衍生品定价的零息票率模型

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英文标题：
《The Zero-Coupon Rate Model for Derivatives Pricing》
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作者：
Xiao Lin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The aim of this paper is to present a dual-term structure model of interest rate derivatives in order to solve the two hardest problems in financial modeling: the exact volatility calibration of the entire swaption matrix, and the calculation of bucket vegas for structured products. The model takes a series of long-term zero-coupon rates as basic state variables that are driven directly by one or more Brownian motion. The model volatility is assigned in a matrix form with two terms. A complete numerical scheme for implementing the model has been developed in the paper. At the end, several examples have been given for the model calibration, the structured products pricing and the calculation of bucket vegas.
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中文摘要：
本文旨在提出一种利率衍生品的双期限结构模型，以解决金融建模中两个最难解决的问题：整个掉期期权矩阵的精确波动率标定和结构化产品的桶维加斯计算。该模型以一系列长期零息票利率为基本状态变量，由一个或多个布朗运动直接驱动。模型波动率以两项矩阵形式分配。本文提出了一个实现该模型的完整数值方案。最后给出了模型标定、结构化产品定价和bucket vegas的计算实例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_Zero-Coupon_Rate_Model_for_Derivatives_Pricing.pdf (254.16 KB)

2022-6-4 14:32:11 上传

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关键词：衍生品定价 衍生品 Mathematical Quantitative Implementing

衍生品定价的零息票利率模型中国工商银行全球市场部北京100140摘要：本文旨在提出一个利率衍生品的双期限结构模型，以解决金融建模中两个最难解决的问题：实体加权矩阵的精确可容性校准，以及结构化产品的bucket vegas计算。该模型将一系列长期零息票利率作为基本状态变量，由一个或多个布朗运动直接驱动。模型波动率以两项矩阵形式分配。文中给出了实现该模型的数字方案。最后给出了模型标定、结构化产品定价和bucketvegas的计算实例。关键词：双项结构模型，随机微分方程，交换期权，结构化产品，模型校准，桶织女星。1简介利率期权和结构性产品的定价取决于数学模型，该模型描述了利率期限结构的动态。许多复杂的期限结构利率模型已经开发出来，并用于衍生品交易业务，我们可以将其分为三大类。第一组是短期利率模型，该模型假设即时即期利率遵循随机过程。有许多单因素短期利率模型可用，例如电子邮件：xiao lin99@yahoo.com; 完成日期：2016-05-23；最后修订日期：2022-02-23。Vasicek模型【1】、CIR模型【2】、Ho-L ee模型【3】、Hull White模型【4】、BlackDerman Toy（BDT）模型【5】和Black Karasinski（BK）模型【6】。还有一些多因素短期利率模型，如双因素Longstaff-Schwartz模型[7]。

第二组利率模型是远期利率模型，如Heath Jarrow Morton（HJM）模型[9]和Brace Gatarek Musiela（BGM）模型[10]，它们假设一系列远期利率（瞬时远期利率或3个月远期利率）遵循随机过程。第三组利率模型是长期即期利率模型，类似于Hunt、Kennedyand Pelsser[12]提出的马尔可夫函数模型，其中，通过数字掉期期权的定价公式，掉期利率是由随机过程驱动的状态变量。在过去十年中，市场上出现了大量结构性产品（如可赎回CMS利差掉期）。不同的型号会给产品带来非常不同的价格，这一事实让市场参与者感到困惑。通常，当银行提出结构化产品定价模型时，银行的模型验证部门会询问该模型是否：（a）无套利；（B） 可精确校准至基本SWOPTION或cap/FLOOR仪器；（C） 可用于准确计算风险因素s（包括bucket vegas）。不幸的是，上面列出的现有模型无法满足所有这三个需求。具体而言，其中一个问题是货币互换期权波动率矩阵中每个模型的全球资产负债表校准。由于结构化产品依赖于一组不确定的市场指数，因此使用不同的掉期期权工具来校准模型将给出不同的价格。当然，模型验证部门（model validationdepartment）不会相信一笔交易有两个以上的无风险价格。迄今为止，任何模型的校准（包括Johnson[11]使用MFmodel进行的研究）仍然是近似值。后来开发的BGM模型有更多的建模因素，这给校准带来了更多的灵活性。

然而，在货币互换matr ix中，关于整体的最佳全球校准一直存在大量争议，但我们仍然无法找到一份令人满意的任务报告。第二个问题是计算每个波动率分量的桶维加斯。Bucket vegas对银行非常重要，因为它们是对冲产品的基本数据。对于基本百慕大掉期期权这样的简单结构，短期利率模型用于计算桶织女星，具体方法是沿着反对角线拾取一系列波动性工具。然而，这种方法未能对和恒量货币互换（CMS）指数相关的一般结构性产品进行定价。在本文中，我们提出了一个新的利率动态模型，以接近所有三个模型的验证要求。该模型的主要优点是：1）该模型以一系列长期零息票利率为基本状态变量。零耦合率直接代表CMS的市场指数，CMS最常用于结构化产品。因此，此功能为我们提供了CMS结构化产品定价的最佳视图。2）这是一个利率的双期限结构模型，一个期限是观察到零利率的建模时间，另一个期限是零利率的寿命。模型波动率空间中的这两项与掉期期权波动率矩阵中的两项相对应。此功能使我们能够根据整个交换选项矩阵精确校准模型，并计算结构化产品的bucket vegas。2模型该模型的基本假设与大多数模型相似，即（i）零息债券、掉期、掉期期权和结构性产品等利率产品在市场上流动交易；（ii）所有交易成本，例如。

买卖价差和税收等可以忽略；（iii）市场信息是透明的，因此不存在任何风险机会。与其他模型一样，我们假设（iv）所有利率产品的市场价格都由一个或多个金融数量驱动。然而，在我们的模型中，特定的驱动因素是固定期限债券的零利率，这将在下面简要描述。在本节中，我们将开发一个连续市场中的利率模型，其中随机利率过程，例如r=r（t），被假定为时间t的连续函数。在附录中，我们将该模型扩展到一个简单的市场，其中利率过程变为右连续。设t和t为两个时间步，0≤ t<t，而P（t，t）是在t时生成的azero息票债券的时间t价格。我们知道键的寿命是T- t时间t。在我们的工作中，我们将对债券的零息票利率（在本文中，我们简称为零利率）进行建模，表示为y=y（t，t- t） ，其中指定了键寿命t-t作为一个论点，强调它是固定到期债券的利率。与零利率相对应的一种工具是市场上广泛交易的CMS。因此，债券价格可以用p（t，t）=expn表示- y（t，t- t） ·（t- t） o.（2.1）我们用b（t）=expnZtr（τ）dτo表示时间t的银行账户价值，（2.2），其中r（t）是一个随机短期利率过程。让我们考虑一种期限很短的债券t=t+h。如果我们在时间t向债券投资1美元，在时间h内，我们会得到利息（1- P（t，t+h））/P（t，t+h）≈ y（t，h）·h。如果我们在银行账户上也这样做，我们得到的利息接近r（t）·h。在无套利市场上，这两种利息应该是相同的。因此，我们假设limT→ty（t，t- t） =r（t），且无需单独研究r（t）的Stocastic性质。

在下文中，我们将表明，在不同的时间，相同寿命的短率被简化为两个零率。然后，我们定义了远期利率。让y（t，t-t） 和y（t，t- t+h）对于分别在t和t+h到期的两份债券，t、f时的利率为两个零。间隔t的时间t转发速率≤ t<t+h由f（t，t）定义- t、 h）=hlogP（t，t）P（t，t+h）=y（t，t- t+h）·（t- t+h）- y（t，t- t） ·（t- t） h.（2.3）使用远期利率，债券价格P（t，t+h）可以表示为asP（t，t+h）=expn- y（t，t- t） ·（t- t）- f（t，t- t、 h）·ho，（2.4），这意味着P（t，t+h）所赚取的利息可以分为两部分，一部分来自于早期到期债券P（t，t）的零利率，另一部分来自于远期利率。远期利率是两种不同期限债券之间的另一座桥梁。现在我们来谈谈基本定价理论。它指出，在无套利电子市场中，存在一个风险中性指标，以银行账户为基准，因此比率（t，t）B（t）=expn- y（t，t- t） ·（t- t）-Ztr（τ）dτo（2.5）是时间段0的鞅≤ t型≤ T因此，将伊藤-多布林公式应用于（2.5），dhP（t，t）B（t）i=e（····）h- （T- t） dy+ydt- rdt+（T- t） dyi，（2.6）鞅条件意味着上述方程的右侧与布朗运动dwt成比例。我们假设-（T- t） dy+ydt- rdt+（T- t） dy=-（T- t） σdwt，（2.7），其中σ=σ（t，t-t） 与y=y（t，t）相关的正常波动率-t） 。取上述方程的方差，忽略dt的高阶项，我们得到dy=σdt。因此，（2.7）变为（T- t） dy公司- ydt+rdt-（T- t） σdt=（t- t） σdwt。

（2.8）设s=T- t、 ds=-dt，自（T- t） dy公司- ydt=shy（t+dt，s+ds）- y（t，s）i+y（t，s）ds=shy（t+dt，s+ds）- y（t+dt，s）+y（t+dt，s）- y（t，s）i+y（t，s）ds=shy（t+dt，s）-y（t，s）i+shy（t+dt，ξ+ds）- y（t+dt，s）i+y（t，s）ds。（2.9）我们使用y=y（t+dt，s）- y（t，s）表示y=y（t，s）相对于第一个参数t的偏导数，其中第二个参数s=t-t保持不变。因此，shy（t+dt，s）-y（t，s）i=sy=（T- t）y（t，t- t） 。（2.10）此外，我们表示键P（t，t）的瞬时正向速度- t） 按f（t，t- t、 0）。然后，shy（t+dt，s+ds）- y（t+dt，s）i+y（t，s）ds=shy（t，s+ds）- y（t，s）+O（dt）i+y（t，s+ds）ds+O（dt）=y（t，s+ds）·（s+ds）- y（t，s）·s+O（dt）=-f（t，t- t、 0）dt+O（dt）。（2.11）去掉O（dt）项后，（2.8）变成（T- t）y- （f）- r） dt公司-（T- t） σdt=（t- t） σdwt。（2.12）因此，除以（T- t） 在公式中，我们得到了零速率y（t，t）正态过程的动力学方程- t） ，则，y型=f- rT公司- t+（t- t） σdt+σdwt。（2.13）备注：该模型已制定了零鼠动力学的正常过程。当（2.13）中的正态波动率σ替换为对数正态波动率yσ时，可以得到对数正态模型过程。然而，我们应该牢记最近欧元、日元和瑞士法郎市场的负利率问题。由于对财务变量的对数正态分布的基本假设，一些模型在定价时失败。为了对期限结构利率的动力学进行建模，我们考虑了一组零息票债券P（t，t），P（t，t），···，P（t，TK），这些债券的生命期s=t- t、 s=t- t、 ···，sK=TK- t、 第k个零速率由yk（t）=y（t，sk）表示，转发速率fk（t）=f（t，sk，0）也是如此。

在一个单因子模型的框架中，我们假设所有的零利率都由一个布朗运动dwtwi驱动，其波动性σk（t）=σ（t，sk）。当我们将（2.13）t应用于这些K个零速率时，我们有一组K个动力学方程：yk（t）=fk（t）- r（t）sk+σk（t）skdt+σk（t）dwt，k=1，2，···，k.（2.14）当发现k零利率yk（t）=y（t，sk），k=1，2，···，k时，我们将能够在t时建立一条系数曲线，用于衍生工具定价。动力学方程可以通过以下方式扩展到多因素模型。设dw=（dwa，dwb）为二维独立布朗运动。（2.14）中的差异项可以写成ash ~σk·dwi=σk（cosθ·dwa+sinθ·dwb）。（2.15）我们不能将θ作为速率寿命sk的函数：θ=πskLmax，（2.16），其中Lmaxis是指数的最大寿命长度，例如，swaption矩阵中swapterms的最大年数。因此，短期利率Y主要取决于dwa，而长期利率YK将遵循dwb。这应该是建模CMS排列选项（例如CMS30Y）的良好设置-CMS2Y），如果长期和短期利率相互独立。同样，我们可以使三维布朗运动σk·dwi=σk（cosθcosφ·dwa+sinθcosφ·dwb+sinφ·dwc）。（2.17）其中φ可以是时间t的函数。因此，期限结构动力的一般形式成为yk（t）=fk（t）- r（t）sk+σk（t）skdt+h~σk·dwi，k=1，2，····，k.（2.18）在本节末尾，我们对模型波动率σ=σ（t，s）进行了注释。它还有两个参数，对应于零速率y（t，s）的参数。因此，该模型是一个真正的双期限结构模型。在数值计算中，模型挥发性表面σ（t，s）可以用某些术语点的有限离散参数σik=σ（ti，sk）表示。

非术语点的值将通过双线性插值获得。3构建随机过程从本节开始，我们提出了一个实现双项零利率模型的数值方案。我们将使用零鼠模型专门关注这些主题。其他常见的定价技巧将不予讨论。设t=t，t，t，········································································- tn.首先，我们为建模定义了零息票贴现系数。设零率y（tn，s）和t时间tn的概率分布用一组值y（tn，s，q）表示，q=1，2，····，q。表达式中的数字q也可参考aMonte Carlothe路径的索引。y（tn，s，q）的零息票贴现系数由dfn（s，q）=expn定义- y（tn，s，q））·so。（3.1）本文简称为贴现因子。路径tn处的状态为Aield曲线，该曲线由一系列离散贴现因子dfn（sk，q），k=1，2，···，k以及插值方法表示。我们使用贴现系数曲线作为状态变量，因为它是计算许多其他金融量的最基本元素。