时变参数模型的另一种估计方法

众所周知，（13）是给定YT的β的最小方差线性无偏估计，即使我们不假设误差为正态分布（见Durbin和Koopman（2012）等）。3.2基于GLS的估计器和KalmanSmootherIt的等效性可以将方程（3）和（4）写成另一种矩阵形式，以应用常规回归分析：年初至今-b*=Z-C-1.β +εη. （15） 该规范与Duncan和Horn（1972）以及Maddala和Kim（1998）的规范相似。我们的规范与Duncan和Horn（1972）的规范之间的主要区别在于，前者适用于时变参数模型，而后者适用于更一般的状态空间模型，这使得过渡方程具有灵敏度矩阵F（即，当方程（2）为βt=Fβt时-1+ηt）。因为我们不需要估计转移矩阵，所以方程（15）中的回归器都是已知的。相比之下，Duncan和Horn（1972）假设矩阵F已知，这使得他们的估计不切实际。Maddala和Kim（1998，第469-470页）的原始形式与我们的类似，但它是标量yt的一般形式。因此，它似乎不打算处理时变参数模型的自回归部分，也不考虑向量过程。

然而，对于一个简单的标量情况，Maddala和Kim（1998）指出，GLS等价于Kalman平滑估计，无需正式证明。正如Duncan和Horn（1972）所述，关于卡尔曼滤波和传统回归模型之间的相似性和差异的混淆源于这样一个事实，即前者是β的期望值，条件是关于YT的信息，即β在YT所跨越的空间上的线性投影（前提是误差是正态分布的）；后者是从属变量在回归器所跨越空间上的线性投影，是方程（15）左侧在Hz所跨越空间上的投影-C-10i。然而，Duncanand Horn（1972）基本上表明（15）的GLS通过时间t观测得出了卡尔曼滤波估计。因此，一个自然的猜测是，当GLS应用于所有观测值YT时，我们得到了β的Kalman平滑估计。事实上，这个猜想是正确的，我们有以下命题。命题1模型（15）的GLS估计量产生卡尔曼平滑估计（13）及其均方误差矩阵（14）。证据见附录。3.3 GLS估计在存在时不变截距的情况下正如我们在前一节中讨论的，我们的模型允许时不变截距。因此，很容易确定此类模型的GLS估计值。为此，假设时不变截距未知，让我们定义未知参数的向量β*=hvβi.然后，类似于（15）的回归矩阵形式为年初至今-b*=I Z0-C-1.β*+εη. （16） 这里，与Kalmansmoothing（8）相比，使用回归方法（16）的优点之一是未知截距向量v与β同时估计。

然后，可以证明GLS估计bv确实是最大似然估计。命题2模型（16）的GLS估计bv是（8）的最大似然估计（MLE），BVML以H、Q和b为条件*.证据根据似然函数（9），与v areI有关的正规方程Ohm-1（年初至今- ZCb公司*- IBMML）=0。因此，v的MLE是BVML=我Ohm-1I-1IOhm-1（年初至今- ZCb公司*) . （17） 现在，GLS对β的估计*在模型（16）中，arebβ*=bvbβ=IH公司-1I IH-1ZZH-1I ZH-1Z+C0-1季度-1C级-1.-1.IH公司-1ZH-1.年初至今+OC公司-10季度-1.b*.（18） 利用引理，我们得出以下结论（详见附录）：bv=我Ohm-1I-1IOhm-1（年初至今- ZCb公司*) .这证明了bvML=bv。命题3模型（16）的GLS估计Bβ是模型（8）的卡尔曼平滑估计。证据由于截距，卡尔曼平滑估计值为noweβ=Cb*+ CQCZ公司Ohm-1（年初至今- （四）- ZCb公司*) . （19） 从（18）中，Bβ=Cb*+ CQCZ公司Ohm-1（年初至今- Ibv公司- ZCb公司*) .我们证明了等价性。很明显，基于GLS的方法可以计算Kalman平滑β并同时估计未知截距v。下一个问题是我们如何获得关于bβ的统计推断。更准确地说，问题在于GLS basedapproach是否会产生与Kalman平滑器相同的MSE。对于bβ，这个问题的答案是否定的。命题4卡尔曼平滑估计的均方误差isV ar（β| YT）=CQC- CQCZ公司Ohm-1ZCQC，（20）而根据基于GLS的方法估计的方差（18）为isV arbβ= CQC-CQCZ公司Ohm-1ZCQC+CQCZOhm-1I我Ohm-1I-1IOhm-1ZCQC。（21）证明。见附录。卡尔曼平滑V ar（β| YT）与基于GLS的方差V ar之间的差异bβ是CQCZOhm-1I（IOhm-1I）-1IOhm-1ZCQC，与v的估计有关。如果我们不必估计v，（正如我们为Kalman SmoothDestinate假设的那样）v ar（β| YT）和v arbβ都是一样的。

换言之，如果v已知，则卡尔曼平滑估计的theMSE与GLS BaseDestinate的方差相同。事实上，如果V ar（bv）=（IOhm-1I）-1=0，这两个估计值是相悖的。这一结果反映出这两种方法得出的估计值和均方误差与命题1中的相同。然而，这里重要的是，我们可以通过利用Bβ的估计方差获得（20）*共（18）。更具体地说，我们可以通过V ar（β| YT）=V ar来估计卡尔曼平滑估计的均方误差bβ- Cov公司bβ，bvV ar（bv）-1科夫bβ，bv.3.4 GLS在实践中我们在前面的小节中看到，在已知误差方差协方差矩阵（H和Q）的情况下，β的GLS估计量与卡尔曼平滑估计量相同。然而，在实践中，这些方差-协方差矩阵通常是未知的。为了找到FGLS估计器，通常使用两步方法：首先，可以通过普通最小二乘法（OLS）估计β。然后，使用OLS残差计算H和Q的估计值，分别表示为asbH和Bq。作为第二步，假设Mumingbh和Bq分别是ε和η的方差协方差矩阵，则将FGLS应用于我们的模型。然而，FGL有两个问题。首先，H和Q可能涉及太多未知参数。例如，当我们处理一个有k个变量的TV-VAR（p）模型时，H有（T-p） 和Q具有相同数量的k（kp+1）×k（kp+1）矩阵。第二个问题是可能的异方差性。假设ε的大小远大于η。更准确地说，当H的平均轨迹比Q的平均轨迹大得多时。在这种情况下，我们基于GLS的方法在回归方程（15）中使用Hasheteroskedastity，可能会导致β的估计不精确。

当H的平均迹线和Q的平均迹线大小相似时，这一问题得到很大程度的缓解。为了解决这两个问题，我们提出以下FGLS程序第1步。我们通过OLS估计模型（15），并通过OLS获得β的估计值，bβO。根据OLS残差，bε和bηt，我们构建了HtandQt的第一步估计值：bHt=t- pTXt=p+1bεtbεtandbQt=T- pTXt=p+1bηtbηt。然后，为了构造H和Q的估计值，分别用bhoandbqo表示，我们设定hp+1=bHp+2=·····=bHTandbQp+1=bQp+2=····=bQT。这是为了假设ε和η的方差是时不变的。这一假设绝对不可取，因为许多与TV-VAR模型相关的研究都集中在随机波动率模型上，例如，要求BQT6=bQt+1。下一节中的模拟将揭示当存在随机波动时，这种假设对估计的影响有多严重。对于bhoandbqo，对数似然度由（9）或（10）计算得出步骤2（1FGLS）。在给定bho和bqo的情况下，我们应用FGLS得到bβG1，这是β的offgls或1FGLS估计。我们还计算了H和Q的估计值，分别表示DASBHG1和BQG1，计算方法与我们在第一步计算BHOA和BQ的方法相同。然后，计算对数似然函数的值步骤3（2FGLS）。我们重复步骤2，计算bβG2，这是β的（第二次）FGLSor 2FGLS。然后，计算对数似然函数的值。总之，我们的程序基于以下假设，即误差项具有时不变方差，并且H和Q的不同大小所产生的异方差可以通过重复使用FGL正确处理。

为了验证我们的假设和程序，我们将在下一节通过模拟研究我们的程序精确估计真实β的程度。4模拟在TV-VAR文献中的一些有效实证研究中，Cogley和Sargent（2001、2005）以及Primiceri（2005）都采用了三变量TV-VAR（2）模型。因此，在我们的模拟研究中，我们采用相同的规格，并使用模拟来评估基于GLS的方法恢复真实时变参数的效果。首先，我们计算估计的时变参数的均值和方差，并将其与真实时变参数的均值和方差进行比较。这是为了评估基于GLS的方法在估计时变参数方面的准确性。虽然将估计值的一阶矩和二阶矩与真实过程的一阶矩和二阶矩进行比较可能不足以确定基于GLS的方法是否产生精确的估计值，但这是掌握估计值总体准确性的一种有用方法。其次，我们考虑了堆积问题的可能性。根据Primiceri（2005），在估计时变参数模型时，首选贝叶斯方法。这是因为，除其他原因外，贝叶斯方法可以潜在地避免堆积问题。目前还不清楚这个问题对我们的估计有多大影响，因为文献（如Shephard和Harvey（1990））仅为有限（简单）的案例提供了理论规划。另一方面，我们的模型可以具有时变项的向量（βt），这与之前为简单起见分析标量时变项的研究不同。因此，对revealIn加法进行模拟研究是合理的，我们可以计算对数似然函数的值来评估FGLS的重复使用是否会提高估计精度。

在整个模拟过程中，一个普遍趋势是上述2FGLS比1FGLS具有更高的似然值。我们基于GLS的方法在多大程度上缓解了堆积问题。由于当状态方程误差方差很小时，或当信噪比很小时，对堆积问题的关注变得更强烈，因此我们通过在数据生成过程中改变信噪比，更全面地研究了基于GLS的方法的性能。第三，当存在随机波动率和非高斯误差时，我们还评估了基于GLS的方法的性能。研究基于GLS方法的随机波动性影响的原因是，宏观经济研究，包括Cogley和Sargent（2005）和Primiceri（2005），一直允许在TV VAR模型中出现此类冲击。虽然基于GLS的方法不需要假设i.i.d.误差来获得βt的估计值，但我们感兴趣的是基于GLS的方法的准确性在多大程度上受到误差随机波动性的影响。对于非高斯误差，我们的重点是时变系数βt中可能存在的结构突变。通过允许正常误差的混合，如以下小节所述，我们可以模拟βt中的结构突变或突变，而不是时变模型通常假设的渐进变化。我们的仿真研究有望阐明当存在此类误差时，基于GLS的方法的性能。最后，正如我们在第1节中提到的，我们将OLS视为基于GLS的方法的一个组成部分，因此，我们使用仿真研究OLS的性能。

这是因为，一般来说，FGL相对于OLS的性能并不明确，特别是当我们有一个小样本时。4.1数据生成过程我们通过方程（3）和（4）系统生成伪数据，T={100，250}，H={0.02I，0.2I，1I，10I}，Q={0.03I}。通过改变观测方程的误差方差，我们考虑了信噪比的作用。在下面的内容中，我们将SNRas定义为ηt方差协方差矩阵的平均轨迹相对于εt方差协方差矩阵的平均轨迹：在我们的模拟中，我们考虑0.03/0.02、0.03/0.2、0.03/1和0.03/10的SNR。当我们考虑堆积问题的可能性时，信噪比尤其重要，这将在下一节中讨论。对于初始值，我们设置b*= 0.4.1.1非高斯误差采用时变模型进行宏观经济研究的最初动机是考虑到βt的逐渐变化。然而，βt可能存在一些结构突变或突变，这意味着β在样本的某个点之前几乎是恒定的，例如Tb；之后，它会跳到不同的水平。模拟这种中断的一种方法是假设ηt的非高斯误差。特别是，我们假设误差向量ηt的每个元素的正态分布的混合物（Perron和Wada（2009））：ηit=λtζ1，t+（1- λt）ζ2，此处为λt~ i、 内径伯努利（0.95）ζ1，t~ N0, 0.03, ζ2，t~ N0, 0.1.直观地说，概率为95%，ηtisζ1，t，由方差很小的正态分布得出。这个小ηt随时间保持βtnearly恒定。然而，从具有（相对）较大方差的正态分布中得出一个较大的ηt，即ζ2，t。该ηt将βt跳到一个新的水平，概率为5%。

由于我们使用高斯误差假设来推导GLS和Kalmansmoothed估计量之间的等价性，因此应通过仿真来评估非高斯误差对GLS估计量估计βt准确性的影响。4.1.2随机波动率和自回归随机波动率Yas Cogley和Sargent（2005）认为，针对Cogley和Sargent（2001）的批评，假设冲击方差εt随时间变化更为灵活和现实。直觉上，并非所有冲击都是由相同的i.i.d.过程产生的。基于GLS的方法的一个独特特征是，它可以处理Qt内的异方差性。这意味着，至少在理论上，我们可以估计随机波动率的时变模型，例如Primiceri（2005）使用的模型。泰勒（2007）和其他人描述的自回归随机波动率过程也可能出现误差项εt。然而，一般来说，FGL只是一种补救措施，当存在异方差时，可以更精确地估计系数（在我们的例子中，βt），并且FGL不是最初设计来估计误差项（或其方差）所遵循的过程。然而，我们使用以下数据生成过程来评估基于GLS的方法的性能。εit=φ，tξtlog hi，t=ρlog hi，t-当考虑随机波动率时，ρ=1，当考虑自回归随机波动率时，ρ=0.9；ε是εt的第i个元素。我们假设log hi，0=0，et~ N（0，0.02）和ξt~ N（0，1）。4.2估计的βt的均值和方差，以及可能性，因为我们的模拟是一个具有时变截距的TV-VAR（2）模型，βt是一个21×1的向量。让βt，i，ndente表示真（DGP）βt，i，n（即向量βt，n的第i个元素），让bβGt，i，ndente表示基于GLS的βt，i，n估计。

因为在实践中，我们不知道b*当计算βt，i，n时，我们估计b*作为全样本时不变（通常）VAR（2）模型的系数向量，然后用GLS估计βt，i，nb。然后计算样本期间估计值的样本均值和样本标准偏差：bβGi，n=T- pTXt=p+1bβGt，i，n（22）sdbβGi，n=武特- p- 1TXt=p+1bβGt，i，n-bβGi，n. （23）同样，我们计算真实（数据生成）过程的值：βi，n=T- pTXt=p+1βt，i，n（24）sd（βi，n）=vuutT- p- 1Text=p+1βt，i，n- βi，n. （25）通过（22）和（23）以及DGP对应（24）和（25），我们有21个平均值和标准偏差用于每个复制。在N=1000次复制后，我们计算bβGi、N、βi、N、sd的平均值bβGi，n, 和sd（βi，n）在复制过程中。然后我们有21个时变参数平均值和21个标准差平均值（即，i=1，2，…，21）。mGi=NNXn=1bβGi，n；mi=NNXn=1βi，n（26）sGi=NNXn=1sdbβGi，n; si=NNXn=1sd（βi，n）（27）由于m和s都是聚合平均数，因此m和mGor之间以及sg之间的微小差异仅表明基于GLS的方法效果良好。因此，我们进一步研究了β和bβG的相似性。比较β的每个元素，我们定义了距离“dist”，如下所示。距离=N（T- p） NXn=1TXt=p+1βt，i，n-bβGt，i，n. （28）同样，我们将β各元素的标准偏差作为bβGi的标准偏差与真实过程的标准偏差的比率进行比较，βi，n：比率=NNXn=1sdbβGi，nsd（βi，n）。（29）在这项模拟研究中，我们将重点放在距离和比率上。