渐近增长的遍历鲁棒最大化

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英文标题：
《Ergodic robust maximization of asymptotic growth》
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作者：
Constantinos Kardaras and Scott Robertson
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the problem of robustly maximizing the growth rate of investor wealth in the presence of model uncertainty. Possible models are all those under which the assets\' region $E$ and instantaneous covariation $c$ are known, and where additionally the assets are stable in that their occupancy time measures converge to a law with density $p$. This latter assumption is motivated by the observed stability of ranked relative market capitalizations for equity markets. We seek to identify the robust optimal growth rate, as well as a trading strategy which achieves this rate in all models. Under minimal assumptions upon $(E,c,p)$, we identify the robust growth rate with the Donsker-Varadhan rate function from occupancy time Large Deviations theory. We also prove existence of, and explicitly identify, the optimal trading strategy. We then apply our results in the case of drift uncertainty for ranked relative market capitalizations. Assuming regularity under symmetrization for the covariance and limiting density of the ranked capitalizations, we explicitly identify the robust optimal trading strategy in this setting.
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中文摘要：
我们考虑了在存在模型不确定性的情况下，投资者财富增长率的鲁棒最大化问题。可能的模型是所有已知资产区域$E$和瞬时协变量$c$的模型，此外，资产是稳定的，因为其占用时间度量收敛于密度为$p$的定律。后一种假设的动机是观察到股票市场排名相对市场资本的稳定性。我们寻求确定稳健的最优增长率，以及在所有模型中实现该增长率的交易策略。在$（E，c，p）$的最小假设下，我们根据占用时间大偏差理论，用Donsker Varadhan速率函数确定了稳健增长率。我们还证明了最优交易策略的存在性，并明确确定了最优交易策略。然后，我们将我们的结果应用于排名相对市值的漂移不确定性情况。假设排名资本化的协方差和限制密度在对称化下具有正则性，我们在此设置下明确确定了鲁棒最优交易策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：最大化 Applications maximization Quantitative Optimization

渐近增长的遍历鲁棒最大化Constantinos KARDARAS和SCOTT ROBERTSONAbstract。我们考虑了在存在模型不确定性的情况下，投资者财富增长率鲁棒最大化的问题。可能的模型是所有已知资产区域和瞬时协变量c的模型，此外，资产是稳定的，因为它们的占有时间度量收敛到密度为p的定律。后一种假设的动机是股票市场排名相对市场资本的观测稳定性。我们寻求确定绝对最优的增长率，以及在所有模型中实现该增长率的交易策略。在（E，c，p）的最小假设下，我们从占用时间大偏差理论出发，利用Donsker-Varadhanrate函数确定了鲁棒增长率。我们还证明了最优交易策略的存在性，并明确地确定了最优交易策略。然后，我们将我们的结果应用于相对市场资本排名的d裂谷不确定性情况。假设排名资本化的协方差和限制密度在对称化下具有正则性，我们在此设置下明确确定了鲁棒最优交易策略。引言在这项工作中，我们确定了在存在奈特模型不确定性的情况下，能够最大化投资者财富长期增长率的投资组合。最优投资组合是稳健的，因为它们在所有模型中实现了最大可能的均匀增长。在我们早期的工作【19】中，信念涵盖了具有公共资产状态空间和瞬时协方差的跨模型；因此，模型的不确定性相当于缺乏关于资产漂移的知识。

目前，当资产除了状态空间和协方差结构外，由于其占有时间度量收敛到已知的概率密度，因此资产也是“稳定”的时，我们获得了最优投资组合。我们的动机来自于[14]，[13]中介绍的随机投资组合理论，特别是观察到排名相对市场资本化（至少对于美国的股票而言）随着时间的推移保持了显著的稳定。正如随后的许多文章所显示的那样，这种行为可以通过通过相互作用的差异来模拟市场资本化来实现，其中相互作用是通过排名来实现的。例如，[20]考虑了具有秩相关漂移的布朗粒子系统，并证明了具有极限指数分布的遍历性，处理日期：2018年1月22日。2000年数学学科分类。60G44、60G46、60H05。关键词和短语。奈特模型不确定性；随机投资组合理论；强劲增长；远景；占用时间大偏差。C、 Kardaras感谢MC赠款FP7-PEOPLE-2012-CIG的支持，334540；S、 罗伯逊获得了美国国家科学基金会的部分资助，资助号为DMS-1613159.2康斯坦丁诺斯·卡达拉斯和斯科特·罗伯逊，资助粒子之间的间距。扩展间隔分析，[17]证明了银行相对资本化的稳定性，以及对某些类别财富增长的长期估计。对于特定模型，如[13]的Atlas模型，[17]的作者能够通过其拉普拉斯变换明确识别极限密度。鉴于观察到的排名相对资本化的稳定性，很自然地会问，如何利用这一点来实现投资者财富的最佳增长。

此外，由于估算资产漂移是出了名的困难，人们能否本质上仅使用稳定性、协方差和稳定的资本分布来推导最优政策？从广义上讲，有两种方法可以回答这些问题。第一个扩展了Cover的“通用”投资组合的通知（见[1]），以构建在路径、无模型环境中增长最快的投资组合。第二种方法试图构建【13】意义上的功能生成的增长最优投资组合，产生由基础价格过程的功能驱动的最优政策，并且作为一种方法，可以通过对当前状态的观察轻松实施。最近的文章【23】、【5】中讨论了相对资本化模型中普遍投资组合的构建（事实上，这些文章中的每一篇都处理了随机生成的投资组合），而功能生成方法除了在【14】、【13】、【11】、【12】中首创外，还被应用于【17】、【19】、【4】中的长期问题。我们遵循功能生成的方法，并在这里简要介绍主要论点。为了以统一的方式处理排名和未排名的相对资本化情况，我们遵循[19]的抽象方法，并假设交易资产的“价格”过程X在任意区域E中取值 Rd。

在E值连续函数的正则空间上，我们考虑了所有概率测度的∏类，其中：oX是一个具有协变量r·c（Xt）dt的s-emi鞅，其中c取正有限对称d×d矩阵集中的值{Xt；t的定律≥ 0}很紧。o（1/T）RTh（Xu）du→REh（y）p（y）dy几乎可以肯定为T→ ∞, 对于所有h和h+∈ L（E，p），其中p是E上的概率密度。财富过程Vθ通过Vθ=E构建R·θ′tdXt对于类中的可预测策略θensu环X-可积性和er每P∈ π，其中θX表示投资于X的财富比例。根据之前的定义，我们试图确定（0.1）λ：=supθ∈ΘinfP∈∏GVθ，P,其中GVθ，P是P概率中Vθ的增长率，精确定义在下面的（1.2）中。除了识别λ之外，我们还寻求一种策略∈ Θ在所有P∈ Π.我们的主要结果，定理1.7指出，在最小可积性假设和下面讨论的一个非常可靠的渐近增长最大化3重要概率假设下，我们可以得出（0.2）λ=I，其中I=I（p）是Donsker Varadhan速率函数，在p处计算，与E上的二阶线性算子Lc=（1/2）Tr（Dc）相关。在文献[7]、[8]、[9]系列中介绍，对于带生成元L的遍历马尔科夫过程，速率函数I控制职业时间测度的大偏差。目前，我们不假设Lcis遍历（事实上，如果LCare er godic，λ=0，如下文第2节所示），而是使用显式形式（0.3）I=-inf公司泽尔库（y）p（y）dyu∈ C（E），u>0，（Lcu）+u∈ L（p）,以及将I解释为占用时间度量退出E值概率度量空间紧子集的速率，参见【18，第3节】。

如下文第1.2节所述，一个简短的启发式参数导致人们期望λ=I，前提是其存在函数^u，使得dXt=（c^u/u）（Xt）dt+σ（Xt）dWtis遍历，极限密度p（这里σ是c的平方根）。然而，尽管这种说法可能是无害的，证明这样一个^u存在于一般（多维）域E、协变函数c和密度p是一项具有挑战性的任务，这占据了本文的大部分篇幅。有趣的是，本质上唯一可能导致遍历性的^u（直到乘法常数）是（0.3）右侧的优化器。此外，在没有a-pr iori的情况下，假设在生成器LR=（1/2）的情况下“反向”扩散XR，则^u不能导致遍历性( · （c）) + (p/p）’c) 也是遍历的。这源于【22，Ch.6】中关于多维差异的必要条件和充分条件的显著结果，即是瞬态或周期性的。假设XRis遍历，在相当温和的可积性假设（见假设1.1和d1.4）下，不仅（0.2）成立，而且在（0.3）的右侧存在一个优化器，例如dXt=（c^u/^u）（Xt）dt+σ（Xt）dWtis遍历，函数生成的交易策略^θ·=(^u/^u）（X·）是稳健的增长最优，在∏中的所有模型中都能达到增长率λ。这是定理1.7的陈述。在第1.4小节中，我们通过证明没有XR，稳健增长最优问题是不适定的，从而强调了XR遍历性的重要性。更准确地说，如果XRis不是遍历的，那么，至少在一维情况下，∏= 或λ=∞. 第2节包含了大量的例子，证明了（E、c、p）的各种选择都可能实现零增长和无限增长。特别是，如果与生成器LCI的差异是遍历的，则严格正的鲁棒增长是不可能的。

本节还强调了从一个维度到多个维度时问题复杂性的显著增加。第3节具体分析了基础流程何时表示相对市场资本化。在这里，有一个主要问题需要解决：观察到的现象是君士坦丁·卡达拉斯和斯科特·罗伯逊相对资本化的稳定性，而不是相对资本化本身。然而，交易并不涉及排名资本化，而是涉及相对资本化和市场投资组合。因此，即使问题的自然输入是三重输入(d-1+,≤, κ、 q）；哪里d-1+,≤排序相对资本化演变的有序单位单纯形、κa协变量函数和q a密度d-1+,≤, 必须在单元单工上工作d-1+其中相对资本化有效，并使用该区域定义的协变量函数c和密度p。获取上的c和pd-1+，我们适当地对称化（κ，q）。为了应用抽象理论，我们在假设3.3中要求这种对称化在（c，p）中保持正则性。在假设3.3下，命题3.5确定了稳健增长率，以及基于排名的s et中的最优策略。它还证明，正如人们所期望的那个样，最优投资组合仅仅是相对资本化的函数。然后，本节以一个有用的技术结果结束，该结果表明，可以从上的任意对（κ，q）开始d-1+,≤, 并通过仅修改边界附近任意闭合的（κ，q）来创建满足假设3.3的相关对d-1+,≤. 因此，我们的结果考虑了任意开子集上的一般协方差和密度d-1+,≤.

修正的代价是，最优政策是在相对资本化水平交叉的情况下，将同等权重和市场投资组合相结合。然而，这种修改的一个优点是，它排除了资本化交叉点上突然发生的投资组合变化，而在实践中，由于交易成本的原因，在很长的时间内是不可行的。论文组织如下：第1节概述了模型、启发式参数和ab stract设置中的主要结果。第2节包含示例，而第3节指定了基于排名的案例。附录A包含主要抽象结果的冗长证明，而附录B处理与基于秩的模型相关的证明。1、主要结果1.1。问题。在抽象的层面上，我们要考虑的问题有三个输入：区域 Rd其中一个随机过程X取值；瞬时协方差函数c:E 7→ Sd++表示X，其中Sd++表示所有对称严格正定义d×d矩阵的集合；以及X的“极限”概率密度p。在对（E，c，p）进行以下假设后，将进行更精确的讨论；注意，对于本文的其余部分，Eor及其子集上的所有积分都与Lebesgue测度有关。假设1.1。对于某些固定常数γ∈ （0，1），它认为：（1）E=S∞n=1En Rd，其中对于每个n，Enis是开放的、连通的、有界的，并且有C2，γ边界。此外，\'En En+1，如果为d≥ 2，En+1 \\？Enis简单连接。（2） c类∈ C2，γ（E；Sd++）。（3） p∈ C2，γ（E）（0，∞)) andREp=1。渐近增长的遍历鲁棒最大化5As在[19]中，我们研究了连续函数的正则空间Ohm = （C[0，∞); E） ，配有Borel-sigma代数F。坐标映射过程用X表示，F是由X定义1.2生成的自然过滤的正确连续大。

对于上述假设1.1（3）中给定的密度p，∏是概率测度p的类别(Ohm, F） 这样：（1）Xt∈ E、 对于所有t≥ 0，P-a.s.（2）X是一个P-半鞅，对于E上的所有Borel可测函数h，其协变量过程[X，X]=R·c（Xt）dt，P-a.s.（3），且h+P<∞, 这是有限的↑∞TZTh（Xt）dt=ZEhp；P-a.s.（4）{Xt；t的法则≥ P下的0}是紧的。尽管上述定义1.2的条件（3）可以解释为p是p下X的极限密度∈ π，我们强调，我们不要求从∏中的概率得到任何马尔可夫或平稳结构。事实上，虽然定义1.2的条件（2）意味着瞬时协变量是X当前状态的函数，但在P∈ 只要定义1.2的原则得到满足，那么∏可以是相当普遍的。我们将X的k定义为与可交易实体相关的基础过程。实际上，X表示证券价格，可能以另一基准资产的单位计价，用于比较。这种财富的一个例子是总市值，这将导致不存在相对资本化。（第3节详细讨论了“贴现”的具体情况。）在以前的金融环境中进行交易时，我们都采用以下策略。定义1.3。根据假设1.1，并给出定义1.2中的∏类，Θ是可预测过程的类，对于每个P∈ Π.对于流程θ∈ Θ和测量P∈ π，我们设置（1.1）Vθ：=EZ·θ′tdXt.注意，Vθ的版本也可能取决于P∈ π，但我们没有明确指出上述依赖关系，因为在每种情况下都会清楚地看到∏中的概率。

解释是，Vθ是从单位初始资本开始，并在下一时间t投资当前财富的一部分所产生的财富过程≥ 0，对于所有i=1，d、 对于θ∈ Θ和P∈ π，定义（1.2）GVθ，P:= 啜饮γ ∈ R：极限↑∞PTlog VθT≥ γ= 1..6 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSONAs，GVθ，P是指当证券价格根据概率测度P演变时，通过遵循策略θ产生的财富的长期增长率（概率）。我们的目标是计算（1.3）λ：=supθ∈ΘinfP∈∏GVθ，P.并得到一个鲁棒的最大化策略∈ Θ.1.2. 启发式。我们首先提供了如何获得最优策略和稳健增长率的启发式论证。为此，使用“Tr”表示跟踪运算符，设置（1.4）Lc：=TrcD光盘≡Xi，jcijij。注意，LCI是与协方差函数C无漂移扩散相关的二阶算子。此外，当LconE的广义鞅问题（c.f.[22，c h.1]）的解在假设1.1下存在时，解可能会爆炸。接下来，考虑functionsD的类：=（u∈ C（E）u>0，ZLcuu+p<∞).使用此符号，我们定义：=- infu公司∈DZELcuup，这是来自占用时间大偏差（LDP）理论的Donsker Varadhan速率函数，在p处进行了评估。（事实上，D与[6，第4章]中用于证明占用时间LDP的域略有不同。）让u∈ D、 并设置θu·=(u/u）（X·）∈ Θ. 根据It^o公式，在P∈ π，它认为（1.5）Tlog（VθuT）=Tlogu（XT）u（X）-TZTLcuu（Xt）dt。因此，在假设1.1下，G（Vθu，P）=-RE（Lcu/u）p。