高维全局最小方差投资组合的估计

为了节省篇幅，我们将此断言的详细技术证明留给读者。定理2.1的证明：让我们回忆一下用α表示的最佳收缩强度*n=bn∑nbn-S-1n∑nbnS-1nS-1n∑nS-1n（1S-1n1）- 2秒-1n∑nbnS-1n+bn∑nbn。（6.8）它认为-1n1=limz→0+tr（序号- z∑n）-1.= 林茨→0+tr“nXnXn- zI公司-1Σ-n∑-n#（6.9）S-1n∑nbn=limz→0+tr（序号- z∑n）-1∑nbn= 林茨→0+tr“nXnXn- zI公司-1∑nbn∑-n#（6.10）秒-1n∑nS-1n1=ztr“nSn公司- z∑n-1#z=0=ztr“nXnXn- zI公司-1Σ-n∑-n个#z=0。（6.11）设ξn（z）=tr“nXnXn- zI公司-1Θξ，其中Θξ=∑-n∑-nandζn（z）=tr“nXnXn- zI公司-1ΘζΘ其中Θζ=∑nbn∑-n、 矩阵Θξ和Θζ都具有有界迹范数，因为kΘξktr=1∑-1n1≤ M-1landkΘζktr=q∑-1npbn∑nbn≤rMuMl。那么，对于所有z∈C+，我们从引理6.1 |ξn（z）得到-（x（z）-z）-1tr[ξ]|=|ξn（z）-（x（z）-z）-1Σ-1n1 | a.s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞ （6.12）和|ζn（z）- （x（z）-z）-1tr[Θζ]|=ζn（z）- （x（z）- z）-1.a、 s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞, （6.13）其中x（z）在（6.2）中给出。使用limz→0+（x（z）-z）-1= (1 -c）-1将（6.12）和（6.13）与（6.9）和（6.10）相结合，得出| 1-1n1- (1 - c）-1Σ-1n1 | a.s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞ （6.14）和S-1n∑nbn- (1 - c）-1.a、 s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞. （6.15）最后，使用等式zx（z）- zz=0=-x（z）- 1（x（z）- z）z=0=-1.-1+c-z√(1-c+z）-4z- 1（x（z）- z）z=0=（1- c） ，（6.16）我们得到ξn（0）-z（x（z）- z）-1.z=0tr[Θξ]= |ξn（z）- (1 - c）-3Σ-1n1 | a.s。-→ p/n为0（6.17）→ c>0为n→ ∞. 因此，| 1S-1n∑nS-1n1- (1 - c）-3Σ-1n1 | a.s。-→ 0表示p/n→ c>0为n→ ∞. （6.18）（6.14）和（6.18）的应用导致σSa。s-→(1 - c）-3Σ-1n（1- c）-2(1Σ-1n1）=（1- c）-p/n的1σgmvf→ c>0为n→ ∞,而另外使用（6.15）我们得到α*不适用。s-→ α*带α*=bn∑nbn-(1 - c）-1(1 - c）-1Σ-1n（1- c）-1σGMV- 2(1 - c）-1(1 - c）-1Σ-1n+bn∑nbn=（1- c） Rbc+（1- c） RBF零件号→ c>0为n→ ∞.

数量RBI是由于假设σbn而存在的RBN极限≤ μ和σGMV≥ 这两个等式完成了定理2.1的证明。定理2.2的证明：在c>1的情况下，最佳收缩强度由α+n=bn∑nbn给出-S*n∑nbnS*nS系列*n∑nS*n（1S*n1）- 2秒*n∑nbnS*n+bn∑nbn。（6.19）LetΘξ=∑-n∑-nandΘζ=∑nbn∑-n、 使用S的定义*ngiven-in（2.16）和theequality（XnXn）+=Xn（XnXn）-2Xn，我们得到*n1=trhXnXn+Θξi=trhXnXnXn-2XnΘξi=ztrhXnXnXn- 吉恩-1XnΘξiz=0秒*n∑nbn=trhXnXn+Θζi=trhXnXnXn-2XnΘζi=ztrhXnXnXn- 吉恩-1XnΘζiz=0秒*n∑nS*n1=trXnXn+-2Θζ= trhXn公司XnXn-3XnΘξi=ztrhXnXnXn- 吉恩-1XnΘξiz=0。Woodbury公式的应用（矩阵反演引理，参见Horn和Johnson（1985））XnXnXn- 吉恩-1Xn=Ip+zXnXn- 拉链-1（6.20）条导线到*n1型=zztrh公司XnXn- 拉链-1Θξiz=0秒*n∑nbn=zztrh公司XnXn- 拉链-1Θζiz=0秒*n∑nS*n1型=zztrh公司XnXn- 拉链-1Θξiz=0。从定理2.1的证明可知，矩阵Θξ和Θζ都具有有界跟踪范数。然后引理6.1的应用导致*不适用。s-→zzx（z）- zz=0tr[Θξ]=zzx（z）- zz=0∑-1n1（6.21）秒*n∑nbna。s-→zzx（z）- zz=0tr[Θζ]=zzx（z）- zz=0（6.22）秒*n∑nS*不适用。s-→zzx（z）- zz=0tr[Θξ]=zzx（z）- zz=0∑-1n1（6.23）用于p/n→ c>1作为n→ ∞, 其中x（z）在（6.2）中给出。让我们用以下符号θ（z）=zx（z）- zandφ（z）=x（z）- zx（z）z.（6.24）那么θ（z）的一阶和二阶导数由θ（z）=θ（z）φ（z）和θ（z）=2θ（z）θ（z）φ（z）+θ（z）φ（z）给出。

（6.25）使用L\'Hopital规则，我们得到θ（0）=limz→0+θ（z）=limz→0+zx（z）- z=直线度→0+（x（z）- 1)=1.-1+c | 1- c类|- 1= -c- 1c，（6.26）φ（0）=limz→0+φ（z）=limz→0+x（z）- zx（z）z=-林茨→0+x（z）=-林茨→0+-2c（（1- c+z）- 4z）3/2=c（c- 1） ，（6.27）林茨→0+φ（z）=- 林茨→0+2（x（z）- zx（z））+zx（z）z=- 林茨→0+2φ（z）+x（z）z=- 林茨→0+（2φ（z）+x（z）），表示φ（0）=limz→0+φ（z）=-林茨→0+x（z））==-林茨→0+6c（z- c- 1)((1 - c+z）- 4z）5/2=2c（c+1）（c- 1). （6.28）结合（6.25）、（6.26）、（6.27）和（6.28），我们得到θ（0）=limz→0+θ（0）=θ（0）φ（0）=c（c- 1） ，（6.29）θ（0）=limz→0+θ（z）=θ（0）φ（0）+θ（0）φ（0）=（c- 1). （6.30）最后，将最后两个等式与（6.21）、（6.22）和（6.23）一起应用，得出α+na。s-→ α+forpn→ c∈ (1, +∞) 作为n→ ∞,其中α+=bn∑nbn-θ(0)θ(0)1Σ-1nθ（0）1∑-1n（θ（0）1∑-1n1）- 2θ(0)θ(0)1Σ-1n+bn∑nbn=（c- 1） Rb（c- 1） +c+（c- 1） Rbwith Rbn→ RbandσS*a、 s。-→θ(0)1Σ-1n（θ（0）1∑-1n1）=立方厘米- 1σGMVforpn→ c∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （6.31）这就完成了定理2.2的证明。定理2.3的证明。首先，我们注意到，量1S的渐近分布-1nhas已在定理2.1中推导出来。从（6.14）我们得到1∑的一致估计-1nis给定比亚迪∑-1n1=（1- 零件号）1S-1n1表示c<1，（6.32）d∑-1n1=零件号（零件号- 1） 1秒*n1表示c>1。（6.33）为了完成定理2.3的证明，我们需要Rubio和Mestre（2011）引理6.3的以下引理。设{ξ，…，ξn}是一个具有零均值和单位方差的i.i.d.实随机向量序列，对于某些ε>0，具有一致有界的4+ε矩，设Cn是具有有界迹范数的非随机矩阵。那么它认为nnXi=1ξiCnξi- tr（中国）a、 s。-→ 0表示p/n-→ c∈ (0, +∞) 作为n→ ∞. （6.34）接下来，我们按照以下方式重写BNSNBN=nnXi=1xi∑nbnbn∑nxi=nnXi=1xiRnxi（6.35），其中xi是矩阵Xn的第i列。

对于引理6.3的应用，我们必须证明矩阵Rn在单位上有一个有界迹范数。它认为| | Rn | | tr=bn∑nbn≤ Mu（6.36），因此，矩阵RN的迹范数的有界性直接来自于假设BN∑nbn≤ 亩。引理6.3的应用导致bnSnbn- bn∑nbna、 s。-→ 0表示p/n-→ c∈ （0，1）为n→ ∞, （6.37）与（6.32）一起暗示了定理2.3的陈述。参考文献【1】Bai，J.（2003），《大维度因素模型的推理理论》，计量经济学71135-171。[2] Bai J.和S.Shi（2011），《估计高维协方差矩阵及其应用》，《经济和金融年鉴》12-2199-215。[3] Bai Z.D.和J.W.Silverstein（2010），《大维随机矩阵的谱分析》，斯普林格：纽约；多德雷赫特；海德堡；伦敦[4] Bodnar，T.和W.Schmid（2008），《非光学模型中全球最小方差投资组合的权重测试》，Metrika 67127-143。[5] Bodnar，T.和W.Schmid（2009），《样本效率前沿的计量经济学分析》，《欧洲金融杂志》15，317-335。[6] Bodnar，T.、Gupta A.K.和N.Parolya（2014），关于大维协方差矩阵的最优线性收缩估计的强收敛性，多元分析杂志132215-228。[7] Brandt，M.（2010），《投资组合选择问题》，载于：Y.Ait-Sahalia和L.P.Hansen（编辑），《金融计量经济学手册》，269-330。[8] DeMiguel，V.、Garlappi，L.、Nogales，F.J.和Uppal，R.（2009），《投资组合优化的一般方法：通过约束投资组合规范提高绩效》，管理科学55718-812。[9] El Karoui，N.（2010年）。Markowitz问题和其他具有线性约束的二次规划中的高维效应：风险低估。《统计年鉴》383487-3566。[10] Elton，E.J.、Gruber，M.J.、Brown，S.J.和Goetzmann，W.N。

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