粗糙波动率模型的多因子逼近

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英文标题：
《Multi-factor approximation of rough volatility models》
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作者：
Eduardo Abi Jaber (CEREMADE), Omar El Euch (X)
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Rough volatility models are very appealing because of their remarkable fit of both historical and implied volatilities. However, due to the non-Markovian and non-semimartingale nature of the volatility process, there is no simple way to simulate efficiently such models, which makes risk management of derivatives an intricate task. In this paper, we design tractable multi-factor stochastic volatility models approximating rough volatility models and enjoying a Markovian structure. Furthermore, we apply our procedure to the specific case of the rough Heston model. This in turn enables us to derive a numerical method for solving fractional Riccati equations appearing in the characteristic function of the log-price in this setting.
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中文摘要：
粗糙波动率模型非常有吸引力，因为它们非常适合历史波动率和隐含波动率。然而，由于波动过程的非马尔可夫和非半鞅性质，没有简单的方法来有效地模拟此类模型，这使得衍生品的风险管理成为一项复杂的任务。在本文中，我们设计了可跟踪的多因素随机波动率模型，该模型近似于粗糙波动率模型，并具有马尔可夫结构。此外，我们将我们的程序应用于粗糙赫斯顿模型的具体情况。这反过来又使我们能够推导出一种数值方法，用于求解在此设置下对数价格特征函数中出现的分数Riccati方程。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：波动率模型 多因子 波动率 Quantitative Applications

粗波动率模型的多因素近似*1,2和Omar El-Euch+3巴黎多芬大学，巴黎理工大学研究所，CNRS，UMR【7534】，Ceremake，75016 Paris，France。安盛投资管理公司，多资产客户解决方案，定量研究，6 place de la Pyramide，92908 Paris-la D'efense，France。巴黎理工学院CMAP。2018年4月12日AbstractRough波动率模型非常有吸引力，因为它们对历史波动率和隐含波动率都有显著的影响。然而，由于波动过程的非马尔可夫和非半鞅性质，没有简单的方法来有效地模拟此类模型，这使得衍生品的风险管理成为一项复杂的任务。在本文中，我们设计了可跟踪的多因素随机波动率模型，该模型近似于粗糙波动率模型，并具有马尔可夫结构。此外，我们将我们的程序应用于粗糙赫斯顿模型的具体情况。这反过来又使我们能够推导出一种数值方法，用于求解对数价格特征函数中出现的分数Riccati方程。关键词：粗糙波动率模型、粗糙Heston模型、随机Volterra方程、有效Volterra过程、分数Riccati方程、极限定理。1引言【15】中对范围非常广泛的资产波动率时间序列的实证研究表明，对数波动率的动力学接近分数布朗运动的动力学，其中赫斯特参数H为0.1阶。回想一下，由于Mandelbrot-vanness表示wht=Γ（H+1/2）Zt（t- s） H类-dWs+Γ（H+1/2）Z-∞（t- s） H类-- (-s） H类-dWs。分数核（t- s） H类-在H后面- εH–任何ε>0的波动率的规律性。

对于赫斯特参数H的较小值，如经验所观察到的，包含分数核的随机波动率模型被称为粗糙波动率模型。*abijaber@ceremade.dauphine.fr+奥马尔。埃尔-euch@polytechnique.eduAside通过对历史波动率动力学的建模，粗糙波动率模型可以用很少的参数准确再现隐含波动率表面的行为，见【3，10】，尤其是在货币倾斜时，见【14】。此外，在[12,19]中研究了粗糙挥发性的微观结构基础。在本文中，我们感兴趣的是一类粗糙波动率模型，其中资产价格的动态及其随机方差V由dst=StpVtdWt，S>0，（1.1）Vt=V+Γ（H+）Zt（t）给出-u） H类-（θ（u）-λVu）du+Γ（H）+Zt（t-u） H类-σ（Vu）dBu，（1.2）对于所有t∈ [0，T]，在一些过滤概率空间上(Ohm, F、 F，P）。这里T是一个正时间范围，参数λ和变量为非负，H∈ （0，1/2）是赫斯特参数，σ是一个连续函数，W=ρB+p1- ρB⊥带（B，B⊥) 二维F-brownian运动与ρ∈ [-1, 1]. 此外，θ是一个确定的均值回归水平，它可以依赖于时间来拟合市场远期方差曲线（E[Vt]）≤第2节和[13]中解释的TA。在一些一般假设下，我们在第2节中证明了（1.2）中分数阶随机积分方程的aweak非负解的存在性-εH–任何ε>0的规则性。因此，这类模型是经典随机波动率模型的自然粗略扩展，其中分数核被引入方差过程V的漂移和随机部分。

实际上，当H=1/2时，我们恢复了经典随机波动率模型，其中方差过程是一个标准差分。尽管存在历史波动率和隐含波动率，但在模拟粗略波动率模型以及使用它们进行定价和对冲衍生工具的实践中遇到了一些困难。事实上，由于分数核的引入，我们失去了马尔可夫半鞅结构。为了克服这些困难，我们用更简单的模型来近似这些模型，以便在实践中使用。在[11，12，13]中，粗略的赫斯顿模型（对应于σ（x）=ν的情况√x） 它是建立在微观霍克斯价格模型的基础上的。这有助于理解粗波动性的微观结构基础，也有助于得出对数价格的特征函数公式。因此，霍克斯近似使我们能够解决粗糙赫斯顿模型下的定价和套期保值问题。然而，该方法特别适用于rough Heston案例，不能扩展到（1.1）-（1.2）形式的任意粗糙波动率模型。受[1，4，5，17，21]工作的启发，我们为这类粗糙波动率模型（1.1）-（1.2）提供了一个自然的马尔可夫近似。主要思想是编写分数核函数（t）=tH-Γ（H+1/2）作为正度量的拉普拉斯变换uK（t）=Z∞e-γtu（dγ）；u（dγ）=γ-H-Γ（H+1/2）Γ（1/2- H） dγ。（1.3）然后，我们通过Dirac度量的有限和来近似un=Pni=1cniδγniwith positiveweights（cni）1≤我≤nand平均回复（γni）1≤我≤n、 对于n≥ 1.

这进而通过平滑核序列（Kn）n产生分数核的近似值≥1驱动kN（t）=nXi=1cnie-γnit，n≥ 这导致了一个多因素随机波动率模型（Sn，Vn）=（Snt，Vnt）t≤T、 其中，现货价格和n个方差因子（Vn，i）为马尔可夫1≤我≤nand定义如下：DSNT=SntpVntdWt，Vnt=gn（t）+nXi=1cniVn，it，（1.4），其中DVN，it=(-γniVn，it- λVnt）dt+σ（Vnt）dBt，且gn（t）=V+RtKn（t- s） θ（s）ds，初始条件Sn=砂Vn，i=0。注意，系数（Vn，i）1≤我≤n具有相同的动力学，但它们的意思是在不同速度（γni）1下恢复≤我≤n、 根据文献[1，2]中随机Volterra方程的存在性结果，我们在定理3.1中给出了模型（Sn，Vn）在某些一般条件下的强存在唯一性。因此，近似值（1.4）是唯一定义良好的。因此，我们可以使用为随机波动率模型开发的标准方法来处理这些多因素模型下的模拟、定价和对冲问题。定理3.5是本文的主要结果，它建立了多因子逼近序列（Sn，Vn）n的收敛性≥1根据（1.1）-（1.2）中的粗略波动率模型（S，V），在适当选择权重和均值回归（cni，γni）1的情况下，因子n的数量趋于完整≤我≤n、 这种收敛性是从第3.4节中导出的关于随机Volterra方程稳定性的一般结果得到的。在[2，11，13]中，根据分数Riccati方程的解，获得了Rougheston模型特定情况下的对数价格的特征函数。我们在第4.1节中强调，相应的多因素近似（1.4）继承了与粗糙赫斯顿模型相似的结构。

更准确地说，它显示了相同的特征函数公式，该公式涉及一个n维经典Riccati方程，而不是分数阶方程。这意味着通过用大n的n维经典Riccati方程来近似分数Riccati方程，从而数值求解分数Riccati方程，见定理4.1。在第4.2节中，我们讨论了该数值方法的精度和复杂性，并将其与Adams格式进行了比较，请参见[7、8、9、11]。本文的组织结构如下。在第2节中，我们定义了粗糙波动率模型（1.1）-（1.2）的类别，并讨论了此类模型的存在性。然后，在第3节中，我们构建了一系列（1.4）形式的多因素随机波动率模型，并证明其收敛于粗糙波动率模型。通过将这种近似应用于拉夫赫斯顿模型的具体情况，我们获得了一种计算分数Riccative方程解的数值方法，这将在第4节中讨论。最后，一些证明被归入第5节，附录中给出了一些有用的技术结果。2粗波动率模型的定义我们在本节中提供了（1.1）-（1.2）给出的粗波动率模型的精确定义。我们讨论了这类模型的存在性，并更精确地讨论了分数阶随机积分方程（1.2）的非负解。无约束弱解v=（Vt）t的存在性≤当σ是线性增长的连续函数且θ满足条件时，由附录中的推论B.2保证ε > 0, Cε>0；u∈ （0，T）|θ（u）|≤ Cεu--ε. （2.1）此外，V的路径是严格小于H和SUPT的任意阶H¨older连续的∈[0，T]E[| Vt | p]<∞, p>0。

（2.2）此外，利用定理B.4以及附录中的备注B.5和B.6，在Vandθ和σ（0）=0的非负性附加条件下，得到满足（1.2）的非负连续过程V的存在性。因此，我们可以引入以下类别的粗糙波动率模型。定义2.1。（粗糙波动率模型）我们通过任意R×R+值连续过程（S，V）=（St，Vt）t定义粗糙波动率模型≤TsatisfyingdSt=StpVtdWt，Vt=V+Γ（H+1/2）Zt（t- u） H类-（θ（u）-λVu）du+Γ（H+1/2）Zt（t- u） H类-σ（Vu）dBu，在过滤概率空间上(Ohm, F、 F，P），具有非负初始条件（S，V）。此处为正时间范围，参数λ为非负，H∈ （0，1/2）是Hurstparameter，W=ρB+p1- ρB⊥带（B，B⊥) 二维F-布朗运动与ρ∈ [-1, 1]. 此外，为了保证这种模型的存在，σ：R 7→ 假设R连续线性增长，使得σ（0）=0，θ：[0，T]7→ R是满足（2.1）的确定性非负函数。如【13】所述，我们允许平均回归水平θ与时间相关，以便与市场远期方差曲线一致。更准确地说，以下结果表明，平均回归水平θ可以写成前向方差曲线（E[Vt]）t的函数≤T、 提案2.2。设（S，V）为定义2.1给出的粗略波动率模型。然后，（E[Vt]）t≤t通过以下公式与θ相连[Vt]=V+Zt（t- s） α-1Eα(-λ（t- s） α）θ（s）ds，t∈ [0，T]，（2.3），其中α=H+1/2，Eα（x）=Pk≥0xkΓ（α（k+1））是Mittag-Le-freguer函数。此外，（E[Vt]）t≤t在每个时间t上指定α阶分数导数∈ （0，T]和θ（T）=Dα（E[V.]- 五） t+λE[Vt]，t∈ （0，T）。

（2.4）这里使用定理B.4，分数核K（t）=tH-Γ（H+1/2）与b（x）=-λx和g（t）=V+RtK（t- u） θ（u）du。回想一下α阶的分数阶导数∈ 函数f的（0，1）由ddtrt（t）给出-s）-αΓ(1-α） f（s）dswhere this expression is well defined。证据由于（2.2）和Fubini定理，t 7→ E【Vt】解出以下分数线性积分方程E【Vt】=V+Γ（H+1/2）Zt（t- s） H类-（θ（s）-λE[Vs]）ds，t∈ [0，T]，（2.5）根据附录中的定理A.3和备注A.5得出（2.3）。最后，（2.4）显然是从（2.5）中得到的。最后，请注意，分数阶随机积分方程（1.2）的唯一性是一个困难的问题。根据[22]中的证明，我们可以证明当σ与η连续时的路径唯一性∈ （1/（1+2H），1]。该结果不包括平方根情况，即σ（x）=ν√x、 在[1，2，22]中已经建立了弱唯一性。3粗波动率模型的多因素近似考虑到方差过程的小规模规律性，定义模型2.1能够再现在广泛资产中观察到的波动率的粗行为。然而，分数核迫使方差过程同时离开半鞅世界和马尔可夫世界，这使得数值逼近过程在实践中成为一项困难且具有挑战性的任务。本节的目的是为定义2.1的任何粗糙波动率模型（S，V）构建一个易于处理且令人满意的马尔可夫近似。因为S由（R·Vsds，R·√VsdWs），它有助于构造方差过程V的合适近似值。这是通过平滑分数核来实现的。更准确地说，用K（t）=tH表示-Γ（H+1/2），分数阶随机积分方程（1.2）readsVt=V+ZtK（t- s） （（θ（s）- λVs）ds+σ（Vs）dBs），这是一个随机Volterra方程。

用光滑核序列（Kn）n逼近分数核K≥1，可以预期以下对应的随机Volterra方程序列的收敛性Vnt=V+ZtKn（t- s） （（θ（s）- λVns）ds+σ（Vns）dBs），n≥ 1，到小数点。本节的参数如下所示。首先，利用恒等式（1.3），我们构造了（Kn，Vn）n的一个潜在候选族≥1在第3.1节中，使Vn具有马尔可夫结构。其次，我们给出了（Kn）n的收敛条件≥1第3.2节中L（[0，T]，R）中的K。最后，第3.3节根据第3.4节所述随机Volterra方程的抽象稳定性结果，建立了粗糙波动率模型（S，V）的近似结果，以便于说明。3.1近似的构造在[4，17，21]中，RiemannLiouville型分数布朗运动的马尔可夫表示是通过编写分数核K（t）=tH-Γ（H+1/2）作为非负度量u的拉普拉斯变换，如（1.3）所示。文[1]对Volterra平方根过程进行了扩展。采用相同的方法，我们为分数阶随机积分方程（1.2）的任何解建立了一个类似的表示，即在有限维过程系统中，共享相同的布朗运动和不同速度下的均值回复。实际上，通过使用σ的线性增长和托卡斯蒂福比尼定理，见[24]，我们得到了vt=g（t）+Z∞Vγtu（dγ），t∈ [0，T]，其中dVγT=(-γVγt- λVt）dt+σ（Vt）dBt，Vγ=0，γ≥ 0，andg（t）=V+ZtK（t- s） θ（s）ds。

（3.1）受[4，5]的启发，我们通过Dirac度量的加权和来近似度量un=nXi=1cniδγni，n≥ 1，得出以下近似值Vn=（Vnt）t≤Tof方差过程VVnt=gn（t）+nXi=1cniVn，it，t∈ [0，T]，（3.2）dVn，it=(-γniVn，it- λVnt）dt+σ（Vnt）dBt，Vn，i=0，其中gn（t）=V+ZtKn（t- u） θ（u）du，（3.3）和kN（t）=nXi=1cnie-γ硝基。（3.4）正权重的选择（cni）1≤我≤nand平均回复（γni）1≤我≤n、 下文第3.2节研究了对近似精度至关重要的因素。在证明（Vn）n的收敛性之前≥首先，我们将讨论这些过程的存在性和唯一性。这是通过将随机方程（3.2）重写为形式为Vnt=gn（t）+ZtKn（t）的随机Volterra方程来实现的- s）(-λVnsds+σ（Vns）dBs），t∈ [0，T]。（3.5）连续非负弱解Vn的存在性由定理B.4和附录中的备注B.5和B.6共同保证，因为θ和Vare non negativeTheorem B.4在这里与平滑核Kngiven by（3.4）和B（x）=-λx和gde定义为（3.1）和σ（0）=0。此外，（3.5）的解的路径唯一性通过调整[25]的标准Arumings得到，提供了σ的适当H¨older连续性，见附录中的命题B.3。请注意，由于kernelKn的平滑度，可以进行此扩展。例如，由于奇点为零，这种方法对于分数核就失败了。这导致我们得到以下结果，该结果证明了（3.5）的非负解的强存在唯一性，并等价于（3.2）。定理3.1。假设θ：[0，T]7→ R是一个确定性非负函数，满足（2.1），σ：R 7→ R是η-H–older连续，σ（0）=0，η∈ [1/2, 1].