交易费用下的后验多阶段最优交易

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英文标题：
《A posteriori multi-stage optimal trading under transaction costs and a
  diversification constraint》
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作者：
Mogens Graf Plessen, Alberto Bemporad
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper presents a simple method for a posteriori (historical) multi-variate multi-stage optimal trading under transaction costs and a diversification constraint. Starting from a given amount of money in some currency, we analyze the stage-wise optimal allocation over a time horizon with potential investments in multiple currencies and various assets. Three variants are discussed, including unconstrained trading frequency, a fixed number of total admissable trades, and the waiting of a specific time-period after every executed trade until the next trade. The developed methods are based on efficient graph generation and consequent graph search, and are evaluated quantitatively on real-world data. The fundamental motivation of this work is preparatory labeling of financial time-series data for supervised machine learning.
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中文摘要：
本文提出了一种在交易成本和多元化约束下的后验（历史）多变量多阶段最优交易的简单方法。从某种货币的给定金额开始，我们分析了在多货币和各种资产的潜在投资情况下，在一个时间范围内的阶段性最优配置。本文讨论了三种变量，包括无限制的交易频率、固定数量的可接受交易总量以及在每次执行交易后等待特定时间段直到下一次交易。所开发的方法基于高效的图生成和后续图搜索，并在真实数据上进行了定量评估。这项工作的基本动机是为有监督机器学习准备金融时间序列数据的标记。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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关键词：交易费用 交易费 Applications Quantitative Mathematical

交易成本和多元化约束下的后验多阶段最优交易*+ 和Alberto Bemporad++IMT高等研究学院卢卡，Piazza S.Francesco 19，55100 Lucca，Italy本文提出了一种后验（历史）多变量多阶段最优交易成本和多元化约束的简单方法。从以某种货币表示的给定金额开始，我们分析了在多个货币和各种资产中的潜在投资在一个时间范围内的阶段性最优配置。讨论了三种变量，包括无约束交易频率、可接受交易总数的固定数量以及每次执行交易后到下一次交易的特定时间段的等待。所开发的方法基于高效的图生成和后续图搜索，并根据实际数据进行定量评估。这项工作的基本动机是为监督机器学习准备金融时间序列数据的标签。关键词：后验最优交易、交易成本、多元化约束、多变量、多阶段交易、金融时间序列数据标记。向交易员和投资组合经理提供算法帮助已成为标准做法。它可以区分算法交易，即全自动高频或低频交易，以及算法筛选或半自动高频或低频交易，其中计算机程序向人类交易员提供建议。算法交易和筛选基本上都基于对未来发展的预测。预测可能基于财务会计、技术图表分析、全球宏观经济分析、新闻、情绪及其组合。

有大量关于金融时报系列预测的文献。有关基于支持向量机的方法，请参见，例如，Tay、F.E.和Cao*通讯作者。电子邮件：mogens。plessen@imtlucca.it【2001年】、Kim，K【2003年】、Van Gestel，T.等人【2001年】和Chowdhury等人【2018年】。一般而言，影响交易决策的因素包括交易频率、目标时间范围、绩效预期、资产选择、汇率、交易成本和风险管理，例如投资多元化。我们的论文属于技术图表分析类。分析所依据的数据是各种货币和资产的每日调整收盘价。卖空、借款和衍生品交易不受处理，尽管所提出的方法可以扩展到包括它们。本文的动机和贡献有三个方面：i）在交易成本和多元化约束下，开发了一个后验（历史）多变量多阶段最优交易的简单算法，包括讨论无约束的交易频率、可接受的总交易数量，以及在每次执行交易后的特定时间段内等待下一次交易；ii）交易成本对根据真实数据评估的后验最优交易的影响的量化；最后iii）为监督机器学习准备金融时间序列数据标签。本文与Boyarshinov，V.和Magdon Ismail（2010）的工作关系最为密切，他们讨论了在考虑无约束交易频率和可接受交易数的界的情况下，一只股票或一只债券的最优投资的动态规划解。此外，还提出了一种优化Sterling和Sharpe比率的方法。

不过，Noreal world进行了数据分析。此外，我们还讨论了多元化约束、在每次执行交易后引入等待期直至下一次交易的约束以及同步交易约束。此外，我们还引入了约束最优投资问题的启发式方法（在可接受交易数上有一个界和一个等待期约束），从而降低了方法的计算复杂性，同时又不影响结果的最优性。有关通过引入各种约束来降低风险的措施的概述，例如，关于提款概率或卖空，请参见Lobo，M.S.等人【2007年】，其中，重要的是，根据一组风险资产的提前一步收益和协方差矩阵的估计进行提前一步优化。相比之下，本文关注的是多阶段优化和历史最优交易。因此，数学方法有很大不同（凸优化与图搜索）。例如，Altarovici，A.等人【2015年】、Lo，A.W.等人【2001年】、Morton，A.J.和Pliska【1995年】和Korn，R【1998年】中讨论了基于随机模型（通常为随机微分方程（SDE））和固定和/或比例交易成本的最优交易。相反，本文仅基于数据，即不考虑任何解释该数据生成的数学模型。有关金融时间序列趋势存在性的讨论，请参见Fliess，M.和Join【2009年】。

有关交易成本分析（TCA）的一般性讨论，请参见Gomes和Waelbroeck【2010年】，以及进一步的Kissell【2013年】、Kissell【2008年】和Kissell【2006年】，以了解投资组合经理如何使用TCA来提高绩效，以及制定交易前、交易内和交易后分析框架。本文的其余部分组织如下。第2节讨论了转换动态建模并介绍了符号。第3节讨论了无分流约束的多阶段优化，而第4节包括分流约束。第5节在总结第6.2节之前，介绍了基于真实世界数据的数字示例。过渡动力学的一阶段建模2.1。NotationLet时间索引t∈ Z+与交易周期Ts相关联，因此交易瞬间被描述为tTs，其中tss通常可以是，例如，一周、一天或更少（对于日内交易）。时间t处的系统状态zt定义为混合整数和实值量的八维向量，zt=hitktjtmctttntwtdtcti，（1）其中∈ I=（包括∪ INa）表示划分为NCCurrences和Nadi不同风险非货币资产的投资识别号，例如INc={0，1，…，Nc- 1} andINa={Nc，…，Nc+Na- 1}. 为便于参考，在下文中，我们将货币和非货币资产归入资产一词，仅在必要时加以区分。沿投资轨迹进行的交易的整数应以kt表示∈ Z、 其中，投资轨迹定义为一系列状态zt，t=0，1，Nt，其中Nt是时间地平线长度。让JT表示itat时间t之前的投资识别号-1（父节点），即jt=it-1、我们定义了mctt∈ R+为以ct确定的货币持有的实际价值和正现金头寸（流动性）∈ 股份有限公司

编号nt∈ Z+表示持有的非货币资产数量。当前财富由现金头寸和非货币资产组成，以WT表示，并应始终以欧元为货币单位。欧元被视为我们的参考货币，在本文中，它将被确定为=0。自上次交易以来的时间样本整数由dt定义∈ Z+。两种货币的（无单位）外汇（fx）汇率xc、CTC∈ 白炽灯c∈ 切割定义为xc，ct，以便mct=mctxc，ct。因此，mctandmcthave数值，但单位由c确定∈ 白炽灯c∈ 分别为。非货币资产价格以pct表示，其中CTI确定价格单位，a∈ INA资产。我们将汇率和资产价格视为从数据中获得的时变参数。在续集中，定义了各种可容许系统状态集。为了简洁起见，我们使用速记法。例如，我们将一个集合定义为Zt={Zt:it=10}，这意味着Zt={Zt:it=10，并且它与Zt根据（1）}关联。2.2. 交易成本对于交易成本的建模，我们遵循Lobo，M.S.等人[2007]的概念，将交易成本建模为非凸的，任何非零交易的固定费用（固定交易成本）和与交易量（比例交易成本）的线性项缩放。因此，对于时间t的前一次交换- 1，我们建模mctt=mct-1吨-1xct-1，ctt-1(1 - 计算机断层扫描-1，ctfx）- βct-1，ctfx，其中计算机断层扫描-1、CTFX和βct-1，CTFX分别表示线性项和固定电荷。同样，可以定义从货币到非货币资产、不同货币资产之间的交易成本。我们可以进一步区分买卖的线性条款。

全面引入交易成本符号(itbuy，βitbuy≥ 0），我们陈述了从现金头寸到资产投资的交易，反之亦然。购买nt的交易-1资产it-1时间t- 1，我们得到MCTT=mct-1吨-1xct-1，ctt-1(1 - 计算机断层扫描-1，ctfx）- βct-1，ctfx- nt公司-1 CT，itt-1(1 + itbuy）- βitbuy。对于出售nt的交易-1资产it-1并转换为货币ct，我们获得了MCTT=mct公司-1吨-1+nt-1件-1、it-1吨-1(1 - 它-1销售）- βit-1销售xct公司-1，ctt-1(1 - 计算机断层扫描-1，ctfx）- βct-1，ctfx。最后，请注意，交易成本可能因所涉及的资产而异。2.3. 过渡动态鉴于我们对能够投资于货币和非货币资产的假设，有六种一般类型的过渡取决于t时的投资-关于马尔可夫决策过程（MDP）的介绍，参见Puterman，M【2005年】。我们初始化z=h0 0 m0 m0 0i。然后，过渡动力学是=z（1）t，如果{it:it=it-1，zt-1使用它-1.∈ INc}，z（2）t，如果{it:it∈ INc \\{it-1} ，zt-1使用它-1.∈ INc}，z（3）t，如果{it:it∈ INa，zt-1使用它-1.∈ INc}，z（4）t，如果{it:it=it-1，zt-1使用它-1.∈ INa}，z（5）t，if{it:it∈ 公司，zt-1使用它-1.∈ INa}，z（6）t，if{it:it∈ INa\\{it-1} ，zt-1使用它-1.∈ INa}，（2）其中z（j）t，j=1，接下来定义了6，以及我们的控制变量ut-1是由变量it确定的目标投资，即ut-1=it。我们有Z（1）t=命中-1吨-1jt-1公吨-1吨-10重量-1dtct-1i，z（2）t=hitkt-1+1 jt-1^1（mctt）0 mcttxct，0 tdtiti，z（3）t=hitkt-1+1 jt-1▄mctt▄nt▄wt▄dtc（it）i，其中c（it）表示资产Itan的货币，并带有▄dt=dt公司-1+1，如果dt-1<D- 1,0，否则，Д（mctt）=mct-1吨-1xct-1，ctt-1(1 - 计算机断层扫描-1，ctfx）- βct-1，ctfx，其中变量D决定了DTF的过度流动，并且在稍后讨论等待特定时间直到下一个可接受交易的限制时，变量D将变得相关。

此外，从solvingmaxmctt获得▄mcttand▄n≥0（nt:nt=mct-1吨-1xct-1，ctt-1(1 - 计算机断层扫描-1，ctfx）- βct-1，ctfx- βitbuy- mcttpct，itt-1(1 + itbuy），nt∈ Z+，（3），其中▄mct表示优化器，而▄nt表示相应的最佳目标函数值。因此，给定mct-1吨-1、我们发现，在考虑交易成本的情况下，我们可以购买的资产的最大可能正整数数量。（少量）剩余现金为▄mctt≥ 因此，对于t时以欧元表示的投资组合财富，我们得到▄wt=（▄mctt+▄ntpct，itt）xct，0t。此外，z（4）t=命中-1吨-1jt-1公吨-1吨-1nt-1重量-1dtct-1i，z（5）t=hitkt-1+1 jt-1φ（mctt）0 mcttxct，0 tdtiti，z（6）t=hitkt-1+1 jt-1“mctt”nt“wt”dtc（it）i，带φ（mctt）=mct公司-1吨-1+nt-1件-1、it-1吨-1(1 - 它-1销售）- βit-1销售xct公司-1，ctt-1(1 - 计算机断层扫描-1，ctfx）- βct-1，ctfx，其中“mcttand”n来自solvingmaxmctt≥0（nt：nt=φ（mctt）- βitbuy- mcttpct，itt-1(1 + itbuy），nt∈ Z+，（4）用“MCTT”表示优化器，用“NT”表示相应的最佳目标函数值。然后，对于时间t（以欧元表示）的投资组合财富，我们得到“wt=（“mctt+”ntpct，itt）xct，0t。（3）和（4）的解可以通过将mct初始设置为零，然后将相应的实值nts四舍五入为最大的较小整数，然后分别计算现金残差来轻松计算。实施保留现金剩余的方法，以加强资产中的整数值股份。2.4. 关于优化和过渡动力学建模的备注投资轨迹定义为一系列状态zt，t=0，1，Nt。我们希望找到一条不理想的（在财富最大化的意义上）投资轨迹。

可以对上述问题的表述和过渡动力学建模进行几点说明。首先，假设所有初始资金都被错误地分配到了最佳投资轨道，那么就不存在多元化，并将最终回报定义为rNt=（wNt- m） /m，最优投资轨迹的回报率永远不会低于rNt<0%。这是因为一个可行的投资轨迹是，对于所有t=0，1，…，保持以初始参考货币（EUR）投资，Nt。这可以作为生成转移图的一种启发式方法加以考虑。其次，在投资非货币资产时，上述过渡动力学建模自然会导致现金残差。根据我们的建模，现金残差强制为购买资产的货币。当我们投资的非货币资产非常昂贵（例如价值数千欧元）时，这可能是次优的，因为由此产生的现金余额可能非常大。然后，一般来说，将剩余现金投资于另一种比“强制”剩余货币更有利的资产可能是值得的。有两条评论。一方面，具有这样价格的资产在实践中很少见。另一方面，更重要的是，为了允许现金剩余的自由投资，需要扩展状态空间（超过8个变量），以便任何现金剩余可以投资于任何C+Na-1资产。然后，Nc+Na-1需要向transitiongraph添加额外的分支，在最常见的情况下，也需要在后续阶段进一步分支。这使状态跟踪变得相当复杂，因此不适用于以下情况。第三，过渡动力学（2）表示全有或全无策略。

在每次t时，维持当时的投资，或者将其重新分配到恰好一种（最有利的）货币或资产，从而按照上一段所述对现金剩余进行会计处理。第四，让我们简明扼要地讨论没有交易成本对最佳交易频率的影响。为简单起见，让我们考虑一下能够投资于可变价值资产（如股票）并以风险资产交易货币持有现金的情况。相关的离散时间动力学可以写成WT=mt+ntpt，mt=mt-1.- ntpt公司-1、（5）在时间t时，利用mtt现金头寸、ntn风险资产的股份数量、ptt资产价格和wt财富。每次t时，都会做出关于重新分配投资的决定。对于最终时间段t=0，1，Nt，我们希望最大化wNt-w、 可扩展为- w=NtXt=1wt- wt公司-为了最大化（6），我们必须最大化增量。结合（5），我们写wt-wt公司-1=nt（pt- pt公司-1) - nt公司-1吨-1，从而激励以下最佳交易策略，在每个t-1、如果pt>pt-1、最大化nt并设置nt-1=0（即，向资产分配最大资源），如果pt≤ pt公司-1，设置nt=0并最小化nt-1（即，如果持有t，则出售资产-1并为现金头寸分配最大的资源）。我们支持资产价格上涨，并在价格下跌的情况下维持我们的财富。因此，最好在任何符号改变时进行交易pt=pt- pt公司-1、这如图1所示，并总结在以下备注中。我们在此假设一个长期策略。通过使用衍生合约，我们也可以在价格下降的情况下增加财富。现金资产pt公司≤ 0如果pt>0ifpt公司≤ 0如果pt>0图1。在没有交易成本的情况下，仅对现金和资产进行最佳交易时，马尔可夫决策过程的可视化。