基于Copula模型的投资组合风险评估

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英文标题：
《Portfolio Risk Assessment using Copula Models》
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作者：
Mikhail Semenov, Daulet Smagulov
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In the paper, we use and investigate copulas models to represent multivariate dependence in financial time series. We propose the algorithm of risk measure computation using copula models. Using the optimal mean-$CVaR$ portfolio we compute portfolio\'s Profit and Loss series and corresponded risk measures curves. Value-at-risk and Conditional-Value-at-risk curves were simulated by three copula models: full Gaussian, Student\'s $t$ and regular vine copula. These risk curves are lower than historical values of the risk measures curve. All three models have superior prediction ability than a usual empirical method. Further directions of research are described.
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中文摘要：
在本文中，我们使用并研究了copulas模型来表示金融时间序列中的多元依赖性。提出了基于copula模型的风险度量计算算法。利用最优均值-$CVaR$投资组合，我们计算了投资组合的损益序列和相应的风险度量曲线。风险价值和条件风险价值曲线由三个copula模型模拟：全高斯、Student\'s$t$和正则vine copula。这些风险曲线低于风险度量曲线的历史值。这三个模型都比通常的经验方法具有更好的预测能力。还描述了进一步的研究方向。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：投资组合风险 Copula opula 投资组合 风险评估

使用Copula模型进行投资组合风险评估？Mikhail Semenovand Daulet SmagulovTomsk理工大学，俄罗斯托木斯克，sme@tpu.ru主人daulet@gmail.comAbstract.在本文中，我们使用并研究了copulas模型来表示金融时间序列中的多变量相关性。我们提出了利用copula模型计算风险度量的算法。使用最优平均CV aR投资组合，我们计算投资组合的损益以及相应的风险度量曲线。风险值和条件风险值曲线由三个copula模型模拟：全高斯、Student\'s t和正则vine copula。这些风险曲线低于风险度量曲线的历史值。这三个模型都比通常的经验方法具有更好的预测能力。进一步的研究方向进行了描述。关键词：风险价值，风险评估，最优投资组合，vine copula，多元依赖。1简介风险管理中常用的风险度量是“风险价值”（V aR）和“条件风险价值”（CV aR），可根据不同的重要程度确定。文献[25]表明，在资产收益和损失序列存在相关性的情况下，一维风险度量V aR和CV aR对投资组合风险的评估不正确。因此，为了评估投资组合风险，有必要使用通过多元相关性确定的d维度量。有许多不同的方法积极用于表示多元依赖关系的应用，例如，主成分分析、贝叶斯网络、模糊技术、因子分析和联合分布函数[17,24]。随机变量x，x，xd完全由联合分布函数FX（x，x，…，xd）描述。分离fx（x，x，…）的想法。

，xd）分为两部分，一部分描述依赖结构，另一部分描述边际行为，引出了copula的概念。1959年，A.Sklar[36]首次证明了一个定理，即边缘分布的集合可以通过copula耦合在一起，形成多元分布。copula包含有关所涉及变量的依赖结构的所有信息。在论文[32]中，作者介绍了copula模型的概念及其在不同金融问题中的应用，包括风险度量任务。目前存在许多使用高斯（正态）分布描述财务数据的方法。众所周知，全高斯copula，即由高斯（正态）边缘构造的高斯copula，是描述马科维茨均值-方差投资组合理论的另一种方法。另一方面，大量实证研究表明，高斯分布在独立描述财务数据方面存在很多问题[27、33、40]。此外，在标准【12】中，建议不将Gaussiancopulas用于操作风险建模。例如，在大多数情况下，具有很少整数自由度（三或四）的Student t copula似乎更合适。文中提出了计算风险度量CV aR敏感性的闭式表达式[37]。本文的主要目的是通过从交易资产价格推导copula模型的相关参数，比较投资组合管理框架下的财务风险度量。投资组合管理框架下的价格风险研究[1、24、28、41]在许多方面彼此相似，仅在使用的数据和copula模型中的细微变化上有所不同？提交给国际经济学应用研究会议，2017年，俄罗斯佩尔姆。

在集合研究中，我们挑出了Ane et al[1]的论文，这是作者通过Claytoncopula选择国际股票指数回报依赖结构的第一篇论文。Lourme等人[28]讨论了在风险管理框架中测试全高斯和学生t连接函数的问题。他们提出了d维紧致高斯和Student置信区，在该区域内，均匀边缘位于（0，1）上的随机向量随概率α下降。结果表明，Student的t copula V aR模型是一种有吸引力的替代Gaussianone模型的方法。考虑股票、债券和房地产的投资组合，以确定选择正确的copula进行风险管理的重要性。测试了高斯、Student t和Gumbel copulasto模型每日收益率对这三种资产类别指数的依赖性。然后通过风险价值计算得出，高斯copula对资产的多元化收益过于乐观，而Gumbel copula过于悲观。未知参数的估计是一个重要的问题。目前，已经设计了许多构造copula的算法。对于copula模型估计，有三种方法：全参数方法【31】、半参数方法【6,28】和非参数方法【13,22】。全参数方法通过H.Joe[19，20]提出的两阶段最大似然估计（MLE）实现。copula采用两阶段参数MLE方法拟合，也被称为边际推理函数（IFM）方法。

该方法分两步确定copula：（1）估计边缘参数，（2）将边缘参数乘以第一步估计的值，然后估计copula参数。对于双变量情况，copula的主要族有：椭圆（高斯，Student\'s t）、阿基米德（Clayton，Frank，Joe）和极值（Gumbel，Cauchy）。在论文研究[41]中，采用了两阶段MLE方法，而作者在估计和测试过程中使用了不同边缘分布（高斯分布、学生t分布和偏态t分布）和不同Archimian Copula的所有可能组合。选择边际分布的决策是在MLE方法的第二步之后做出的。为此，建议修改Hansen检验的卓越预测能力【15】；它允许我们识别出一个具有更好预测能力的连接词。基于一个分布（例如，正态分布或Student分布）或一个生成函数的多元copula缺乏精确建模大量变量之间依赖关系的灵活性[5]。这些缺陷预先确定了进一步研究的方向，因此Joe[18]提出了正则藤连接函数（R-vine）的概念，并在[5,9]中进行了更详细的发展。R-vine连接函数是一种灵活的图形模型，用于描述使用二元连接函数级联（二维函数）建立的多元连接函数。这个copula更容易解释和可视化，今天我们有很多方法可以使用它【9-11】。例如，在研究[11]中，提出了一种用于评估规则vine copula参数和模拟特定R-vine的新算法。

基于最大生成树算法（MST）的R-vine树结构的选择，在该算法中，适当选择边权重以反映较大的依赖关系。在本文中，我们对期货每日收盘价的四个时间序列进行copula模型的计算。我们使用Joe[19，20]的两阶段最大似然估计来估计种群模型。本文的贡献有三个方面。首先，我们表明，完全高斯和Student\'s t以及正则vine copula模型可用于表示短期金融时间序列中的多元依赖性（仅253个观测值）。虽然已经研究了copulas对长时间序列的影响[11,24,28]。其次，我们使用非正态边际分布：双曲型[2]、稳定的帕累托分布[33]和梅克斯纳分布[35]作为边际分布的可能形式。Stoyanov等人[37]解决了这个问题，但只考虑了对称稳定的帕累托分布、Student t分布和广义正态分布。第三，构建正则vine copula模型。我们对双参数copula使用非整数自由度，这大大扩展了copulas模型在投资组合风险管理基础上的可能性。为了比较不同风险度量（V aR、CV aR）的表现，我们建议对平均CVaR最优投资组合使用蒙特卡罗模拟。CV-aRportfolio优化的优点是，可以将平均CV-aRportfolio优化问题表述为线性规划问题[34]。我们在通过copula模型估计的不同水平上绘制并比较历史损益序列与V aRand CV aR曲线。论文的其余部分安排如下。在第2节中，我们介绍了我们的方法和数据集，我们的方法已经在这些数据集上进行了测试。

在第3节中，我们计算未来投资组合，并检查拟议投资组合的财务风险度量。最后是结论。2数据集和方法2.1数据集在本研究中，我们分别考察了MMCNorilsk Nickel PJSC（GMKR）、Gazprom PJSC（GAZP）、Sberbank PJSC（SBER）和future on RTS index（RTS）公司股票期货收盘日价格的时间序列。我们的样本涵盖的期限为一年，从2015年12月16日至2016年12月16日。分别表示为GMKR、GAZP、SBRF和RTS。所有有关期货价格的数据都是从Finam Holdings service（Finam.ru）收集的。2.2数据处理首先，我们将初始数据集转换为对数返回（log returns），以便使用可用于时间序列建模和后续转换的稳定数据集。方程式（1）将价格序列p转换为每个资产的对数收益r序列：rt，i=对数pt，ipt-1，i，（1）其中i∈ 1，d，d是资产数量，t∈ 1，T是一个时间点，在我们的例子中，T=253，d=4。由于我们要处理具有非线性依赖性的金融时间序列，因此我们使用朗克相关系数：肯德尔的τ和斯皮尔曼的ρ。在进一步的计算中，我们使用了Kendall的τ[11]。相关矩阵如表1所示。表1：。Spearman的ρ和Kendall的τSpearman的ρKendall的τlog返回RTS SBRF GAZP GMKR RTS SBRF GAZP GMKR RTS 1 0.78 0.67 0.27 1 0.58 0.49 0.18SBRF 0.78 1 0.58 0.29 0.58 1 0.41 0.19GAZP 0.67 0.58 1 0.35 0.49 0.41 1 0.24GMKR 0.27 0.29 0.35 1 0.18 0.19 0.24 12.3估算边际财务描述方法的参数目前存在使用高斯（正态）分布的IAL数据【21】. 另一方面，大量实证研究表明，高斯分布在描述财务数据方面存在很多问题[27、33、40]。

人们提出了各种非正态分布来模拟极端事件，我们选择双曲线分布、稳定分布和梅克斯纳分布作为边缘分布的三种可能形式。为简洁起见，此处未报告与三种可能的边际分布形式相关的著名公式，但可在[2、30、33、35、37]中找到。双曲线分布H（π，ζ，δ，u）是四参数分布[2]，它用π确定分布的陡度，ζ确定对称性，分布关于表2是对称的。对数收益边际分布模型参数估计参数RTS SBRF GAZP GMKR双曲π-0.08291 0.12785 0.06765 0.24050ζ 1.83534 0.00317 0.67834 0.01527δ 0.01918 0.00004 0.00618 0.00017u 0.00445 -0.00123-0.00090-0.00479稳定α1.86195 1.80091 1.85290 1.75151β0.19345 0.90962 0.84324 0.87382γ0.01236 0.01019 0.00816 0.00920δ0.00160 0.00072-0.00059-0.00153Meixnerα0.01925 0.02726 0.02209 0.00464β0.47214 0.68221 0.26678 2.12144δ1.74613 0.67245 0.69809 4.22827u-0.00575-0.00345-0.00158-0.03413表3。边际分布参数统计检验的相关p值ST边际RTS SBRF GAZP GMKRKolmogorov–Smirnov双曲型0.73 0.14 0.96 0.25稳定0.89 0.83 0.98 0.96Meixner 0.92 0.86 1.00 0.97安德森–达林双曲型0.69 0.39 0.98 0.22稳定0.70 0.26 0.72 0.73Meixner 0.49 0.52 0.98 0.00Cramér–冯MisesHyperbolic 0.65 0.34 0.98 0.22稳定0.78 0.73 0.99 0.89Meixner0.81 0.79 1.00 0.95如果ζ=0，则为位置参数u，δ为刻度参数。稳定分布S（α、β、γ、u）由四个参数描述[30、33、37]。

参数及其含义是：α，它决定了尾部重量或分布和峰度，β，它决定了分布的偏度，γ是尺度参数，u是位置参数。Meixner分布M（α，β，δ，u）有四个参数：u是位置参数，α是尺度参数，β是偏度参数，δ是形状参数[35]。上述分布的前两个参数是最重要的，因为它们确定了正态分布非典型的两个基本特性–重尾和不对称性【37】。双曲线分布的参数已通过内尔德-米德法、稳定分布和梅克斯纳分布（通过Cramér-von Mises距离）进行估计。对数回归的结果如表2所示。我们计算了经验边际值和固定边际值之间的Kolmogorov–Smirnov（KS）检验、Anderson–Darling（AD）检验和Cramér–vonMises（CvM）检验，相关p值分别见表3。由于在所有情况下，p值都很高，这表明拟议的边际分布确实是数据集的良好模型。根据CVM测试的结果，我们将Mexiner分布作为每个基础资产的边际（由格雷因表3表示）。无花果