平稳遍历过程的希尔伯特空间

因此，我们有：qQ；Pr（q）=([ ]（q） （）=（十）!:x个?^[x] =q）（41）定义11（观察条件）。给定一些观察到的序列X?, 我们的条件如下：Pr（qjx），常数：([ ]（q） j?x） （42）引理5。假设平稳性，x?;（十）!)>)1） Pr（qjx）=（yx!:y?^[yx]=q）（十）!)（43）2）XqQPr（qjx）=1（44）证明：表示规范化常数asC，Pr（qjx）=C（yx!:y?^[yx]=q）（45），这意味着（在最后一步中调用平稳性）C=（yx!:y?) =(?x个!) =（十）!) （46）第二句话是立即的。备注5。在De中假设一个观测序列是su完整传输序列的x；任何nite值序列可能出现在规范之前共同遵守。还有，注意：qQ；Pr（qj) =Pr（q）（47）2）概率自动机生成器：定义12（概率自动机（PA））。概率Automata是一个4元组(; Q;e), 哪里是一个nite集（thealphabet），Qj是状态空间，:Q!Qis过渡图，ande:Q![0；1]规格国家规范C转移概率，令人满意QQ；Pe（q）；) = 1、定义13。我们使用以下术语：eij，e（qi；j） （变形矩阵）ij，X:（qi；)=qje公司（qi；) （转移概率矩阵）ij，e（qi；)如果（qi；) =qjotherwise（事件规范c转移矩阵）注意，我们有x= 我们说概率自动机=(; Q;e)有可能nite状态自动机（PFSA）ifjQj<。在这种情况下，我们有变形、转移概率和事件规范分别作为维数sjqj的c转移概率矩阵 jjjQj公司 jQj；jQj公司 jQj。概率自动机是静态遍历的方便表示nite值随机过程。

我们说，如果所有的nite dimensionaldistributions（FDD）可以从中恢复，即：模型表示达到FDD等效的过程。引理6（随机过程的概率自动机）。(; Q;e)如果}[0；1]jQj；其中xj}j=1；s、 t.iQ；XjQ}jij=}i（48）证明：We dene}x；x；x个?如下：}=}（49a）}x=q} x个y（49b）x=}xe （49c）然后我们构造了一个Kolmogorov一致集n维分布递归为：Pr（X）=（50）Pr（X  XnXn+1=x  xn公司)=Pr（X  Xn=x  xn）x个（51）然后通过调用Kolmogorov扩张定理[5]导出FDD等价测度空间(!;F; ).的递归构造方程式中的nite维数分布。（50），（51）不依赖于时间变化，因此保证了平稳性。这就完成了证明。我们使用以下符号：符号4。如果(; Q;e)在引理6的意义上对平稳随机过程进行编码(!;F; )然后我们写道：(; Q;e)j=(!;F; ) （52）基于概率自动机的编码的重要性来自以下命题。命题2（规范编码器的存在）。由测度空间生成的各系统遍历过程(!;F; ), 我们有一个(; Q;e), 以便：(; Q;e)j=(!;F; ) （53）证明：由三重态(!;F; ) 诱导a(; Q;e) 如下所示（此构造在后继中称为规范编码）：1）标识QA是N、 2）将过渡结构标识为：qQ；choosex公司?;s、 t.[x]=q：那么;（[x]；) = [x];e（[x]；) =x个我们声称符号导数可以从(; Q;e). 为了证实这一说法，我们将构建一组递归关系，使我们能够恢复符号导数的完整集合。

我们表示}xji，Pr（qijx），并继续注意：XjQ}jj公司ji=XjQ（十）!: [x] =j）（十）!: [x] =i^[x]=j）（十）!: [x] =j）（我们假设（十）!)>0）=XjQ（十）!: [x] =i^[x]=j）（54）=（y）!: [y] =i）=}ji（55），这意味着一个唯一的平稳分布对应于 存在，由}给出. 接下来，我们观察：}x冀=（yx!: [yx] =（一）（十）!)（来自De初始11）（假设（十）!)>0和（十）!)>0）=PjQ（yx!: 【yx】=j^【yx】] =（一）（十）!)（56）=XjQ（z）!: [z] =j）（十）!)（yx!: 【yx】=j^【yx】] =（一）（z）!: [z] =j）”（十）!)（十）!)（57）=XjQ（yx!: 【yx】=j）（十）!)（yx!: 【yx】=j^【yx】] =（一）（yx!: [yx]=j）”（十）!)（十）!)（58）=uvXjQ（yx!: 【yx】=j）（十）!)（yx!: 【yx】=j^【yx】] =（一）（yx!: [yx]=j）}~=uvXjQ（yx!: 【yx】=j）（十）!)（z）!: [z] =j^[z] =（一）（z）!: [z] =j）}~=uvXjQ}xjjjji}~（59）最后，我们注意到：XqjQ}xjqje（qj；) =XqjQPr（qjjx）e（qj；) （60）（假设（十）!)>0）=XjQ（yx!: 【yx】=j）（十）!)（yx!: 【yx】=j）（yx!: 【yx】=j）（61）=XjQ（yx!: 【yx】=j）（十）!)(62)=(?x个!)（十）!)=（十）!)（十）!)=xj公司（63）式（63）中引用了平稳性。我们注意到等式。

（55）、（59）和（63）可以总结为（表示}xas行向量以使用矩阵表示法）：} =}（64a）和，x?; ;s、 t。（十）!)>; （十）!)>0，}x=J} x个K（64b）x=}xe （64c），这为我们提供了所需的递归，以恢复符号导数的完整集x： x个?; （十）!)>g、 引理4保证度量可由以下结构构成(; Q;e).注释5。命题2中描述的规范编码表示为(; Q; ;e).备注6。在命题2中，状态空间的有限性并没有被用来改善PA编码器的存在性，因此构造是大气可数的。定义14（封闭限制）。封闭式限制(; Q;e)是一个模型(; Q;e)以便： ,QjQ（65a）; qQ；（q）；)Q（65b）; qQ；e（q）；) =e（q）；) （65c）概率自动机的所有闭限制集=(; Q;e)表示为asC（G）。闭合限制HC（G）是最小闭合限制ifC（H）=fHg（66）概率自动生成的所有最小闭合限制的集合，表示为asC？（G） 。