将信号纳入最佳交易

G的一个重要子类是有界、非递增凸函数G：（0，∞) → [0, ∞) （见[3]中的命题2）。2.2马尔可夫信号的结果在本节中，我们介绍了当信号是一个cádlág马尔可夫过程时，关于最优策略的存在性和唯一性的结果。正如[21]第2节所述，我们将讨论限制在确定性策略上。备注2.9将讨论信号自适应随机策略的成本函数最小化。我们考虑以下一类策略，Ξ（x）={x |确定性容许策略，其中x=x且在[0，T]}中有支持。注意，对于任何X inΞ（X），成本函数（2.4）的形式为Z ZtEι[Is]ds dXt+Z ZG（|t- s |）dXsdXt+φZTXtdt。（2.6）在我们的第一个主要结果中，我们证明了最多存在一种使成本函数最小化的策略（2.6）。定理2.3。假设G∈ G、 然后，在可容许策略类Ξ（x）中，成本泛函（2.6）至多存在一个极小值。在我们的下一个结果中，我们给出了成本函数（2.6）最小化的必要和充分条件。定理2.4。十、*∈ Ξ（x）使Ξ（x）上的成本函数（2.6）最小化，如果且仅当存在一个常数λ，使得x*solvesZtEι[Is]ds+ZG（| t- s |）dX*s- 2φZtX*sds=λ，对于所有0≤ t型≤ T、 （2.7）下面是几句话。备注2.5。在代理人不依赖信号（即i=0）且存在零风险规避（φ=0）的特殊情况下，定理（2.3）和（2.4）与[21]中的命题2.9和定理2.11一致。备注2.6。Dang研究了（2.4）中的风险规避项不为零，但I=0的情况。在[17]的第4.2节中，给出了当容许策略是确定性和绝对连续的时，存在非最优策略的必要条件。

当I=0时，我们在（2.7）中的条件与Dang的结果一致，且容许策略是绝对连续的。然而，请注意，如果[17]中的条件也有效，并且最优策略的唯一性，即使在导言中提到的Ornstein-Uhlenbeck信号的I=0.2.3结果的特殊情况下，仍然保持开放，则需要特别注意信号I是Ornstein-Uhlenbeck过程，dIt=-γItdt+σdWt，t≥ 0，I=ι，（2.8），其中W是标准布朗运动，γ，σ>0是常数。在下面的推论中，我们推导出了在零风险厌恶和G指数衰减的情况下最优策略的显式公式。以下推论概括了Obizhaeva和Wang[31]的结果，他们在没有信号的情况下解决了这个控制问题。推论2.7。让我按照（2.8）中的定义来定义。假设φ=0，G（t）=κρe-ρt，其中κ，ρ>0是常数。然后，存在唯一的极小值X*∈ Ξ（x）至成本函数（2.6），由x给出*t=（1-b（t））·x+ι2κργρ- γγ·b（t）- （ρ+γ）·b（t）- （ρ+γ）·b（t）, （2.9）其中b（t）={t>0}+1{t>t}+ρt2+ρt，b（t）=1- e-γt- b（t）（1- e-γT），b（T）=1{T>T}+ρT-b（t）（1+ρt），b（t）=（b（t）- 1{t>t}）e-γT.注意1- 对于i=1、2、3，b（T+）=0和bi（T+）=0，此外，最优策略在x和ι都是线性的。在图1中，我们给出了一些具有以下参数的最优策略示例：γ=0.9，κ=0.1，T=10，x=10。这些特定值与第4.2节末尾估计的经验参数兼容。信号ι取任意初始值（-0.5、0和+0.5）。ι=0的特殊情况给出了与Obizhaeva和Wang相似的结果[31]。

控制市场影响衰减的参数ρ无法根据我们现有的数据进行估计，因此我们可以取两个任意但实际的值（1.0和2.5）。我们观察到，对于ρ值较大的情况，最优交易策略的初始跳变大于小ρ策略的相应跳变，但交易速度的变化较小。我们特别注意到，当初始信号与交易方向相反时（对于卖出订单，ι>0），交易开始于预期的购买，之后交易速度最终变为负值。另一方面，当初始信号与交易方向相同时，最好立即开始销售，大部分库存在T/2之前售出。在下面的备注中，我们讨论推论2.7的结果。备注2.8。注意，在ρ→ ∞, （2.6）中的市场影响条款，RTRTG（| t-s |）dxsdx形式上对应于瞬时市场影响产生的成本，即G（dt）=κδ。我们简要地讨论了最优策略X的渐近性*t=X*t（ρ）in（2.9）当ρ→ ∞. 很容易验证，在极限内，0 2 4 6 8 1002468101214X*t0 2时间t0.040.020.000.020.04dX*t（ι=-0.5,ρ=1.0)(ι= +0.0,ρ=1.0)(ι= +0.5,ρ=1.0)(ι=-0.5，ρ=2.5）（ι=+0.0，ρ=2.5）（ι=+0.5，ρ=2.5）图1：根据（2.9）对于γ=0.9，κ=0.1，T=10和x=10的最佳交易策略。我们展示了出售10支股票的不同场景：没有信号、有积极信号和有消极信号。我们区分了市场影响的缓慢衰减（实线）和快速衰减（虚线）。

上图显示剩余库存，下图显示交易速度（0<t<10）。X的跳跃*消失（见（5.12）中的A和D了解跳跃的显式表达式），以及极限最优策略X*(∞) 是一个由x给出的光滑函数*t型(∞) = X+ι2κγ1.- e-γt-ι2κγt.受这些渐近结果的激励，在下一节中，我们将进一步探讨最小化交易成本的绝对连续策略–风险规避函数。我们将在此假设市场影响是瞬时的，即G（dt）=κδ，并从可接受的策略中去除燃料约束（t>t时Xt=0）。然后，当风险厌恶项为非零时，导出了最优策略的显式公式。备注2.9（2.9的自适应版本）。方程（2.9）给出了库存X=X且t=0的交易者的最优解，该交易者正在观察信号ι=i的初始值，并且希望最小化指数衰减核和φ=0的（2.6）。成本函数由，U（[0，T]）：=Zτ给出∈[0，T]Zs∈[0，τ]E[Is | FW]ds dXτ+Zτ∈[0，T]Zs∈[0，T]κρe-ρ|τ-s | dXsdXτ，其中（FWt）t≥0是I的自然过滤。在这种情况下，一旦交易开始，就不可能在考虑新信息（即信号的新值）的同时更新策略。这可以与第3节中的一个更简单的框架进行比较，其中针对任何0≤ t型≤ T

因此，我们对（2.9）的自适应框架进行简短讨论。在任何时间t更新最优策略的一种自然方法是定义X：={Xs:t≤ s≤ T}作为成本函数的最优策略u（[T，T]）：=Zτ∈[t，t]Zs∈[t，τ]E[Is | FWt]ds dXτ+Zτ∈[t，t]Zs∈[t，t]κρe-ρ|τ-s | dXsdXτ。但是请注意，U（[0，T]）=U（[0，T]）+U（t，t）+U（t，t），其中U（t，t）=Zτ∈[t，t]Zs∈[0，τ]E[Is | FW]ds dXτ+Zτ∈[t，t]Zs∈[0，t]κρe-ρ|τ-s | dXsdXτ和U（t，t）=Zτ∈[0，T]Zs∈[t，t]κρe-ρ|τ-s | dXsdXτ。这意味着如果使用▄X代替X*对于某些τ∈ （t，t），交易者将具有anFt自适应控制，但不一定与X一致*使u（[0，T]）最小。因此，在实践中，可以在以下选项中进行选择：o最佳策略X*, 仅限于t=0时的信号信息；o每次t时更新的近似策略X∈ （0，T），其中考虑了它的整个轨迹；o与无衰减的市场影响相对应的最优策略（如第3节所示）。这些策略中的哪一种效果最好，这个问题仍然悬而未决。请注意，在成本函数U中，时间易变性是瞬态市场影响项的结果。在[34]中，还研究了时间不一致的最优清算问题。然而，文献[34]中问题的不稳定性源于风险厌恶项。备注2.10（价格操纵）。如果中间买入（卖出）交易可以降低卖出（买入）策略的预期成本，则市场影响模型允许交易触发价格操纵（见[3]中的定义1）。

[21]中的定理2.20意味着，对于成本函数2.7，在可接受的策略类别上，交易触发的价格操纵是不可能的，在这种情况下，I≡ 0和φ=0。然而，图1显示，向相同的市场影响模型添加信号可以创建不是单调递减的最优策略，因此意味着可能存在价格操纵。研究市场影响内核的条件和确保没有价格操纵的交易信号将是非常有趣的。研究这些价格操纵对其他市场参与者可能产生的影响也非常重要。3临时市场影响的最优策略在本节中，我们研究一个最优交易问题，该问题与第2.1节中介绍的问题具有一些共同特征。我们再次考虑一个包含马尔可夫信号的价格过程。本节的主要变化是，（2.2）中的市场影响是暂时的，即核由G（dt）=κδ（dt）给出，其中δ是狄拉克的δ测度，κ>0是一个常数。注意，这种类型的内核不包括在（2.2）中介绍的内核类G中。本节的主要目的是展示如何将交易信号纳入（CJ）框架【10】。我们获得的结果可与第2节的结果进行比较（见备注2.8）。

回想一下，当核G=Gρ“收敛”到狄拉克的δ测度ρ时，我们启发式地得到了最优策略→ 如第2节开头所述，我们继续假设I是一个cádlág马尔可夫过程，但我们添加了一个假设，即eι|It |]≤ C（T）（1+|ι|），适用于所有ι∈ R、 0个≤ t型≤ T、 （3.1）对于某些常数C（T）>0。为了简单起见，我们假设Mt=σPWtso thatdPt=Itdt+σPdWt，其中{Wt}t≥0是布朗运动，σpis是正常数。在下例中，可接受策略上的燃油约束将用终端惩罚函数代替。这使我们能够在Cartea和Jaimungal的框架内考虑绝对连续的战略（参见[12，13，14]）。我们引入了一些与此设置相关的其他定义和符号。设V表示一类渐进可测控制过程r={rt}t≥0对于其| rt | dt<∞, P-a.s.适用于任何x≥ 0我们定义=x-Ztrtdt。（3.2）这里xrti是交易者在时间t持有的库存量。我们通常会抑制r中X的依赖性，以简化符号。受线性瞬时市场影响的价格过程由t=Pt给出- κrt，t≥ 0，其中κ>0。注意，当G（dt）=κδ（dt）时，s对应于（2.2）。投资者的现金流量：=现金流量=（Pt- k rt）rtdt，C=C。为了与Cartea和Jaimungal在[12,13,14]中的早期工作保持一致，我们将清算问题定义为现金和风险规避之间差异的最大化。

如前所述，容许策略上的燃油约束将由惩罚函数代替，惩罚函数由xt（PT）给出- %XT）其中%为正常数。得出的成本函数由VR（t，ι，c，x，p）=E，c，x，phCT给出- φZTXSDS+XT（PT- %XT）i，（3.3）式中φ≥ 0是一个常数，Et，ι，c，x，表示期望值，条件是它=ι，Ct=c，Xt=x，Pt=p，。值函数isV（t，ι，c，x，p）=supr∈VVr（t、ι、c、x、p）。注意，这个控制问题可以很容易地转化为交易成本和风险规避的最小化，如第2节所述。让LIbe为进程I的生成器。然后，相应的HJB方程为0=电视+ιpV+（σP）pV+LIV- φx+suprnrp- κr简历- rxVo，（3.4），终端条件v（T，ι，c，x，p）=c+x（p-%x） 。设Et，ι表示以其为条件的期望=ι。在下面的命题中，我们推导出（3.4）的解决方案。命题3.1的证明与[14]中命题1的证明一样。提案3.1。假设%6=√κφ. 然后，对（3.4）存在一个解，该解由v（t，ι，c，x，p）=c给出-xp+v（t，ι）+xv（t，ι）+xv（t），（3.5），其中v（t）=pκφ1+ζe2β（t-t） 1个- ζe2β（T-t） ，v（t，ι）=ZTteκRstv（u）duEt，ι[Is]ds，v（t，ι）=4κZTtEt，ιv（s，Is）ds，常数ζ和β由ζ=%+√κφ% -√κφ，β=rκφ。在下面的命题中，我们证明（3.4）的解确实是（3.3）的非最优控制。提案3.2。假设%6=√κφ. 然后（3.5）最大化成本函数n（3.3）。最优交易速度r*这是byr提供的*t=-2κ2v（t）Xt+ZTteκRstv（u）duEt，ι[Is]ds, 0≤ t型≤ T、 命题3.1和3.2的证明见第5.2节。以下推论直接来自命题3.1和3.2。请注意，Annorstein-Uhlenbeck工艺满足要求（3.1）。推论3.3。

假设与命题3.1相同的假设，现在让我遵循（2.8）中的Ornstein-Uhlenbeck过程。然后，存在一个最大化错误*∈ V到Vr（t，ι，c，x，p），由R给出*t=-2κ2v（t）Xt+ItZTte-γ（s-t） +κRstv（u）哑弹, 0≤ t型≤ T、 在以下备注中，我们比较了第2节和第3节的结果。备注3.4。如果我们将（3.3）中的风险规避和惩罚系数φ，%in设置为0，那么从命题3.1的证明来看，v≡ 在与推论3.3相同的信号假设下，由R给出了最优策略*t=-It2κγ1.- e-γ（T-t）, 0≤ t型≤ T、 （3.6）与X一致*t型(∞) 摘自备注2.8。备注3.5。通过使用r的渐近性，可以启发式地对推论3.3中的最优策略施加“燃料约束”*t当%→ ∞. 在这种情况下，ζ→ 1和rftisrft表示的极限最佳速度=-2κ2英寸v（t）Xt+ItZTte-γ（s-t） +κRst？v（u）哑弹, 0≤ t型≤ T、 式中，v（T）=-pκφ1+e2β（T-t） 1个- e2β（T-t） 。备注3.6。需要注意的是，（2.9）通过仅使用T=0时的O.U.信号信息，在（GSS）框架中给出了时间范围[0，T]上的最优策略。另一方面，（3.6），即（CJ）框架中的最佳交易速度RTI，使用的是时间t上的信号信息。这里的一个关键点是，如果试图在时间间隔[t，t]上重复解决（GSS）框架中任何t>0的控制问题，通过使用ITAN和STA作为输入，最优策略不一定会最小化[0，t]上的成本函数（2.4）。原因是（2.4）中的控制问题可能不一致。在[0，t]产生的市场影响（以及交易成本之前）会影响[t，t]的成本函数（更多详情请参见备注2.9）。

当我们设置G（dt）=δtin（3.3）时，这种影响消失。在图2中，我们模拟了最优库存X*这是由最佳交易速度r导致的*来自推论3.3。在黑色实线中，我们在没有信号的情况下给出了最优库存，因此在这种情况下，最优策略是确定的。图2中的红色区域是最佳库存X的1000次实现的“热图”*. 模型的参数为γ=0.1，σ=0.1，I=0，如（2.8）所示，对于成本函数（3.3），T=10，κ=0.5，φ=0.1，X=10，%=10。我们观察到，随机策略是经典确定性最优策略的扰动。在图3中，我们给出了t=0时的值函数（3.5），假设条件与图2相同，即假设i是一个OU过程，并且模型参数相似。更准确地说，weplot V（0，ι，c，x，p）- （c）- xp），因此我们省略了不影响模型行为的常数。我们观察到，最优销售策略产生的收入*受信号ι的方向和值影响。当信号为正时，表明潜在价格上涨的阿塞尔策略的收入高于负信号情景。4交易中使用信号的证据在本节中，我们分析与限额订单账面失衡相关的财务数据。本节中的数据分析旨在支持图2：最优库存模拟X的模型*这是由tradingspeed r*来自推论3.3。在黑色曲线中，我们给出了在没有信号的情况下的最佳库存量。红色区域是最优库存X的1000条轨迹图*.