美式选件校准的模型简化

此外，双线性fromb（·，·）在w×Vand上是inf-sup稳定的，并且给出了（3.14）的唯一可解性，参见，例如，[8，定理2.1]。3.2.标定给定和观测Pobsiat（Ti，Ki），i=1，M、 我们需要计算赫斯顿模型PI（ν，S，Ti，Ki）中的相应价格，其中ν∈ R+是初始波动率。然而，ν的值是不可观察的，需要与参数ξ、ρ、γ、κ一起确定。我们将所有待识别的参数收集到单个向量Θ=（Θ，…，Θ）=（ξ，ρ，γ，κ，ν）∈ Popt，其中Popt：=Θ ∈ R： Θmin，i≤ Θi≤ Θmax，i，i=1，5.. （3.15）我们将PDE约束替换为对数变换变量中相应的弱离散问题。多边形域Ohm Ris由三角剖分NOF解决Ohm, 由JSIMPLIESTJN组成，1≤ j≤ J、 因此Ohm=∪田纳西州∈TNTN。我们使用标准一致性节点一阶有限元近似空间Xn 十、 越南 五、 其中xn：={V∈ 十： v | TjN∈ P（TjN），≤ j≤ J} ，andPis是一个阶数最多为1的线性多项式空间，andVN=XN∩五、 尺寸（XN）=NX，尺寸（VN）=NV。为了离散双空间W，我们使用定义在VNWNSPAN{χq，q，…，N}dim（WN）=NW=NV上的不连续分段线性双正交基函数，其中χq满足局部双正交关系：ZTjNχqφp=δpqZTjNφp≥ 0，φp∈ VN，p，q=1，内华达州。美式选项7离散锥体MN校准的模型简化 Wn给定asMN=span+{χq}NWq=1：=nη∈ WN：η=NWXq=1αqχq，αq≥ 0o（3.16）和（VN，WN）形成一致的inf-sup-stable配对。对于给定u∈ P、 k级∈ 一、 我们用wkn（u）近似wk（u）∈ XN，wkN（u）：=ukN（u）+ukN（u）和ukN（u）∈ VNandukLN（u）∈ x与λk+1（u）乘以λk+1N（u）∈ 锰，钾∈ 我

在缩基文献中，通常将ukN（u）和λkN（u）称为详细解。然后，对于欧洲看跌期权SUK+1N（u）∈ VN，u∈ P、 k级∈ 一、 解决以下离散问题eeun（u）=t型英国+1N- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θN，v；u）=fk+θ（v；u），（uN- u、 v）v=0，v∈ 越南。溶液对（uk+1N（u），λk+1N（u））∈ VN×MN，u∈ P、 k级∈ 一、 对于美式期权问题，则满足以下详细的鞍点问题EAMN（u）=t型英国+1N- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θN，v；u）- b（λk+1N，v）=fk+θ（v；u），b（η- λk+1N，uk+1N）≥ gk+1（η- λk+1N；u), η ∈ 锰，钒∈ VN，（联合国）- u、 v）v=0。这两个问题都有唯一的离散解，对于i=1，Mwe表示近似模型价格asPN，si（Θ）：=wkiN（log（S/Ki），ν；u），ESN∈ {，}如果上下文清楚，则省略pn，si符号中的索引。然后，最小化问题（2.1）可以用以下形式表示：∈PoptJN（Θ）：=MMXi=1 | Pobsi- PNi（Θ）|。(3.17)4. 降基法（RBM）通常，对于largeNV而言，高精度离散问题的计算成本很高，并且显著减慢了校准过程。为了降低复杂性，我们应用简化基方法并用简化顺序代理模型替换详细模型。如下文所述，使用合适的基生成过程，我们构造了低维约化空间SVN VN欧洲期权和VN VN，WN WN，MN MN适用于带DIM的美式期权（VN） 尺寸（VN）、尺寸（WN） 尺寸（WN）。对于给定u∈ P、 我们估计Euk+1N∈ VNbyuk+1N（u）∈ VN，λk+1N（u）∈ MNbyλk+1N（u）∈ 锰，钾∈ 我

校准美式期权8欧洲和美式期权的pricingMODEL简化的替代模型定义如下（u）=t型英国+1N- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θN，v；u）=fk+θ（v；u），（uN- uN，v）v=0，v∈ 越南。EAmN（u）=t型英国+1N- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θN，v；u）- b（λk+1N，v）=fk+θ（v；u），b（η- λk+1N，uk+1N）≥ gk+1（η- λk+1N；u), η ∈ 锰，钒∈ VN，（联合国）- uN，v）v=0。此外，我们要求构造约化空间svn，wn，使得双线性形式b（·，·）在wn×vn上相对于toN是一致inf-sup稳定的。因此，给出了约化问题EEuN（u）和EAmN（u）的适定性，另请参见[12，31]。我们用pn表示模型价格的约基近似，si（Θ）：=wkiN（log（S/Ki），ν；u），其中wkin（u）：=ukiN（u）+ukiLN（u）和ukiN（u）是n的溶液：=EsN，s={Eu，Am}对于i=1，M、 然后我们近似于jn（Θ）≈ JN（Θ），并得到简化模型minΘ的以下最小化问题∈PoptJN（Θ）：=MMXi=1 | Pobsi- PNi（Θ）|。（4.1）备注4.1。请注意，利率不是通过校准程序确定的，而是事先确定的。在我们的案例中，市场数据将是美国的一只股票，对于无风险利率的近似值，我们使用美国财政部的利率。因此，为了构造约化基空间，我们只需要考虑四个参数u=（ξ，ρ，γ，κ）的变化∈ P R、 然而，这种选择是有限制的，对于新市场数据，我们需要构建一个新的简化基集。因此，为了在我们的方法中保持通用性，我们考虑了所有参数的变化，u=（ξ，ρ，γ，κ，r），因此构造的约化基将完全独立于市场。构造约化基近似空间的方法有很多。

他们的共同目标是利用问题的参数依赖性，并将此信息合并到约化基的构造中。通常，这是通过对一组快照应用迭代贪婪策略来实现的，即为不同的参数值计算的解。对于线性抛物问题，一种流行的选择是将参数选择的贪婪策略与适当的正交分解（POD）结合起来，从而产生所谓的POD贪婪算法[，]。对于抛物型变分不等式，由于一致inf-sup稳定性的要求，构造更具挑战性。对于平稳变分不等式，通常使用greedysampling，[，]，而对于时间相关问题，文献中考虑了POD AngleGreed[]和POD-NNMF[]。在本文中，我们遵循了欧式期权的POD贪心算法和美式期权的PODAngle贪心算法的思想。由于欧式期权问题可以被视为美国期权问题公式的一个特例，我们将重点描述后一个问题的基础结构，并仅对差异进行评论。NNMF指的是非负矩阵因式分解过程[40]。美国选项9校准的模型简化考虑一个有限的子类N：={u，…，uN}，ui=uj，i 6=j，N∈ 并定义约化空间svn：=span{ψN}和wn：=span{N}，其中原始ψN：={ψ，…，ψNV} VN和对偶ΞN：={ξ，…，ξNW} WNreduced Bases由大量快照解决方案Ukn（ui）和λk+1N（ui），k构成∈ 一、 I=1，N、 缩锥定义为asMN：=跨度+{ξj}NWj=1：=nPNWj=1αjξj，αj≥ 0度。按构造ξj∈ MN因此MN 明尼苏达州。算法1中给出了构造ψNandΞNis的方法。

Weinvestigate参数domainP，该参数由一个有限的setPtrain代替 P、 通过greedysearch（步骤5–步骤13）。在贪婪循环中，我们确定了一个“最差”参数uN，即导致RB近似值最差的参数，并将其添加到训练集中。此选择需要一个误差度量值（uN），可以选择该值，例如，作为真正的误差界限[，]。从计算角度来看，后一种选择的可用性和高效计算使SIT更具吸引力。接下来，对于所选参数，达到停止标准的nmaxoleranceεtolof。对于原始缩减空间构造，我们采用标准POD贪心程序（步骤11），其中最差分辨轨迹Ukn（uN），k∈ 一、 及其在当前rb空间∏VN上的正交投影-1ukN（uN）压缩到第一个主POD模式：P OD{vk}k∈我:= arg minkzkV=1Xk∈Ikvk公司- （vk，z）VzkV。算法1吊舱角度贪婪算法输入：最大迭代次数nmax>0，训练样本集ptrain P、 targettoleranceεtolOutput：RB基ψN，Ξ和RB空间VN，WN1：任意选择u∈ PTRAIN和k∈ 一： =我∪ {一} 2：计算{ukN（u）}k∈一、 {λk+1N（u）}k∈I3：设置ξ=λkN（u）/kλkN（u）kW，Ξ={ξ}，W=span{ξ}4：设置ψ=正交归一化值kN（u），Tξo，V=span{ψ}5：对于N=1，Nmaxdo6：uN=arg maxu∈普特拉宁-1（u）7：如果εtrainN<εtolthen return8：结束if9：kN=arg maxk∈我]λk+1N（uN），WN-1.10： ξN=λkNN（uN）/kλkNN（uN）kW，ΞN=ΞN-1.∪ {ξN}，WN=span{N}11：ψN=P ODukN（uN）- ∏VN-1.ukN（uN）k∈我12： ψN=正交归一化{ψN-1.∪ {ψN，TξN}，VN=span{ψN}13：end Fort为了构造对偶RB空间，选择使结果锥体积最大化的向量，即显示与当前RB空间偏差最大的向量（步骤9）。

我们表示]（η，Y）：=arccos（k∏YηkW/kηkW）向量η之间的角度∈ W与线性空间Y W，其中∏Yη是η在Y上的正交投影。美式选项10校准的模型简化另外，为了形成一对统一稳定的简化空间Vn，WN，我们通过“最大化”TξN，[，]来丰富主空间Vn，其中T:WN→ Vn是一个“最大化”算子，定义为（TξN，v）v的解：=b（ξN，v），对于所有v∈ 越南。很容易看到·、·WN×vn对于欧式期权的情况，不需要对偶空间，因此省略了算法1中涉及拉格朗日乘子空间的步骤，从而得到了标准的pod贪心算法。这种方法的计算速度是通过所谓的o峈ine/在线程序实现的，该程序依赖于问题对其参数的依赖性这一假设。也就是说，对于每u∈ P双线性和线性形式是可分离的，即存在Θaq:P→ R、 q=1，Qa，使得a（·，·；u）：=PQaq=1Θaq（u）aq（·，·），其中q:V×V→ 罕见的参数独立。相同的参数适用于tofk+θ（·；u）、gk（·；u）和un（u）。然后，一个函数例程需要评估所有与参数相关的量。通常，此过程的计算成本很高，但仅执行一次。反过来，在线程序的计算成本很低，涉及到装配参数相关组件和求解简化系统。此u∈ p更多详细信息。5、非美国化战略（DAS）与基于基础价格的缩减基差框架相比，DAS在校准之前将观察到的美国市场价格转换为伪欧洲价格。也就是说，给定美式看跌期权的输入数据，我们考虑JN（Θ）的最小化问题（3.17）≈eJN（Θ），minΘ∈PopteJN（Θ）：=MMXi=1 | ePobsi- PNi（Θ）|，（5.1），其中价格低于伪欧洲看跌期权价格。

这些是通过扰动美式看跌期权价格spobsj获得的，即ePobsj：=D（Pobsj），其中D：RM→ RM和PnjΘPN，EujΘ我们使用二叉树方法，参见[]，将美式期权价格转换为伪POBSJ，j，M已经收集到，对于每一个股票期权，校准一个二叉树以匹配该期权价格POBSJ。结果树用于对相关的所谓美国化方法进行定价，如【11，算法1】所示。美式期权可以简化为欧式期权定价的线性模型，从而可以利用闭式解或傅立叶技术。在下文中，我们表示由PCFI通过半闭式解获得的价格，参见【33】。这导致以下最小化问题minΘ∈PopteJCF（Θ）：=MMXi=1 | ePobsi- PCFi（Θ）|。（5.2）我们注意到，从计算的角度来看，DAS非常有吸引力，尤其是与闭式解的结合。然而，对于每组观测值，校准美国选项11的模型简化需要额外的预处理时间，以将美国数据转换为欧洲数据，并且，正如我们稍后将看到的，这一步骤可以控制整个校准程序的计算成本。还可以考虑将成果管理制与非美国化战略相结合，即将成果管理制应用于近似的Eeunbyeun。相应的最小化问题可以表述为如下minΘ∈PopteJN（Θ）：=MMXi=1 | ePobsi- PNi（Θ）|，（5.3）带PNi（Θ）=PN，Eui（Θ）。我们注意到，由于盒子约束的存在，这个有限维最小化问题允许一个解决方案，例如，参见[62]。6、数值结果对于欧式选项校准的特殊情况，最流行的优化算法是基于梯度的优化方法；参见，例如，[，]及其引用。

相比之下，对于美式期权，由于不可区分性，情况更加复杂，参见，例如[，]。这里，我们使用MATLAB优化工具箱，通过有限差分近似梯度。对于数值实验，我们设定t=2，I=250，t=t/I=0.008，θ=1/2。计算域Ohm = （νmin，νmax）×（xmin，xmax）=（10-5,3)×(-,5） 通过nx=4753个节点的三角测量解决。对于u：=（ξ，ρ，γ，κ，r）∈ P RandΘ：=（ξ，ρ，γ，κ，ν）∈ Popt公司 R、 我们定义≡ [0.1, 0.9] × [-0.95，0.95]×[0.01，0.5]×[0.1，5]×[0.0001，0.8]，（6.1）Popt≡ [0.1, 0.9] × [-0.95, 0.3] × [0.01, 0.5] × [0.1, 5] × [10-5, 1]. （6.2）除非另有说明，否则使用withlsqnonlin执行校准例行程序，该仪器使用SJΘ- JΘ？≤-12，kΘ- Θ?k≤ 10-5，在哪里？是局部最优解。6.1.基于RBM的校准。我们考虑由均匀分布的点组成的训练集Ptrain，对于欧式看跌期权，其| Ptrain |=1024，对于美式看跌期权，其| Ptrain |=3125。基础分别由欧式和美式期权的POD贪心算法和POD角度贪心算法生成。对于欧洲put，简化系统的维数nmax=100；对于美国puta合成数据集，维数nmax=125，r=5%：美国选项校准的模型简化12S=1，T=，K={0.95，0.975，1，1.025，1.05}，T=，K=K∪ {0.9，0.925，1.075，1.1}，T=，K=K∪ {0.85，0.875，1.125，1.15}，T=1，K=K∪ {0.8，0.825，1.175，1.2}，T=2，K=K∪ {0.75, 0.775, 1.225, 1.25}.（6.3）对于每对（Ti，Ki），i=1，。。。，5，我们生成了两组观察结果，包括65个欧洲和美国看跌期权，Θ=（0）。，-.,.,.,.3).