非参数贝叶斯波动率估计

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英文标题：
《Nonparametric Bayesian volatility estimation》
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作者：
Shota Gugushvili, Frank van der Meulen, Moritz Schauer, Peter Spreij
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Given discrete time observations over a fixed time interval, we study a nonparametric Bayesian approach to estimation of the volatility coefficient of a stochastic differential equation. We postulate a histogram-type prior on the volatility with piecewise constant realisations on bins forming a partition of the time interval. The values on the bins are assigned an inverse Gamma Markov chain (IGMC) prior. Posterior inference is straightforward to implement via Gibbs sampling, as the full conditional distributions are available explicitly and turn out to be inverse Gamma. We also discuss in detail the hyperparameter selection for our method. Our nonparametric Bayesian approach leads to good practical results in representative simulation examples. Finally, we apply it on a classical data set in change-point analysis: weekly closings of the Dow-Jones industrial averages.
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中文摘要：
在给定固定时间间隔上的离散时间观测值的情况下，我们研究了一种估计随机微分方程波动系数的非参数贝叶斯方法。我们假设在波动率上有一个直方图类型，在形成时间间隔分区的箱子上有分段常数实现。箱子上的值事先分配一个反伽马-马尔可夫链（IGMC）。后验推断可以通过Gibbs采样直接实现，因为完整的条件分布是显式的，并且结果是反Gamma分布。我们还详细讨论了该方法的超参数选择。我们的非参数贝叶斯方法在典型的仿真实例中取得了良好的实际效果。最后，我们将其应用于变化点分析中的一个经典数据集：道琼斯工业平均指数的每周收盘。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Nonparametric_Bayesian_volatility_estimation.pdf (749.58 KB)

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关键词：贝叶斯 非参数 波动率 Multivariate observations

非参数贝叶斯波动率估计Shota GUGUSHVILI、FRANK VAN DER MEULEN、MORITZ SCHAUER和PETER SPREIJAbstract。给定固定时间间隔内的离散时间观测值，我们研究一种非参数贝叶斯方法来估计随机微分方程的波动系数。我们假设波动率的柱状图类型优先于构成时间间隔一部分的仓位上的分段常数实现。箱子上的值被分配了一个倒格玛马尔可夫链（inverseGamma-Markov chain，IGMC）。通过Gibbs抽样，后验推断很容易实现，因为完整的条件分布是明确可用的，结果是反Gamma分布。我们还详细讨论了该方法的超参数选择。我们的非参数贝叶斯方法在典型的仿真实例中取得了良好的实际效果。最后，我们将其应用于变化点分析中的一个经典数据集：道琼斯工业平均指数的周线整理。1、引言1.1。问题公式。考虑一维随机微分方程（SDE）（1）dXt=b（t，Xt）dt+s（t）dWt，X=X，t∈ [0，T]，其中bis为漂移系数，s为确定性色散系数或波动率，x为确定性初始条件。这里W是标准的布朗运动。假设满足（1）强解存在和唯一性的标准条件（参见，例如，（Karatzas和Shreve，1991）），观测xn={Xt0，n，…，Xtn，n}，其中ti，n=iT/n，i=0，n、 使用非参数Bayesianaproach，我们的目标是估计波动率函数。在金融环境中，对波动率的了解至关重要，例如在金融衍生品定价中；参见（比约克，2009）和（穆西埃拉和鲁特科夫斯基，2005）。然而，SDEshave的应用也远远超出了金融领域，例如：。

物理学、生物学、生命科学、神经科学和工程学（见（Allen，2007），（Fuchs，2013），（Hindriks，2011）和（Wong和Hajek，1985））。请注意，根据It^o公式，使用aDate：2019.2000年4月1日数学科目分类。一次：62G20，二次：62M05。关键词和短语。差异系数；分散系数；高斯似然；吉布斯取样器；独立逆伽马先验；逆伽玛-马尔可夫链先验；MCMC；吉布斯内的大都市；非参数贝叶斯估计；伪似然；随机微分方程；波动。根据ERC拨款协议320637.2 S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJsimple对状态变量的转换，也是形式dxt=b（t，Xt）dt+S（t）F（Xt）dWt，X=X，t∈ [0，T]可以简化为形式（1），前提是函数fis已知且足够规则；参见，例如，第186页in（Soulier，1998）。我们统计框架下的一些经典例子是几何布朗运动和奥恩斯坦·努伦贝克过程。还要注意的是，由于我们允许（1）中的漂移为非线性，X的边际分布不一定是高斯分布，因此可能会出现重尾，这在金融建模中很有吸引力。非参数方法可以防止模型误判，是进行初步探索性数据分析的优秀工具，参见，例如（Silverman，1986）。贝叶斯方法的公认优势包括通过贝叶斯可信集在参数估计中自动量化不确定性，以及它基本上是一种基于可能性的方法。在（M¨uller和Mitra，2013）中，有人认为非参数贝叶斯方法对于推理结论中不确定性的诚实表示非常重要。

此外，先验知识的使用使我们能够轻松地将可用的外部先验信息合并到估计过程中，而这并不是使用频率分析方法可以直接实现的。例如，这一先验信息可能是波动性的增加或减少趋势。1.2. 文献综述。关于SDE模型中非参数贝叶斯波动率估计的文献很少。我们可以列出理论贡献（Gugushvili和Spreij，2014a），（Gugushvili和Spreij，2016），（Nickl和S¨ohl，2017），以及面向实践的论文（Batz等人，2017feb）。前两篇论文中的模型与当前工作中考虑的模型非常接近，但从方法学角度来看，使用了不同的贝叶斯先验，相应的贝叶斯方法的实用性有限。另一方面，（Nickl和S¨ohl，2017）和（Batz等人，2017年2月）中考虑的模型与我们的模型有很大不同，相应的贝叶斯方法也有很大不同。本文中模型和方法的最接近的先行者是（Gugushvili等人，2017年6月）中研究的模型和方法。在续集中，我们将解释当前的贡献来自于哪些方面，以及当前的改进是什么。我们注意到，目前存在大量关于漂移系数非参数贝叶斯估计的文献，例如，（Gugushvili和Spreij，2014b），（Papaspiliopouloset等人，2012），（Poker等人，2013），（Ruttor等人，2013），（van der Meulen和van Zanten，2013），（van der Meulen等人，2014）和评论文章（van Zanten，2013），但贝叶斯波动率估计需要使用实质上不同的区间。

我们还注意到，离散时间随机波动率模型中存在处理参数贝叶斯估计的工作，参见（Jacquier et al.，1994）和（Jacquier et al.，2004），但同样，这些工作与本文研究的问题没有直接关系。1.3. 方法和结果。在SDE模型中，从离散观测值进行贝叶斯分析（Bayesianaproach）推理所面临的主要潜在困难是难以处理的可能性和缺乏后验分布的闭合表达式；例如，见（Elerian et al.，2001），（Fuchs，2013），（Roberts and Stramer，2001）和（van der Meulen and Schauer，2017）。通常，这些困难需要使用数据增强设备（见（Tanner和Wong，1987））和一些复杂形式的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）采样器（见（Robert and Noparametric BAYESIAN VOLATILITY ESTIMATION 3Casella，2004））。在（Gugushvili et al.，2017年6月）中，通过故意将漂移系数设置为零，并在扩散系数之前使用（共轭）直方图类型，在形成[0，T]分区的箱子上具有分段恒定实现，从而避免了这些困难。具体而言，（平方）波动率先验建模为函数s=PNk=1θkBk，具有独立且相同分布的逆伽马系数θk，先验∏定义为定律s。这里是B，B构成[0，T]分区的容器。利用这个独立反向伽马（IIG）先验，θ，θNare独立，以数据为条件，为反伽马型。因此，这种方法可以快速、简单地理解和实现贝叶斯过程。最近，对其良好的实际性能及其理论验证进行了研究（Gugushvili等人，2017年6月）。

如图所示，在精确的正则性条件下，漂移的误判是渐近的，因为样本量n→ ∞, Harmlessfo对波动系数的一致性估计。尽管该方法在（Gugushvili等人，2017年6月）中具有良好的实用性能，但也存在一些与之相关的限制。因此，该方法限制了适应波动系数局部结构的可能性，如果波动率在时间间隔[0，T]上的曲率变化很大，这可能会成为一个问题。一种可能的方法是，为构成[0，T]分区的箱子数量配备一个优先级，并根据优先级选择箱子的端点。然而，这将迫使人们超越中的共轭贝叶斯设置（Gugushvili et al.，2017jun），而实际中的后验推理将需要使用可逆跳跃MCMC算法（见（Green，1995））。即使在具有直方图类型先验的非齐次泊松过程的强度函数估计的极其简单的设置中，这也是非常具有挑战性的，如中所观察到的（Yang和Kuo，2001）。主要困难包括在不同维度的模型之间设计移动，从而产生混合良好的MCMC算法，以及评估马尔可夫链的收敛性（见（Fearnhead，2006），第204页）。因此，例如，（Green，1995）和（Green，2003）中的推断结论在使用相同的可逆跳跃方法的同一真实数据示例上是不同的，因为第一篇论文中证明了链的运行时间不够长。参见（Gelman et al.，2014），p。

546.在音频信号建模不同于我们所考虑的SDE设置的背景下，受（Cemgil和Dikmen，2007）中思想的启发，我们提出了一种替代方法；另见（Cemgil and Dikmen，2008），（Cemgil et al.，2007），（Dikmen and Cemgil，2008），（Dikmen and Cemgil，2010年3月）和（Virtanen et al.，2008）。也就是说，我们将假设序列{θk}形成了一个适当定义的马尔可夫链，而不是使用在[0，T]上具有独立系数θk的分段常数实现的（平方）波动率先验。使用这种方法的一个显而易见的优势是，它通过依赖于不同仓位的波动率函数的事先实现来诱导额外的平滑。试探性地论证，如果有大量N个箱子，那么就有可能接近地模拟波动性的局部结构：在区间[0，T]的那些部分，波动性具有高曲率或受到突然变化的影响，需要大量（窄）箱子来充分捕捉这些特征。然而，用于确定箱子Bk的网格是统一的，如果θ，θN与先验无关，大N可能会导致S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.Spreijt在[0，T]区域的波动率估计值出现虚假变化，而这些区域的波动率实际上变化缓慢。正如我们将在续集中看到的那样，使用依赖于先验的θk可以缓解这个问题。在接下来的部分中，我们详细介绍了我们的方法，并通过仿真和真实数据示例研究了其实际性能。具体而言，我们通过吉布斯采样器的简单版本实现了我们的方法，利用了θk的完整条件分布以闭合形式已知的事实（事实上是逆伽马）。与（Gugushvili等人，2017年6月）不同，我们新方法中的后验推理需要使用MCMC。

然而，上述新方法的优势决定了这一点，事实上，与（Gugushvili et al.，2017jun）相比，我们新方法的额外计算复杂性适中。我们的新方法中的先验依赖于超参数，我们还将讨论它们在实践中的几种选择方法。1.4. 本文的组织结构。在第2节中，我们详细描述了波动率估计的非参数贝叶斯方法。在第3节中，我们通过大量的仿真示例来研究我们的方法的性能。在第4节中，我们将该方法应用于一个真实的数据示例。第5节总结了我们的发现，并对我们的结果进行了展望。最后，第6节包含了我们程序的一些附加技术细节。1.5. 符号我们用∏表示（平方）波动率函数的先验分布，并写出给定数据Xnas∏（·| Xn）的后验测度。对于形状参数α>0和尺度参数β>0的逆伽马分布，我们使用旋转IG（α，β）。此分布的密度为（2）x 7→βαΓ（α）x-α-1e级-β/x，x>0。对于两个序列{an}，{bn}，符号an bn将用于表示序列渐近的事实（如n→ ∞) 相同的顺序。最后，对于密度f和函数g，符号f∝ g表示f与tog成比例，右侧的比例常数恢复为（Rg）-1，其中积分在定义g（和f）的域上。函数g可以看作是一个非正规化的概率密度。2、非参数贝叶斯方法2.1。概述。我们的起点与中相同（Gugushvili等人，2017年6月）。也就是说，我们故意将漂移系数BB设置为零，从而误判了漂移系数BB（参见（Martin et al.，2018），以获得类似的“故意误判”概念）。

在“完整”渐近条件下的理论证明，时间范围保持不变，观察时间ti，n=iT/n，i=1，n、 将区间[0，T]填充为n→ ∞, （Gugushvili et al.，2017jun）中提供了详细信息，我们参考了这些信息（此处的论点最终依赖于Girsanov定理）。在计量经济学文献中关于高频金融数据的非贝叶斯设置中也遇到了类似的想法，例如（Mykland，2012）。设置Yi，n=Xti，n- Xti公司-1，n。假设b=0，我们观察到的伪可能性是可处理的，事实上是高斯的，（3）Ln（s）=nYi=1q2πRti，nti-1，ns（u）duψYi、nqRti、nti-1，ns（u）du,非参数贝叶斯波动率估计5，其中ψ（u）=exp(-u/2）。任何可测波动率函数集的后验概率可通过Bayes定理计算为∏（S | Xn）=RSLn（S）∏（ds）RLn（S）∏（ds）。这里的分母是归一化常数，即定义先验∏的整个空间上的积分，它确保了后验概率是一个概率测度（即积分为1）。2.2. 施工前。我们之前的∏构造类似于（Gugushvili et al.，2017年6月），其重要区别如下所示。固定一个小于n的整数。然后n=mN+r，0≤ r<m，其中N=bnmc。现在定义为Bk=[tm（k-1） ，n，tmk，n），k=1，N- 1，且BN=[tm（N-1） ，n，T]。因此，第一个N- 1个料仓的长度为mT/n，而最后一个料仓的长度为mT/n- tm（N-1） ，n=n-1（r+m）T<n-12公吨。参数N（相当于m）是先验的超参数。我们将s建模为bins Bk上的分段常数，thuss=PNk=1ξkBk。现在可以通过将aprior分配给系数ξk’s来确定波动率s的先验∏。让θk=ξk。

由于料仓Bk不相交，（4）s=NXk=1ξkBk=NXk=1θkBk。由于可能性仅通过s的平方s取决于s，因此必须将先验分配给s的系数θk。这是我们基本上偏离的点（Gugushvili等人，2017年6月）。而在（Gugushvili et al.，2017jun）中，假设{θk}是逆伽马随机变量的i.i.d.序列，这里我们假设{θk}形成马尔可夫链。这将被称为反向伽马马尔可夫链（IGMC）（见（Cemgil和Dikmen，2007）），定义如下。引入辅助变量ζk，k=2，N、 并使用时间顺序θ，ζ，θ，…，确定阿马尔科夫链，ζk，θk，ζN，θN。该链的传递分布定义如下：fix超参数α、αζ和α，以及set（5）θ~ IG（α，α），ζk+1 |θk~ IG（αζ，αζθ-1k），θk+1 |ζk+1~ IG（α，αζ-1k+1）。链的名称反映了这样一个事实，即这些分布是反伽马分布。备注1。在选择θ的初始分布时，我们对IGMC的定义与中的定义不同（Cemgil和Dikmen，2007），这对于在t=0附近的波动性估计中避免可能的“边缘效应”很重要。参数α决定了反伽马马尔可夫链的初始分布。出租α→ 0（对应于模糊的优先级）“释放”时间原点处的链。备注2。正如（Cemgil和Dikmen，2007）中所观察到的，有多种方法可以定义反伽马-马尔可夫链。需要记住的一点是，产生的后验值应该是可计算的，θk上的先验值应该能够产生具有正相关结构的实现，因为这引入了相邻箱中θk之间的平滑。后一种性质不可能通过反伽马马尔可夫链的任意构造来实现，例如：。