高管股票期权行权，包括有关

此外，根据[31，命题D.3和推论D.4]，存在一个c\'adl\'ag修正VOFEV，称为R的斯奈尔包络，即根据[31，定理D.7]最肯定的是，对于所有∈ [0，T]，是最小的c\'adl\'ag（P，F）-支配的超鞅（在[31，定义D.5]的意义上），所以P[eVt≥ Rt，0≤ t型≤ T]=1）奖励R。然后，根据[31，定理D.9]，停止时间τ*∈ 对于从时间零点开始的问题（3.3），当且仅当ifeVτ*= Rτ*几乎可以肯定，且当且仅当停止的超鞅（eVτ*∧t） t型∈[0，T]是a（P，F）-鞅。最后，在（3.2）下，对于连续奖励过程，[31，定理D.12]给出了问题（3.3）的最小最优停止时间Tt，t为τ*（t） ，这是斯内尔包络线第一次与奖励重合，因此由（3.4）τ给出*（t） ：=inf{τ∈ [t，t）：eVτ=Rτ}∧ T、 T型∈ [0，T]。鉴于通过斯内尔包络对全信息ESO问题的这种描述，从现在起，我们用斯内尔包络识别贴现ESO值过程，并采用不区分它们的标准符号惯例，soeV≡电动汽车。ESOvalue过程由Vt=erteVt，t给出∈ [0，T]，理解EV是奖励的Nell信封。根据这一标准惯例，（3.4）中的最佳停止时间由ESO价值过程第一次达到付息时间τ给出*（t） =inf{τ∈ [t，t）：Vτ=（Xτ- K） +}∧ T、 T型∈ [0，T]。3.1. 全信息值功能。引入值函数v:[0，T]×R+×{0，1}→ 全信息最优停车问题（2.9）的R+为（3.5）v（t，x，i）：=supτ∈Tt，TEhe-r（τ-t） （Xτ- K）+Xt=x，Yt=ii，i=0，1，t∈ [0，T]，并写入vi（·，·）≡ v（·，·，i），i=0，1。

因此，全信息情景中的价值函数是时间和当前股价的一对函数，因此v（t，x）（分别为v（t，x））表示在t时ESO对内幕人士的价值∈ [0，T]给定Xt=x和Yt=0（分别为Yt=1）。换句话说，（2.9）中的值过程V具有表示（3.6）Vt=V（t，Xt，Yt）=（1- Yt）v（t，Xt）+Ytv（t，Xt），t∈ [0，T]。关于连续时间马尔可夫环境下最优停止的非常普遍的结果（参见instanceEl Karoui、Lepeltier和Millet[22]）意味着每个vi（·，·），i=0，1，是时间和当前股价的连续函数，并且过程（e-rtv（t，Xt，Yt））t∈[0，T]是奖励过程R的斯内尔包络。在下面的引理3.1中，我们首先建立了全信息值函数的一些基本性质，以便描述推论3.3中连续和停止区域的性质。正如我们将看到的，双漂移模型导致了两个有序的运动阈值x*i： [0.T]→ [K，∞), i=0，1，我们将确定这些阈值在[0，T]上是右连续的。随后，使用值函数满足的自由边界系统（命题3.5）和光滑粘贴特性（定理3.6），以及表征贴现ESO值过程的超鞅的Doob-Meyer分解（定理3.7），我们将获得极限值x*i（T-) 在命题3.4中给出的练习边界中，我们还表明练习边界在[0，T]上是连续的。关于F，股票的动力学在（2.4）中给出。

对于0≤ s≤ t型≤ T，定义累积系数（3.7）Hs，T：=经验值u-σ（t- s）-σηZtsYudu+σ（Wt- Ws）, 0≤ s≤ t型≤ T、 漂移变化点为11的ESO，给定Xs=x∈ R+，t时的股价∈ [s，T]是Xt≡ Xs，xt，由xt给定≡ Xs，xt=xHs，t，0≤ s≤ t型≤ T、 当s=0时，写入Ht≡ H0、T和Xxt≡ X0，xt，因此xxt=xHt，t∈ [0，T]。为了在下文中进一步使用，还应确定当股票仅为instate i时的累积系数∈ {0，1}，乘以（3.8）H（i）s，t：=expui-σ（t- s） +σ（Wt- Ws）, 0≤ s≤ t型≤ T、 i=0，1。如前所述，对于s=0，写入H（i）t≡ H（i）0，t，i=0，t为1∈ [0，T]。特别要注意的是，如果股票从时间零点X=X开始，并且变化点出现在[0，T]中，那么股票价格在T∈ [θ，T]（在变化点处或超出变化点），isXt≡ xxt由（3.9）Xt=x exp（σηθ）H（1）t驱动，0≤ θ ≤ t型≤ T、 有了这些定义，（3.5）中的值函数表示为（3.10）vi（T，x）=supτ∈Tt，TEhe-r（τ-t） （xHt，τ- K）+Yt=ii，（t，x）∈ [0，T]×R+，i=0，1，其中Ht，τ是（3.7）中间隔[T，τ]：（3.11）Ht，τ：=exp的过程u-σ(τ -t）- σηZτtYudu+σ（Wτ- Wt）, τ ∈ [t，t]。现在，布朗增量Wτ-区间[t，τ]中的W在法律上与Wτ相同-t型-W=Wτ-t、 此外，可以根据toRτtYudu=Rτ重写（3.11）中Y上的积分-tYt+sds和指数分布的无记忆性（P[θ>t+s |θ>t]=P[θ>s]，对于任何s，t≥ 0）表示定律（Yt+s | Yt=i）=定律（Ys | Y=i）。因此，在（3.10）中，Y在[t，τ]上的积分，加上yt值的条件，可以由[0，τ]上的1代替-t] 条件是Y的值。

换言之，布朗增量的平稳性和指数分布的无记忆性意味着对Tt进行优化，这相当于对T0，T进行优化-t、 因此，（3.10）中的值函数可以重新转换为（3.12）vi（t，x）=supτ的形式∈T0，T-tE公司e-rτ（xHτ- K）+Y=i, （t，x）∈ [0，T]×R+，i=0，1。因此，到期日为T，开始时间为T的ESO值∈ [0，T]与到期日为T的ESOvalue相同- t和初始时间零点。这种ESO价值的重新计算将有助于证明价值函数的某些性质，并经常用于美式期权估值问题（例如，参见Detemple[16，第4章]中第31号命题的证明，以证明具有恒定漂移的股票的（更简单）情况下的相同重新计算）。下面的引理给出了全信息值函数的基本性质。引理3.1（凸性、单调性、时间衰减：全部信息）。函数v（·，·，i）≡vi：[0，T]×R+，i=0，1 in（3.12）或（3.5）表示完整信息ESO值函数（以及通过（3.6）的ESO值过程）具有以下特性：（1）对于i=0，1和T∈ [0，T]，映射x→ vi（t，x）是凸的且非递减的。（2） 对于任何固定值（t，x）∈ [0，T]×R+，v（T，x）≥ v（t，x）。（3） 对于i=0、1和x∈ R+，地图t→ vi（t，x）不增加。12 VICKY HENDERSON、KAMIL KLAD\'IVKO、MICHAEL MONOYIOS和CHRISTOPH REISINGERProof。（1） 映射x的凸性与单调性→ vi（t，x）遵循表示法（3.12），以及Payoff函数x的凸性和单调性→ （十）- K） +和映射x的线性→ Xxτ=xHτ。例如，要显示凸性，请考虑0≤ x<x<∞ 还有一些γ∈ [0, 1].

对于每个i∈ {0，1}利用（3.12），我们得到γvi（t，x）+（1-γ） vi（t，x）=supτ∈T0，T-tE公司e-rτγ（xHτ- K） ++（1- γ） （xHτ- K）+Y=i≥ supτ∈T0，T-tE公司e-rτ（（γx+（1- γ） x）Hτ- K）+Y=i= vi（t，γx+（1- γ） x），其中不等式源自Payoff函数的凸性。这建立了x的凸性→ vi（t，x）。单调性也是以同样的方式建立的。（2） 到期时，我们有v（T，x）=v（T，x）=（x- K） +适用于所有x∈ R+。对于t∈ [0，T），使用i=0的表示（3.10）和定义（3.8），我们得到v（T，x）=supτ∈Tt，TEhe-r（τ-t） （xHt，τ- K）+Yt=0i=supτ∈Tt，TE“e-r（τ-t）xH（0）t，τexp-σηZτtYudu- K+Yt=0#。（3.13）现在，如果Yt=0（soθ>t），则对于任何F-停止时间τ∈ 我们有rτtYudu=（τ-θ){τ≥θ}≤ τ - t、 这意味着t，τ≡ H（0）t，τexp-σηZτtYudu≥ H（0）t，τe-ση(τ-t） =H（1）t，τ。在表示法（3.13）中使用这个，我们得到了v（t，x）≥ supτ∈Tt，TEhe-r（τ-t） （xH（1）t，τ- K）+Yt=0i。但是xH（1）t，τ也是给定Xt=x和Yt=1的时间τ的存量值（因为H（1）中出现的位移是u），所以我们有v（t，x）≥ supτ∈Tt，TEhe-r（τ-t） （xHt，τ- K）+Yt=1i=v（t，x），t∈ [0，T）。（3）这是美国权利要求的经典时间衰减特性，这是根据陈述（3.12）和T0，T-t型 T0，T-t对于t≥ t、 也就是说，考虑到股票价格模型的时间同质性（即，模型参数中没有明确的时间依赖性），在较晚时间开始的可能停止策略是在较早时间开始的可用策略的子集，直接导致vi（t，x）≤ vi（t，x）表示任何固定的x和t≥ t、 正如Ekstrom（17）和Monoyios（40）所讨论的，这种时间衰减特性在时间均匀模型中是众所周知的。3.2. 完整信息延续和停止区域。