资本利得税下的无套利资产在时间上的本地化程度如何

另一方面，X1,2（ω）>0乘以（4.18），X1,3（ω）<0。现在，让N成为一些任意策略。By（4.23），pu=1（N0，u-1.- N0，u）=N0，0，我们有估计值xu=1（N0，u-1.- N0，u）X0，u≤ N0,0X0,3{ω}+X0,2{ω}.利用（4.24），我们对时间1的购买收益进行了模拟估计，并且由于x2,3<0，我们得出了atV（N）=Xs=0Xu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）Xs，u≤ N0,0X0,3{ω}+X0,2{ω}+ N1,1X1,2。一个hasV（N）≤ N0,0X0,3{ω}+X0,2{ω}+ N1,1X1,2=N0,0X1,2X0,3（ω）X1,2（ω）+N1,1X1,2=N0,0X0,3（ω）X1,2（ω）+N1,1X1,2，（4.25），其中第一个等式由（4.19）确定。现在，假设V（N）≥ 由于X1,2可以取正值和负值，（4.25）意味着确定性前置因子消失，即N0,0X0,3（ω）/X1,2（ω）+N1,1=0，因此V（N）=0。因此，市场满意度（NA）。我们构建了一个无套利模型，在同一只股票上有两个多头头寸，它们相互对冲。示例4.3的关键特征是，第2期的不良回报率之后是第3期的良好回报率，反之亦然。对于短期投资者来说，只有在第2阶段的收益中进行投机才有价值（因此，第3阶段良好收益的提前信息不能用于套利）。相比之下，对于一个长期投资者来说，如果她已经准备好在时间零点购买股票，并且由于延迟交易而获得较低的回报，那么第3期的回报会产生更大的影响。因此，相信这种随机模型的长期投资者希望在第二阶段获得糟糕的回报。在没有税收的无套利模型中不可能存在这样的例子，因为长期和短期投资之间的差异消失了。如下备注所示。备注4.4。设（S，S）为无资本利得税的风险股票ina模型的折扣离散时间买卖价格过程。

如果由无风险银行账户丰富的市场是无套利的，则存在一个Q~ 带S的P和aq-鞅≤ S≤ S（关于一般概率空间的结果，请参见Grigoriev[12]中的推论2.9）。然后，对于清算价值为零的任何动态策略，贴现影子价格中的收益过程ДoS也为零，其中Д表示风险股票的可预测数量。事实上，由于价格交易过程至少与买卖价格一样有利，因此有Q（^1oST≥ 0) = 1. 另一方面，具有非负终值的离散时间局部鞅是真鞅。当ДoS=0时，一个到达Q（ДoSt=0，t=0，…，t）=1。然而，这意味着，在0和T之间通过动态策略购买和出售的每一支独立股份的收益为零（融资后成本），因此不会产生如例4.3所示的影响。示例4.3中构造的扩展在以下示例中也很有用。在这里，我们想表明，在有限概率空间中，仅无套利并不意味着存在分离测度，因为就概率收敛而言，可获得的最终财富集不需要闭合。例4.5（无套利； 等效分离概率测度）。设T=4和Ohm = {ωn，1 | n∈ N}∪ {ωn，2 | n∈ N} ，F=F={, Ohm}, F=σ（{{ωn，1，ωn，2}| n∈ N} ）和F=F=2Ohm. 这意味着n已经在时间2显示，完整信息在时间3显示。

股价取决于仍需指定的参数，其读数为S=1、S=1+r、S=（1+r）（1+r）、S（ωn，1）=（1+r）（1+r）（1+r- εn，1），S（ωn，1）=（1+r）（1+r）（1+r）- εn，1）（1+r）and（ωn，2）=（1+r）（1+r）（1+r+εn，2），S（ωn，2）=0，其中r∈ （0，r）由（1+r）（1+r）（1）给出- α) + α = (1 + (1 - α） r）。此外，我们确定r>0满足（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1- α) + α < (1 + (1 - α） r），（4.26）但（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1- α) + α > (1 + (1 - α） r）。（4.27）在注释4.1（ii）中，该等REXIST。观察到，如果忽略εn，1，则（4.27）的LHS和RHS之间的差异对应于X0,4（ωn，1）。对于（4.26）和X0,3（ωn，i）/（1+（1）也是如此- α） r）如果εn，i，i=1，2，则忽略。注4.1（i）适用于R=R（即R=R）和R=（1+R）（1+R）- 1产量（1+r）（1+r）（1- α) + α > (1 + (1 - α） 因此，通过（4.26）r<r.（4.28），我们继续指定序列（εn，2）n∈N R+\\{0}。设ε>0足够小，使得（1+r）（1+r）（1+r+ε）（1- α) + α < (1 + (1 - α） r）和r+ε<r，存在于（4.26）和r<r中。然后，确定εn，2：=（1/n）∧ ε表示所有n∈ N、 该选择确保εN，2↓ 0，n→ ∞, supn公司∈NX0,3（ωn，2）<0，X1,3（ωn，2）>0，X2,3（ωn，2）<0，n∈ N、 （4.29）注意x1,3（ω）=-（1+r）（1+r）（1- α)(1 + (1 - α） r）εn，1：对于ω=ωn，1（1+r）（1+r）（1- α)(1 + (1 - α） r）εn，2：对于ω=ωn，2要完成股票价格过程的构建，仍然需要指定序列（εn，1）n∈N R+\\{0}。目标是条件x0,4（ωn，1）>0，X1,3（ωn，1）<0，n∈ N、 （4.30）和x1,3（ωN，2）X0,4（ωN，1）- 2X1,3（ωn，1）X0,3（ωn，2）≥ 0, n∈ N、 （4.31）是令人满意的。为了实现这一点，我们首先选择ε>0满足（1+r）（1+r）（1+r）（1+r-ε） （1+r）（1- α) + α > (1 + (1 - α） r），存在于（4.27）。

然后，我们考虑函数fngiven byfn（ε）：=X1,3（ωn，2）（1+r）（1+r）（1+r）- ε） （1+r）（1- α) + α - (1 + (1 - α） r）+2X0,3（ωn，2）（1+r）（1+r）（1- α)(1 + (1 - α） r）ε，n∈ N、 （4.32）如果X0,4（ωN，1）和X1,3（ωN，1）中的数字εN，1被变量ε替换，则fn（ε）是（4.31）的LHS。对于每n∈ N、 （4.32）中X1,3（ωN，2）>0后的因子收敛到正数（4.27），对于ε，X0,3（ωN，2）后的因子收敛到零↓ 因此，当ε>0足够小时，fn（ε）>0。因此，εn，1：=sup{1/k | k∈ N、 1/k<ε，且fn（1/k）>0}为正，且满足条件（4.31）。通过选择ε和εN，1≤ ε、 对于所有n，一个hasX0,4（ωn，1）>0∈ N、 此外，对于所有N，1的X1,3（ωN，1）<0∈ N，因此（4.30）。让我们来解释一下建筑的主要思想。如例4.3所示，对股票的长期和短期投资方向相反。对于长期投资，股票已在时间0购买。短期投资介于1和3之间，但1和2之间的回报率等于无风险利率r。如果股票仍在投资组合中，它只是提供了将税款推迟到时间2之后的机会，但如果在时间2决定不这样做，则没有任何机会。长期投资者希望事件{ωn，1 | n∈ N} 以及{ωN，2 | N的短期投资者∈ N} 。与例4.3相比，投资不仅相互抵消，而且如果持有合适的比率，就可以实现系统收益。问题是，短期投资的利润和损失随着n的消失而消失→ ∞. 因此，取决于n，人们需要在时间1购买越来越多的股票，但n在时间2之前不会显示出来。另一方面，如果在时间2购买股票，而没有延迟第2期应计收益的好处，那么肯定会亏损。

在不了解n的情况下，可以在时间1提前购买股票，如果不需要，可以在时间2无任何损失的情况下解决。此过程通过在时间1买入越来越多的股票，然后在时间2卖出不需要的股票，生成近似套利。在时间2消失在限额内时，投资组合中没有足够的短期股票的风险仍然存在。步骤1：让我们首先展示模型的满意度（NA）。对于时间0时的股票购买，我们有maxu=1,2,3,4X0，u（ωn，1）=X0,4（ωn，1），maxu=1,2,3,4X0，u（ωn，2）=X0,3（ωn，2），n∈ N、 （4.33）实际上，X0,4（ωN，1）>0由（4.30）保持，但X0,1<X0,2<0由（4.28）保持，X0,3（ωN，1）<0由（4.26）保持。对于ωn，2，我们有X0,4（ωn，2）<X0,1<X0,2<X0,3（ωn，2）。这里，最后一个不等式来自εn，2>0，注4.1（i）适用于R=R和R=（1+R）（1+R）- 1、对于时间1的库存购买，我们得到X1,2=0，X1,3>X1,4，（4.34），其中X1,3（ωn，1）>X1,4（ωn，1）从（4.26）开始，-εn，1<0，注4.1（i）。随后的购买会导致一定的损失，即X2,3<0，X2,4<0，X3,4<0，（4.35），其中X2,3（ωn，2）<0由（4.29）保证。现在，让N成为一些任意策略。由（4.33）和pu=1（N0，u-1.- N0，u）=N0，0，我们有估计值xu=1（N0，u-1.- N0，u）X0，u≤ N0,0X0,4A+X0,3Ohm\\A., 其中A：={ωn，1 | n∈ N} 。通过（4.34），我们得到估计值Xu=2（N1，u-1.- N1，u）X1，u=Xu=3（N1，u-1.- N1，u）X1，u≤ N1,2X1,3。最后，通过（4.35），一个hasPu=3（N2，u-1.- N2，u）X2，u≤ 0和N3,3X3,4≤ 0、加在一起，V（N）=Xs=0Xu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）Xs，u≤ N0,0X0,4A+X0,3Ohm\\A.+ N1,2X1,3。（4.36）现在，假设V（N）≥ 让我们证明这意味着V（N）=0。由于N1,2由实数N1,1从上方限定，X1,3（ωn，2）=（1+r）（1+r）（1- α)(1 + (1 - α） r）εn，2→ n为0→ ∞ （4.29）和supn∈NX0,3（ωn，2）<0，我们从（4.36）的非负性得出结论Ohm \\ A表示N0,0=0。

对于所有n，从X1,3（ωn，1）<0∈ N和A上RHS的非负性（4.36），则F-可测非负随机变量N1，2消失。我们到达V（N）≤ 0，表示不存在套利。步骤2：考虑策略序列（Nm）m∈Ngiven byNm0,0=Nm0,1=Nm0,2=1，Nm0,3=1A，Nm1,1=m，Nm1,2（ωn，i）=(-X0,4（ωn，1）/X1,3（ωn，1））∧ m、 n个∈ N、 i=1，2，Nm1，3=0，Ns，u=0表示s≥ 2、通过X1，2=0，（4.36）等于Nm。对于ω=ωn，1，如果m≥ |X0,4（ωn，1）/X1,3（ωn，1）|，如果m<X0,4（ωn，1）/X1,3（ωn，1）|，则长期投资中的利润X0,4（ωn，1）>0占主导地位。这意味着V（Nm）1A=Nm0,0X0,4A+Nm1,2X1,3A≥ 对于ω=ωn，2，如果m≥ |X0,4（ωn，1）/X1,3（ωn，1）|，我们得到v（Nm）（ωn，2）=X0,3（ωn，2）-X0,4（ωn，1）X1,3（ωn，1）X1,3（ωn，2）≥X0,4（ωn，1）X1,3（ωn，1）X1,3（ωn，2）-X0,4（ωn，1）X1,3（ωn，1）X1,3（ωn，2）=-X0,4（ωn，1）X1,3（ωn，1）X1,3（ωn，2）>0，其中第一个不等式由（4.31）决定。对于ω=ωn，2，如果m<X0,4（ωn，1）/X1,3（ωn，1）|，则X1,3（ωn，2）>0的平凡估计V（Nm）（ωn，2）≥ X0,3（ωn，2），这并不保证非负性。加在一起，就得到了thatV（Nm）≥ V（Nm）1Ohm\\A.≥ -∞Xn=1X0,4（ωn，1）X1,3（ωn，1）X1,3（ωn，2）1（m≥|X0,4（ωn，1）/X1,3（ωn，1）|）{ωn，2}+∞Xn=1X0,3（ωn，2）1（m<X0,4（ωn，1）/X1,3（ωn，1）{ωn，2}。（4.37）（4.37）的RHS逐点收敛到-∞Xn=1X0,4（ωn，1）X1,3（ωn，1）X1,3（ωn，2）1{ωn，2}∈ L+(Ohm, F、 m的P）\\{0}（4.38）→ ∞. 这意味着存在近似套利。总起来，对于A：={ηT∈ L(Ohm, F、 P）|（η，N）自我融资}- L+(Ohm, F、 P），一个人有一个∩ L+(Ohm, F、 P）={0}，但A∩ L+(Ohm, F、 P）{0}，（4.39），其中A表示关于概率收敛的A的闭包。分离概率测度Q的一个极小条件~ P是thatEQ（ζ）≤ 0, ζ ∈ A.∩ L∞(Ohm, F、 P）。

（4.40）由于序列（V（Nm））m∈Nis从下方一致有界byinfn∈NX0,3（ωn，2）=（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1- α) + α - (1 + (1 - α） r）(1 + (1 - α） r）>-∞,它紧随着（4.38）和（4.40）所不能容纳的法头引理。示例4.5中的构造也可用于建立具有3项资产的比例交易成本模型，这些资产满足（NA），尽管不存在等效的分离概率度量。这意味着格里戈列夫定理不能推广到维数3（见定理1.2和[12]第5节的讨论）。例4.6（格里戈里耶夫定理推广到维数3的反例）。LetT=2，Ohm = {ωn，1 | n∈ N}∪ {ωn，2 | n∈ N} ，F={, Ohm}, F=σ（{{ωn，1，ωn，2}| n∈ N} ）和F=2Ohm. 这意味着n已在时间1显示，完整信息已在时间2显示。除了一个不支付利息的银行账户外，还有两种风险股票，它们的买卖价格过程（S，S）和（S，S）。初始价格满足S=S=S=S=1。在时间1，股票2可以以1的价格出售，即S=1，其他价格对避免交易非常不利，即S=0、S=3和S=3。终端价格为（ωn，1）=S（ωn，1）=3，S（ωn，2）=S（ωn，2）=0，S（ωn，1）=S（ωn，1）=1- 1/n，S（ωn，2）=S（ωn，2）=1+1/n，n∈ N、 这意味着在时间0和2，我们有一个无摩擦的市场，在时间1，人们只能出售股票2（在时间0时的价格相同，但在观察N之后）。步骤1：让我们展示（NA）。除了在时间1可能出售股票2外，考虑静态策略是很有必要的。清算价值在其他策略中占主导地位，对于零初始资本，可以将其写为：=∞Xn=12φ-nφ+ φ{ωn，1}+∞Xn=1-^1+nφ+ φ{ωn，2}，（4.41），其中Д，Д为任意实数，且^1是非正F-可测随机变量。

按照离散时间金融的标准表示法，数量表示投资组合中的股票数量。假设V≥ 0。由φ≤ 0和1/n→ 0表示n→ ∞,（4.41）中第二个和的非负性意味着≤ 0.另一方面，有一个≤φ+ φ/n≤ 2φ. 加在一起，我们得到了Д=0，因此得到了Д+Д=0以及V=0。这意味着市场满意度（NA）。第2步：另一方面，“近似套利”由序列（Д1，m，Д2，m，^12，m）m∈N带φ1，m=1，φ2，m=m，和^12，m=-（m）-n） +在{ωn，1，ωn，2}上。相应的清算值readP∞n=12.-n∧明尼苏达州{ωn，1}+P∞n=1-1+n∧明尼苏达州{ωn，2}，m∈ N、 逐点收敛到1{ωN，1 | N∈N} 对于m→ ∞. 这将产生（4.39）。根据卡巴诺夫和萨法里的提案3.2.6【17】，A∩ L+(Ohm, F、 P）6={0}已经暗示所谓的一致价格体系不可能存在（这意味着不需要利用上述序列导致有界损失的事实，因此Fatou引理是适用的）。Schachermayer【23】的示例3.1展示了一个具有4项资产的单期模型中的相同属性。我们示例的主要思想与[23]中的相同。粗略地说，有一种资产的需求最初是未知的和无边界的，在需求被揭示后，它可以按初始购买价格出售。因此，人们越来越多地提前购买，而这种策略的局限性并不存在。另一方面，【23】中的“货币示例”基于这样一个属性，即任何资产都不能充当银行账户的角色，即每笔交易中涉及的资产。事实上，在有银行账户的单期交易成本模型中，格里戈列夫定理适用于任意多个资产；也就是说，这些模型可以写为具有卖空约束的无摩擦市场，因此可获得的清算价值集在概率收敛方面是闭合的。

这由Napp[19]所示（见引理3.1和其中的推论4.2）。备注4.7（清洗销售）。从理论角度来看，有趣的是，在定义2.1的意义上，（NA）并不遵循同一模型中的（NA），而是在禁止清洗销售的情况下。实际上，根据示例4.3的精神，可以构造一个示例|Ohm| = 4其中，长期投资和两个后续时期的两个一期投资（所有四个一期收益好/差组合）可以组合为套利。在这些时期的第一个时期，不良回报率必须变为负值（而且不仅小于r）。通过扩大时间范围，这可以在不违反其他属性的情况下实现。随后，如果禁止在两个期间之间进行洗牌出售，即无法在第一个期间实现亏损并在第二个期间进行投资，套利可能会消失。我们将示例的构造留给感兴趣的读者作为练习。然而，对于单一不可卖空风险股票的套利理论而言，禁止洗牌销售的影响微乎其微。这可以在示例4.2中看到，在该示例中，t期收益率的较大下限下存在的套利策略没有利用现金销售。5与具有比例交易成本的模型的关系值得注意的是，Dybvig和Koo的模型[8]可以通过引入多个有效证券，写成具有比例交易成本的模型；即，对于everyi=0，T- 1，我们考虑一种证券i，它可以在要价过程Si中购买，在出价过程Si中出售。事实上，security i在第一时间购买原始股票，然后进行清算。这意味着我们计算Sii：=Si，Sit：=St- α（St- Si），t=i+1，T、 和Si=∞, Si=-∞ 否则

（5.1）请注意，证券i中的空头头寸在时间i之后无法平仓。这迫使投资者只持有非负数的证券。提案5.1。满足命题2.15的假设。（i）可达到的终端财富集A：={ηT∈ L(Ohm, F、 P）|（η，N）自我融资}-L+(Ohm, F、 P）在概率收敛方面是闭合的。（ii）存在Q~ 有界dQ/dP的P，使得等式（Si）<∞ 对于所有i=0，1，坦德克Sτ- α（Sτ- Si）（1+（1- α） r）τ≤ 均衡器Si（1+（1- α） r）ii=0，T- 1, τ ∈ Ti，（5.2），其中Tidenotes是{i，…，T}值停止时间的集合。提案5.2。让|Ohm| < ∞. 模型满足（NA）条件，存在一个Q~ 使（5.2）保持不变。命题5.1的证明。Ad（i）：税收模型可以与交易成本模型（5.1）相一致。让我们证明，它满足了Schachermayer定义1.9中引入的具有交易成本模型的“稳健无套利”属性【23】。在我们这里考虑的特殊情况下，这意味着如果价格是确定的，则必须找到稍微更有利的价格，在该价格下，模型仍然满足（NA）。定义II：=Si1.-α(1 - α） r（1+（1- α） r）T-我, Cit：=St- α（St- Si）+α（1）- α） rSi，i=0，T- 1，t=i+1，T和C=-∞, C=∞ 否则（C，C）的无套利性遵循命题2.15的证明，特别是通过对估计（3.25）的检验。然后，根据[23]的定理2.1，就概率收敛性而言，A是闭合的。Ad（ii）：对于（i），分离测度存在的证明很简单。为了方便读者阅读，我们简要地重复了众所周知的论点（参见Schachermayer[22]，以获得易于理解的概述）。首先，我们定义了概率度量~ P由deP/dP=c/（1+S+…+ST）和c：=1/EP（1/（1+S+…）。