阵A的恒常性，我们得到最终产物（nationalincome）的方程       （8） 在哪里  是完全增量资本强度的矩阵。注意，只有当方程（8）的解满足条件Y（t）时，没有对外贸易的经济模型才具有经济意义≥让我们注意一下动态部门间模型的一些特性。（a） 直接材料成本系数以及增量资本系数假设为常数，即矩阵A和B在时间上是常数。在一般情况下，这是不正确的，特别是当我们考虑长时间间隔时。（b） 当我们改变投资时，产量的增长是瞬间的。

这意味着我们忽略了最终产品和投资之间的时间延迟的影响。（c） 时间t时的投资I（t）由总产值X（t）的变化决定，仅在时间点的有限小邻域内，即最近的无穷小过去。这意味着忽视记忆效应。换言之，事实上，它被认为是对所有经济主体的即时健忘症，即对总产值和投资变化历史的即时遗忘。如果我们假设不存在非生产性消费，即C（t）=0，则称部门间模型是封闭的。C（t）=0的微分方程组（8）的通解可以写成[8，9]   （9） 在哪里是矩阵的特征值    ,  向量  是与特征值相对应的IGenvector, 即   , 以及系数根据初始条件确定解（9）是指数函数的组合 不同的生长速度. 因此，一般来说，一个经济过程的动力由路径决定   所有部门都不可能有统一的增长率λ。因此，经济增长将伴随着永久性的结构变化。这一事实使intersectoralmodel与宏观经济模型（如自然增长模型、Harrod-Domarmodel、Keynes模型等）有着显著的区别。然而，动态部门间模型的解与宏观经济增长模型的解之间存在一定的相关性。这种关系基于特征值的存在矩阵的绝对值最高   完全增量资本密集度。

这种特征值的存在源于Perron定理及其Frobenius的推广。Perron定理断言[23]，对于正矩阵，总是存在唯一的特征值具有最高的绝对值。号码是正的，它是特征方程的一个简单根。相应的特征向量可以选择为正。Frobenius定理断言[24，p.354-355]，不可约非负矩阵总是具有正特征值,  这是特征方程的简化。所有其他特征值不超过该数的模, 这个数对应于具有正坐标的特征向量。号码矩阵的S通常称为Frobenius-Perron数。在交叉动力学模型中，特征值矩阵的, 被称为技术增长率[8，第126页]。需要注意的是，特征向量,对应于特征值不同于(),  必须与不同的符号协调。闭合部门间模型的解（9）是指数函数的组合 不同的增长率. 在解中，具有最大实部的项并对应于, 开始主导于.  如果主导词是, 然后，最终产品的增长率趋向于t→∞ 在所有部门。