金融网络中的动态清算与传染

数学上，τ+j处的清算现金账户固定点问题（即，τj处的正确时间限制）由i的Vi（τ+j）之间的联合固定点提供，使得τi>τj:Vi（τ+j）=Vi（τj）+Xk∈N\'akiPk{τk=τj}+aki（τj）Vk（τj）-- Vk（τ+j）-{τk>τj}(R)aki：=Lki（T）- Lki（τk）+aki（τk）Vk（τk）-Pl∈N[Lkl（T）- Lk公司l（τk）]+Vk（τk）-以及通过违约公司i进行支付，使得τi=τj：Pi=(R)Pi∧αXi+βFi+γψi（P，V（τ+i））.在上述定点问题中，我们设置'Pi：=Vi（τi）-+Xj公司∈N【Lij（T）- Lij（τi）]Xi：=Vi（τi）++Et[Xi（T）]- xi（τi）Fi：=Xj∈NLji（T）- Lji（τi）+aji（τi）Vj（τi）-{τj>τi}ψi（P，V（τ+i））：=Xk∈N\'akiPk{τk=τi}+aki（τi）Vk（τi）-- Vk（τ+i）-{τk>τi}.也就是说，“Pidenotes i银行在其违约时间的未付负债总额τi，Xidenotes i银行在违约时间的流动资产价值（即现金账户的正部分加上现金流量的增长），Fidenotes记录了欠i银行的未付银行间资产的价值，ψi（P，V（τ+i））表示i银行因在违约时间通过其他同时违约或从（迄今为止）未违约公司收回未付旧债务而收回的流动性。值得注意的是，由于这些付款是由违约公司支付的，因此，即使存在足够的资产来全额偿还债务，回收率α、β、γ也适用于所有资产。如上假设4.2所述，如果γ>β，则与所有此类公司快速连续违约，甚至是级联违约（见下文定义）挽救另一家违约公司的周期相比，违约级联可能会导致更高的薪酬。由于有可能覆盖之前未支付的债务，相对风险敞口在defaulttime更新时披露；具体而言，如果Vk（τj）Vk（τ+j）>0且aki（τ+j）=dLki（τj）P，则aki（τ+j）=aki（τj）l∈NdLk公司l（τj）{i6=0}+n{i=0，j6=0}否则。提案4.3。

考虑由满足假设3.3的（dx，dL）定义的金融网络。Letα，β，γ∈ [0，1]是回收率。考虑默认时间τjof bank j∈ N银行i有唯一的清晰现金账户Vi（τ+j）∈ 确保银行i的τi>τjand付款∈ 确保τi=τj.证明。由于清算问题与社会义务的连续分段线性化，该清算问题是一个收缩映射；因此，唯一性源自Banach固定点定理。现在，让我们考虑资本账户K。利用上述会计规则，可以明确描述每家银行t时的资本账户d，而无需adi fferentia l系统。具体而言，对于银行i，时间t（给定默认时间τ）的资本账户由以下公式得出：Ki（t）=Et[xi（t）]+Xj∈NLji（T）1{τj>T}+Lji（τj）- aji（τj）Vj（τj）-+ (R)ajiPj{τj≤t}-Xj公司∈NLij（T）。（9） 也就是说，资本账户是i银行来自非金融机构的现金流的账户价值和来自违约机构的已实现付款的总和。值得注意的是，与现金账户不同，i银行的资本账户在i银行的某个交易对手违约时会跳下。这是由于两个影响：（i）历史价格会计导致银行间资产价值的中度下降，以及（ii）违约机构支付的款项始终受到其总债务的限制。备注4.4。我们需要注意的是，资本账户K是默认时间的折旧会计。然而，由于违约公司的付款转移需要一段清算时间才能处理，因此现金账户在默认时间保持连续，并有右侧限额。

动态Eisenberg-N oe框架的这种自然结构解决了[26]中提出的离散时间多重到期设置的一个主要难题，其中一家公司的违约会导致另一家公司从违约中恢复；有了时间延迟，这样的序列就不会发生。为了最终确定这一动态框架，我们希望引入违约时间的概念。简而言之，一般来说，如果银行的现金和资本账户过低，银行就会违约；银行的健康状况可以通过持续的外部违约规则Di:T×R×R提供→ R、 此外，DII在现金和资本账户中是不减损的，因此，对于任何c，Di（t，V+c，K+c）>Di（t，V，K）∈ R++和（t，V，K）∈ T×R×R。也就是说，银行i在由τi=inf{T定义的停止时间τ违约∈ T | Di（T，Vi（T），Ki（T））≤ 0} .请注意，我们考虑到不同银行的异质性违约触发功能；在下面的第4.3节中，我们给出了一些具体的违约规则示例，其中许多是银行不可知的。备注4.5。虽然本工作中没有直接考虑t，但银行的违约触发规则可能取决于截至考虑时间t的现金和资本账户的历史记录（即，银行i的整个流程Vi、tand Ki、TF）。例如，这允许在触发默认值之前有一个宽限期permittingrecovery。从数学上讲，这种宽限期可以根据任何默认规则Di：T×R×R→ R as'Di（t，Vi，t，Ki，t）：=p- [t- sup{s∈ [0，t]| Di（s，Vi（s），Ki（s））>0}]宽限期p>0。虽然该默认规则不是连续的，但它将根据过滤进行调整，因此可以在不进行重大修改的情况下应用本文中的分析。4.2最优清算解决方案的构建根据上述早期违约模型，我们现在希望考虑清算现金和资本账户的存在。

值得注意的是，尽管这个问题在当地是单调的，但我们无法在全球范围内得出结论，即由于另一家宣布提前违约的机构可能会从中受益（例如，由于资不抵债而非流动性不足），因此存在一个最大且最小的解决方案。此外，由于不同大小的DefaultCascade的可用性，唯一性通常不成立。推论4.6。设T=[0，T]为有限时间段，设（dx，dL）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）+定义一个满足假设3.3的动态金融网络，并具有连续的默认函数d:T×R×R→ R这是现金和资本账户中的不减损。Letα，β，γ∈ [0，1]是回收率。存在一个强大的现金和资本账户（V，K）清算解决方案，并具有相关的相对风险矩阵a证明。这个结果之后是定理3.7的应用。具体而言，我们只需验证每个违约时间是否存在清算解决方案，因为内部违约时间完全遵循上一节中提出的无违约情景的结构（加上资本账户K）。考虑到银行j的默认时间τjof∈ N我们将在一个类似于[1、2、29]的实际默认参数的参数之后构造一个gr eatestclearing解决方案。首先，假设没有同时违约；根据提案4.3，当时存在一个最大的联合现金账户和付款。然而，这些付款影响了所有非违约公司的资本账户。如果没有触发违约，那么这是τjand的最大清算解决方案，我们可以继续到下一个违约时间。如果重新触发了任何其他违约，则将重新运行提案4.3中提出的清算问题，包括这些同时发生的违约。

该程序继续进行，直到没有新的违约发生，并且在τj.假设4.7中出现了最可能的违约级联。对于这项工作的其余部分，我们将只关注推论4.6证明中提出的构建清算解决方案，因为它在所有违约时间都会导致尽可能小的违约级联。4.3流动性不足和破产条件在本节中，我们希望考虑违约触发规则的一些属性：T×r×r→ R以及这些规则的具体示例。具体而言，首先，我们要对违约原因进行数学描述，即由于流动性不足（现金账户V）或破产（资本账户K）；其次，我们讨论了违约规则的示例，并将这些违约（尤其是第一次违约）归类为由于流动性不足或无力偿债。假设4.8。为了说明s的隐含性，让外部现金流x遵循几何布朗运动，即dxi（t）=xi（t）[uidt+σidBi（t）]，对于常数u∈ Rn+1和σ∈ Rn+1+与（相关）布朗运动B。。。，Bn+1。再次说明在整个工程过程中，假设无风险利率r=0为零。定义4.9。我们将违约分为四种情况。让我∈ 成为一家专横的银行。固定ω∈ Ohm 使得τi（ω）≤ 即，银行i的违约发生在利益期间。

如果limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω），Ki（t，ω））=0，并且存在一些贷款（利率为r），可以挽救公司i免于违约，则该违约被归类为（i）非流动性，即存在一些≥ 0这样的极限τi（ω）Di（t，Vi（t，ω）+v，Ki（t，ω）+[eui（t-t）- 1] v）>0；（ii）如果limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω），Ki（t，ω））=0，并且存在一些无风险投资，公司可以购买这些投资来挽救自己免于违约，即存在一些≥ 0使得limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω）- v、 Ki（t，ω）- [eui（T-t）- 1] v）>0；（iii）如果limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω），Ki（t，ω））=0，且既不是非流动性也不是破产导致的违约，则为基本破产；和（iv）如果limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω），Ki（t，ω））>0，则为级联违约。在上述每种情况下，如果默认规则明确取决于金融系统的其他参数（即外部资产或总负债Pj∈NLij）则应相应调整这些条款，以确定违约类型的分类。在讨论特定的默认规则和不同类型的默认的简单标准之前，我们希望提供一些关于这些不同默认类型的快速评论。备注4.10.o一般来说，违约事件可能同时是非流动性和不流动性。也就是说，可以使用贷款或无风险投资来防止公司违约只有当某些银行以低于预期的无风险回报进行投资时（即ui<r=0，例如，由于不利的压力情景），才会发生破产。

在这种情况下，最后的市场制造商可以采取行动稳定公司的长期资产，以防止违约如果i银行以更高的预期无风险回报（即ui>r=0）进行投资，则为防止流动性不足而提供的贷款将改善该公司的现金和资本账户为了防止基本面违约，一种既提高流动性Vi（v）又提高资本Ki（v或eui（T））的救助-t） v）将是必需的。这与贷款或无风险投资不同，因为这样的救助不需要（重新）支付任何费用。我们希望注意到，Dimeans的严格单调性，即救助总是可以用来防止违约的发生；在发生根本性破产的情况下，这是中央银行防止违约机构破产的唯一可能方式我们认为级联违约与其他三种情况不同，因为这些违约可以通过提供必要的贷款、风险投资或对其他公司的救助来预防，具体取决于初始违约的类型。然而，由于现金账户在违约期间的特点，级联违约在某种风险中性意义上是一种破产；也就是说，尽管ca scade可能由流动性不足或（基本）破产触发，但当时所有后续违约都必须是由于对资本账户的直接影响。现在让我们考虑五种不同的特定默认规则di。前两种对违约的概念进行编码，通过在风险中性环境下的构建（即，每个银行i的ui=r），违约是由于流动性不足或根本性破产，并有可能出现级联违约。

这些默认规则编码了一个简单的阈值现金或资本水平，如果违反该阈值，将导致违约。然后，我们使用这些简单的规则来构建违约触发器，允许出现流动性不足或（基本）破产，并可能出现级联违约。通过这些结构，我们研究了描述第一次违约类型的简单规则。最后，我们考虑了基于杠杆率构建的违约规则。据作者所知，这是在Eisenberg-Noe框架内考虑杠杆率的第一时间。如上所述，首先，我们希望提供两条违约规则，分别对非流动性和（基本）破产进行简单编码。（i） 非流动性违约触发：在此设置中，银行只会因为现金账户低于阈值v而违约∈ R、 即DVi（t，V，K）：=V- v For everybank i.值得注意的是，这种情况下，股东永远不会选择拖欠银行债务，只有在他们缺乏足够的流动资产来偿还短期债务的情况下才会这样做。这是[26]中主要研究的设置，v=0，但如上文备注4.4所述，引入连续时间框架简化了该工作中所述算法方法的需要。此外，由于上述观点，即所有级联违约都属于破产类型（在风险中性设置中），该违约规则不能表现出任何违约。（ii）破产违约触发：在这种情况下，银行只会因为资本账户低于阈值k而违约∈ R、 即DKi（t，V，K）：=K- k代表everybank i。值得注意的是，该设置意味着任何银行都可以根据未来资产的会计价值进行借款，以尽可能防止流动性不足。

这是主要在[20]中研究的设置，k=0（尽管根据[22]的工作进行默认清除）。基于这些纯流动性不足和破产的情况，我们考虑两种简单的组合。也就是说，我们引入了违约规则，对以下观点进行了编码：（iii）现金或资本短缺可能导致违约，或（iv）企业违约需要现金和资本短缺。（iii）最低共同违约触发：在这种情况下，银行可能因流动性不足（由阈值v参数化）或破产（由阈值K参数化）而违约，即Dmini（t，v，K）：=最小{v- v、 K级- k} 对于每个银行i.（iv）最大联合违约触发：在此设置中，如果银行都是非流动性（由阈值v参数化）和ins溶剂（由阈值k参数化），则银行会违约，即Dmax（t，v，k）：=最大{v- v、 K级- k} 尤其是对于每一家银行，当v=k=0时，流动性差但有偿付能力的银行不会违约，因为它们通过借入未来资产来偿还债务（以偿还这些债务）。根据结构，金融系统中发生的第一个违约必须是非流动性或（基本）破产。以下提议将提供一个简单的框架，根据义务现金流的动态，保证第一次违约的类型。特别是，通过构建最小和最大共同违约触发点，如果第一次违约与DVIAN违约和DKi违约同时发生，则其为非流动性违约。提案4.11。考虑使用固定阈值默认水平SV，k设置推论4.6∈ R表示上述四个默认触发器中的任何一个。

使用风险中性设置的命名法，如果随机过程{x（t）+L（t）~1.- L（t）~ 1 | t∈ T} 是a：（i）supermartingale和k≥ v+，则最小联合触发设置中的第一个违约为基本破产（τmin[1]=τK[1]），而最大联合触发设置中的第一个违约为非流动性（τmax[1]=τv[1]）；（ii）次鞅和v≥ k、 那么，最小联合触发设置中的第一个违约为非流动性（τmin[1]=τV[1]），而最大联合触发设置中的第一个违约为（基本）破产（τmax[1]=τk[1]）；（iii）带v的鞅≥ 0，则现金账户和资本账户在上述四种违约触发因素中的任何一种可能的违约时间（即，K（t）=V（t），对于任何时间t<τmin[1]）完全一致。证据这些结果很简单，因为在第一个默认值τ[1]之前，K（T）=Et[x（T）+L（T）~1.- L（T）~1]和V（T）≤ x（t）+L（t）~1.- L（t）~1，如果V（t）相等≥ 最后，我们将引入基于杠杆率的默认规则。由于之前对Eisenberg-Noe框架的研究仅研究了现金和资本账户精确结算的静态环境，因此（据作者所知）之前没有在这样的银行间系统中检查杠杆要求。时间动力学的引入使得这样的研究值得考虑。值得注意的是，与上述共同违约触发因素一样，在这种情况下，可能会发生非流动或（基本）破产违约。（v） 基于杠杆的违约触发因素：在此设置中，银行因平均负债率（此处定义为负债对权益（即正资本））超过监管阈值λ>0而违约，即Dλi（t，v，K）：=λ-Pj公司∈N【Lij（T）-Lij（t）]+V-K+。