保险copula模型的一种重要抽样方法

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英文标题：
《An importance sampling approach for copula models in insurance》
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作者：
Philipp Arbenz, Mathieu Cambou and Marius Hofert
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  An importance sampling approach for sampling copula models is introduced. We propose two algorithms that improve Monte Carlo estimators when the functional of interest depends mainly on the behaviour of the underlying random vector when at least one of the components is large. Such problems often arise from dependence models in finance and insurance. The importance sampling framework we propose is general and can be easily implemented for all classes of copula models from which sampling is feasible. We show how the proposal distribution of the two algorithms can be optimized to reduce the sampling error. In a case study inspired by a typical multivariate insurance application, we obtain variance reduction factors between 10 and 30 in comparison to standard Monte Carlo estimators.
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中文摘要：
介绍了copula模型抽样的一种重要抽样方法。当感兴趣的函数主要取决于基本随机向量的行为时，当至少一个分量较大时，我们提出了两种改进蒙特卡罗估计的算法。这类问题常常出现在金融和保险业的依赖模型中。我们提出的重要性抽样框架是通用的，可以很容易地对所有类别的copula模型实现，从中抽样是可行的。我们展示了如何优化这两种算法的建议分布以减少采样误差。在一个受典型多元保险应用启发的案例研究中，与标准蒙特卡罗估计量相比，我们获得了10到30之间的方差缩减因子。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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关键词：Copula opula 抽样方法 Applications Multivariate

InsurancePhilipp-Arbenz中copula模型的一种重要抽样方法*, Mathieu Cambou+，Marius Hoffert2015年4月7日摘要介绍了copula模型抽样的重要抽样方法。我们提出了两种改进蒙特卡罗估计的算法，当感兴趣的函数主要取决于基本随机向量的行为时，至少有一个分量是大的。这些问题通常来自金融和保险中的依赖模型。我们提出的importancesampling框架是通用的，可以很容易地用于所有类别的copula模型，从中可以进行采样。我们展示了如何优化这两种算法的建议分布以减少采样误差。在一个典型的多变量保险应用启发下的案例研究中，我们获得了10到30个与标准蒙特卡罗估值器相比的方差缩减因子。关键词：Copula，依赖模型，重要性抽样，保险，风险度量，taileven1简介许多保险应用，参见我们的动机第2节，导致计算形式为E[ψ（X）]的函数的问题，其中X=（X，…，Xd）：Ohm → Rdis概率空间上的随机向量(Ohm, F、 P）和ψ：Rd→ R是一个可测量的函数。如果不能假设X的分量是独立的，那么通常用copula来模拟X的分布，例如p[X≤ x、 ，除息的≤ xd]=C（FX（x），FXd（xd）），x∈ Rd，其中FXj（x）=P[Xj≤ x] ，j=1，d、 是边际累积分布函数（cdf）和C:[0，1]d→ [0，1]是一个copula。copula可以将依赖结构从边缘分布中分离出来，这对于构建多元随机模型很有用。我们假设读者对copulas有基本的了解，并参考了McNeil等人。

（2005）或Nelsen（2006）介绍。估计E[ψ（X）]的通常方法是通过蒙特卡罗模拟。在精算实践中，通常一组概率很低的X的结果对E[ψ（X）]有很大贡献。在这种情况下，重要性抽样可以增加该集中的样本数。通过加权方法，可以得到方差减小的无偏估计量。*SCOR Global P＆C，General Guisan Quai 26，8022 Z–urich，SwitzerlandEmail：philipp。arbenz@gmail.com+瑞士洛桑1015号EPFL 8号站数学研究所：mathieucambou@gmail.com加拿大滑铁卢大学统计与精算系：马吕斯。hofert@uwaterloo.caAnGlasserman和Li（2005）以及Huanget al.（2010）研究了保险2中copula模型的重要性抽样方法，并对Gauss copula和Bee（2011）研究了绝对连续copula。这些论文的灵感来自于金融应用中的copula模型，并假设copula是高斯函数或具有已知密度。然而，保险中使用的连接函数往往偏离这些假设。本文的主要贡献是研究不依赖于特定copula结构的重要抽样技术。我们考虑的情况是，当至少一个分量较大时，感兴趣的函数ψ主要取决于随机向量X的行为。这类问题通常来自金融和保险领域的依赖模型，其中涉及重尾分布的扭曲预期。我们提出了一个新的重要抽样框架，该框架可用于所有类别的copula模型，从中抽样是可行的。本文的组织结构如下。在第2节激励我们的工作之后，我们将在第3节介绍重要性抽样方法。

第4节介绍了拒绝采样算法，而第5节介绍了直接采样算法。对于其中的每一个，我们展示了提案分布的抽样、重要抽样权重的计算，并讨论了提案分布的最佳选择。第6节讨论了我们的算法在罕见事件设置中的效率。第7节给出了一个案例研究，第8节得出结论。2动机在copula模型中，我们可以写出[ψ（X）]=E[ψ（U）]，其中U=（U，…，Ud）：Ohm → Rdi是分布函数为C，ψ：[0，1]d的随机向量→ R定义为ψ（u，…，ud）=ψF-1X（u），F-1Xd（ud）,和F-1Xj（p）=inf{x∈ R:FXj（x）≥ p} ，对于j=1，d、 如果C和裕度FXjare已知，我们可以使用蒙特卡罗模拟来估计E[ψ（U）]。对于U的随机样本{Ui:i=1，…，n}，E[ψ（U）]的蒙特卡罗估计量由un=nnXi=1ψ（Ui）给出。（2.1）在本文中，我们只考虑当ψ的至少一个自变量为1时，或当X的至少一个分量为大时，等效地，ψ为大的情况。这一假设受到了保险业若干应用的启发，如以下示例所示：o具有免赔额T的止损险的公平保费为EhmaxnPdj=1Xj- T、 0oi。

相应的函数为ψ（u）=maxnPdj=1F-1Xj（uj）-T、 0o；关于两个帕累托边缘的ψ等高线图，请参见图1的左侧集合S=Pdj=1Xj的风险度量，如风险值、VaRα（S）或预期短缺、ESα（S）、α∈ （0，1），一般不能写成E型期望[ψ（X）]。然而，它们是聚合分布函数FS（x）=P[S的泛函≤ x] =E[ψ（x）（U）]，其中ψ（x）（x∈ R） 指示函数ψ（x）（u）=1F-1X（u）+···+F-1Xd（ud）≤ x个.保险中copula模型的一种重要抽样方法3u1u20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.21520501020050010005000图1：左：超额函数ψ（u，u）=max{F的等高线-1X（u）+F-1X（u）- 10，0}，其中边距为帕累托分布，FX（x）=1-（1+x/4）-2和FX（x）=1-（1+x/8）-灰色区域表示ψ为零的位置。右：乘积函数ψ（u，u）=F的等高线-1X（u）F-1X（u），其中X~ LN（2，1）和X~ LN（1，1.5）。因此，我们可以将rα（S）=infnx写入∈ R:E[ψ（x）（U）]≥ αo，ESα（S）=1- αZαVaRu（S）du，仅依赖于E[ψ（x）（U）]≥ α保持不变。这是由S的尾部行为决定的，当至少Tone分量接近1时，S的尾部行为强烈地受copula C的属性影响。请注意，预计缺口的Euler原则等资本分配方法表现类似，见Tasche（2008）和McNeil et al.（2005），第260页计算两个正重尾随机变量xandx的协方差（或相关性）需要计算E[XX]。隐含泛函为ψ（u，u）=F-1X（u）F-1X（u）。对数正态（LN）裕度的ψ等高线图如图1右侧所示。与前面的例子相反，该ψ不仅取决于（X，X）的尾部行为。

然而，当至少有一个参数接近1时，E[ψ（U）]主要取决于copula行为，因为在这种情况下，ψ变大。请注意，在此框架中，我们遵循（McNeil et al.，2005，备注2.1）的约定，即外部参照损失和-在精算背景下，这更常见。人们可以同样很好地处理损益随机变量-通过将感兴趣的区域更改为X的分量较小的区域。3重要性抽样重要性抽样背后的思想是从不同于目标分布C的建议分布Fv中抽样。建议分布将更多样本集中在对E[ψ（U）]贡献较大的区域。通过适当的加权方法，可以得到方差较低的无偏估计量。假设所考虑的函数ψ在上述类别中：如果至少有一个参数接近1，则ψ很大。在这种情况下，估计器unin（2.1）的一个缺点是，保险4中copula模型的重要抽样方法通常，对于许多样本Ui，没有一个分量接近1。因此，大多数样本位于低兴趣区域。因此，即使n很大，uncan的估计误差也很大。设V=（V，…，Vd）：Ohm → [0，1]d注意具有分布函数FV的随机向量。我们可以重写积分E[ψ（U）]asE[ψ（U）]=Z[0,1]dψ（U）dC（U）=Z[0,1]dψ（U）dC（U）dFV（U）dFV（U）=Eψ（V）dC（V）dFV（V）, （3.1）式中，dC/DFV表示C相对于FV的Radon-Nikodym导数。Radon-Nikodym导数存在的充要条件是copula C相对于FV是绝对连续的。我们将在本节后面提供有关此问题的更多详细信息。如果C和fV与Lebesgue测度的密度C和fV绝对连续，则Radon–Nikodym导数C/dFVis仅为密度C/fV的比率。i.i.d。

样本{Vi:i=1，…，n}对于V，我们可以确定重要性抽样估计量bun=nnXi=1ψ（Vi）w（Vi），（3.2），其中w（Vi）=dC（Vi）/dFV（Vi）是样本权重。然后，我们的目标是找到FV，使得bu的方差小于un的方差。为了确定建议分布FV，我们建议通过采用多变量cdf C[λ]：[0，1]d的加权平均值，采用混合方法→ λ的不同值上的[0，1]。设F∧表示随机变量∧的分布函数：Ohm 7.→ [0，1）。然后，我们确定了C[λ]混合物在分布F∧上的分布FV：FV（u）=ZC[λ]（u）dF∧（λ），u∈ [0，1]d.应将分布C[λ]理解为copula C的扭曲版本，其将集中样本在采样空间的特定区域。然后，这些区域将由λ的值参数化。更准确地说，我们将构造C[λ]，使其仅将质量置于区域[0，1]d \\[0，λ]d中。在续集中，我们将提出C[λ]的两个可能定义，这将定义两个重要采样算法，即第4节中的拒绝采样算法和第5节中的直接采样算法。我们将看到，这种混合方法是自然的，以便允许C相对于FV是绝对连续的。特别是，如果满足以下条件，则任何copula C都可以保证绝对连续性。条件A.随机变量∧满足P[∧=0]>0。为了获得明确的权重函数w（V）和无偏估计量bun，必须满足条件a。这种情况不需要对C进行特殊假设。虽然它看起来很有限制性，但我们将看到，还需要有一个一致的估计量bun。

为此，我们将满足以下条件A。建议分布FVas a C[λ]混合物的构造直接产生采样方法，因为人们可以通过第一次绘制∧来绘制FVby的实现~ F∧然后V~ C[λ]。因此，可以使用以下算法计算bun：算法3.1。修复n∈ N、 对于i=1，n、 do：1。图纸∧i~ F∧；2、图六~ C[λi]；3、计算w（Vi）；保险中copula模型的一种重要抽样方法5Return bun=n-1Pni=1ψ（Vi）w（Vi）。下面的引理建立了估计量bun的一致性和渐近正态性。引理3.2。假设var[ψ（U）]<∞ 而w（·）≤ B对于某些常数B<∞. 然后，1.bun几乎肯定会将P收敛到u；2、σ=var[ψ（V）w（V）]<∞ 和n1/2（bun- u）在分布上收敛到N（0，σ）。证据1、由于E[ψ（V）w（V）]=E[ψ（U）]，一致性直接来自拉金数定律。2、注意eψ（V）w（V）= Eψ（U）w（U）≤ Eψ（U）B<∞,如果第一个等式是通过改变度量来调整的，请参见（3.1）。我们可以通过中心极限定理立即降低bunb的渐近正态性，例如，参见Durrett（2010）第110页第2.4节。我们稍后将证明，在F∧的一些温和假设下，权函数确实在[0，1]上有界。4一种拒绝采样算法对于该算法，我们提出C[λ]表示U的分布，条件是其至少一个分量超过λ：C[λ]（U）=P[U≤ u环球开发商≤ ud | max{U，…，ud}>λ]=P[U≤ u环球开发商≤ ud | U/∈ [0，λ]d]=C（u）- C（min{u，λ}，…，min{ud，λ}）1- C（λ1），其中λ1=λ（1，…，1）=（λ，…，λ）∈ [0，1）d.注意，只有当C（λ1）=0时，C[λ]才是copula，但我们的算法不需要C[λ]是copula。通过在（0，1）上加上∧的质量，我们可以在至少有一个分量较大的copula区域上加上更多的权重。

例如，如果F∧是离散的，且P[λ=0]=P[λ=0.9]=0.5，则V的50%样本仅限于位于[0，1]d \\[0，0.9]d，而其他50%样本将位于[0，1]d。请注意，[0，1]d \\[0，0.9]d上的质量将高于50%。另一方面，在P[λ=0]=1 yieldsFV=C.4.1抽样方案分布的情况下，我们现在将描述如何从Fv中提取样本。当FVis通过混合分布定义时，通过绘制第一∧来绘制FVis的实现~ F∧然后V~ C[λ]，见算法3.1。不幸的是，对于众所周知的copula类，条件分布C[λ]在分析上是不可处理的。我们只知道一类冲击copula，即Marshall–Olkincopulas，可以直接从条件分布C[λ]中采样。附录A中提供了详细信息和相应的算法。然而，通过rejectionalgorithm，从C[λ]对任意copula C进行采样始终是可能的，该算法易于实现，但由于拒绝步骤可能会很耗时。使用下面的拒绝算法，可以从fv中为任何copula C提取样本。唯一的条件是可以从F∧和C中提取实现。没有必要了解C的进一步属性，例如其密度。基本思想是首先从f∧中绘制一个实现∧，然后从C迭代绘制实现，直到获得大于∧的最大分量。保险6算法4.1中copula模型的一种重要抽样方法。绘制FV的一个实现：1。绘制∧~ F∧；2、反复画V~ C直到最大值{V，…，Vd}>λ；返回V。算法4.1的一个缺点是，由于步骤2中的接受条件，通常会丢弃许多C样本。

在实践中，有两个重要原因可以证明这种方法比标准蒙特卡罗方法更合理。首先，如果需要计算边际分位数函数，或者如果ψ没有闭合形式，则ψ的计算在数值上可能比从copula采样更昂贵。其次，在计算机内存中存储大量的U样本可能比生成U样本在数字上更昂贵。例如，这种情况可能出现在估计分配资本时，这需要存储整个多变量样本。特别是在高维问题中，内存约束可能非常令人望而却步。为了举例说明，请考虑以下示例：对于在具有重尾保证金的环境中计算风险资本和风险贡献，10\'000\'000的样本通常不够大，无法产生足够小的估计误差。然而，在具有双精度浮点数的1000维设置中，该样本需要大约80GB的内存，这比当前计算机的平均RAM容量还要多。算法4.1可能需要从U中进行多次实现，以生成V的一次实现。以下引理给出了获得V引理4.2实现的预期U数的表达式。让NV表示模拟FV的一个实现所需的从C绘制的次数。预期图纸数量isE【NV】=Z1- C（λ1）dF∧（λ）。证据从U中抽取的概率~ 满足度max{U，…，Ud}>λ为P[max{U，…，Ud}>λ]=1- C（λ1）。因此，从C[λ]模拟固定λ所需的绘制次数是随参数1几何分布的- C（λ1），期望值为1/[1- C（λ1）]。为了从V模拟，从F∧得出∧。因此，E【NV】通过平均1/【1】给出- C（λ1）]overF∧。使用Fr'echet–H¨offing界限（参见McNeil等人的定理5.7。