不同融资成本、违约和

担保违约合同（A、C、R、τ）的无风险收尾估值过程Q由qt给出：=BrtEQr-Z[t，t]（Bru）-1道燃气轮机= 在+πrt（A）（3.27），其中At=At- 在-和πrt（A），t∈ [0，T]是A的除息无风险价格，即πrt（A）：=BrtEQr-Z（t，t）（Bru）-1道燃气轮机. （3.28）根据定义3.8，在第一次违约发生时，关于{τ≤ T}，Qτ=Aτ- Aτ-+ BrτEQr-Z（τ，T）（Bru）-1道Gτ= Aτ+πrτ（A）。（3.29）3.3.2传统估值调整在本节中，假设回收y支出Rτ由定义2.1给出。此外，为了表述的简单性，我们假设事件{τC=τI}在Qrand下可忽略不计，因此收尾付款θτ由（2.5）给出，Q由（3.27）给出。然后我们得到以下结果，这是推论3.2和定义3.8的结果。融资成本、违约和抵押下的估值23提案3.1。根据（3.27）给出的无风险平仓估值Q，在{t<τ}事件中，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=πrt（A）+BrtEQr{τ ≤T}{τC<τI}LCΥ+- 1{τI<τC}LIΥ-燃气轮机+ BrtEQr公司Zbτt（ru- fu）fu（布鲁）-1du+dXi=1Zbτt（ru- hiu）Fiu（Bru）-1件燃气轮机（3.30）+BrtEQrZbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.证据从定义3.8来看，要从（3.24）和（2.5）中获得（3.30），必须观察到，在事件{t<τ}，Z（t，bτ）（Bru）-1deAu=Z（t，t）（Bru）-1道- 1{τ ≤T}Z[τ，T]（Bru）-1道恩图斯布特克-Z（t，bτ）（Bru）-1水燃气轮机= BrtEQr公司-Z（t，t）（Bru）-1dAu+1{τ≤T}Z[τ，T]（Bru）-1道燃气轮机= πrt（A）+1{τ≤T}Qτ，其中最后一个等式遵循（3.27）和（3.28）中的s。

交易者对（A，C，R，τ）的除数nd价格的表示（3.30）可以给出以下财务解释πt（A，C，R，τ）=πrt（A）+CVAt- DVAt+FVAft+mXi=1VAHIT+LVAt（3.31），其中信贷估值调整CVAtequalsCVAt=BrtEQr{τ ≤T}{τC<τI}LCΥ+燃气轮机,借方估值调整DVAtequalsDVAt=BrtEQr{τ ≤T}{τI<τC}LIΥ-燃气轮机,财政部资金估值调整FVAftis由FVAFT=BrtEQr给出Zbτt（ru- fu）fu（布鲁）-1件燃气轮机,回购融资估值调整FVAhitfor i=1，2，d由FVAHIT=BrtEQr给出Zbτt（ru- hiu）Fiu（Bru）-1件燃气轮机,和流动性估值调整LVAtsatis fieslvat=BrtEQrZbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.24 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski3.4具有融资成本和违约的非线性模型当单一现金利率f被不同的借贷利率（分别表示为fland fb）取代时，得到了上一节中引入的线性框架的非线性扩展，并且类似地，通过引入股票Si中多头和空头头寸的不同回购利率，分别表示为hi、land hi、b。值得一提的是，为了协调起见，我们在此不考虑第2.7节中引入的外部资金调整。HenceProposition 3.2以及（3.4 0）给出的价格分解应该被视为对Lemma 2.1的扩展，而不是命题2.2。然后，我们得到投资组合的valueprocess Vp（Д，AC，R）的以下表示形式：Vpt（Д，AC，R）=ψltBlt+ψbtBi，bt+Xj=1κjtDj（t，t）+dXi=1ψi，ltBi，lt+ψi，btBi，bt+ξitSit+mXi=d+1ξitSit。与非线性框架内交易的财务解释一致，我们假设ψlt≥ 0，ψbt≤ 对于所有t，0和ψltψbt=0∈ [0，T]。同样，我们假设ψi，lt≥ 0，ψi，bt≤ 0和ψi，ltψi，bt=0，对于i=1，2。

此外，我们对风险资产的回购交易条件进行了调整，Sdψi，ltBi，lt+ψi，btBi，bt+ξitSit=0。为方便起见，我们表示ft=ψltBlt+ψbtBbt=Vpt（Д，AC，R）-Xj=1κjtDj（t，t）-mXi=d+1ξitSit=Vpt（Д，AC，R）-Xj=1Djt-mXi=d+1hit，其中j=1，2时Djt=κjtDj（t，t），Hit=ξitSit=-适用于i=1，2，m、 3.4.1交易策略价值过程的非线性动力学我们现在可以推导出价值过程的非线性动力学，因此也可以在第3.4.4节中获得可抵押违约合同（a、C、R、τ）的通用非线性定价BSDE。回想一下，τ=τI∧ τCso，bτ：=τ∧ T是合同的有效到期日。引理3.3。我们有ψlt=（Blt）-1F+t，ψbt=-（Bbt）-1F层-t表示i=1，2，dψi，lt=（Bi，lt）-1（命中）-= （Bi，lt）-1（拟合）+，ψi，bt=-（Bi、bt）-1（命中）+=-（Bi、bt）-1（配合）-.证据需要注意的是，ψltBlt+ψbtBbt=Ft，ψi，ltBi，lt+ψi，btBi，bt=-ξitSit=-Hit=配合使用假设条件。引理3.4。与可违约担保合同（a、C、R、τ）相关的自我融资交易策略的价值过程Vp（Д、AC、R）满足[0、bτ]dVpt（Д、AC、R）=fltF+tdt- fbtF公司-tdt+Xj=1κjtdDj（t，t）+dXi=1ξitdSit+hi，lt（Fit）+dt- 嗨，bt（Fit）-dt公司+mXi=d+1ξitdSit+deAt+deCt- \'ctCtdt+d{t≥τ}Rτ（3.32）式中，c由（3.5）给出，eA和c由（3.19）给出，Rτ由（2.4）给出。融资成本、违约和担保下的估值25Proof。通过对定义3.3的略微扩展，对于∈ [0，bτ]，dVpt（ψ，AC，R）=ψltdBlt+ψbtdBbt+Xj=1κjtdDj（t，t）+dXi=1（ψi，ltdBi，lt+ψi，btdBi，bt+ξitdSit）+mXi=d+1ξitdSit+dAC，其中AC，Ris由（3.8）给出。

因此，根据引理3.3，我们得到了数值过程动力学的以下表达式dvpt（Д，AC，R）=（Blt）-1F+tdBlt- （Bbt）-1F层-tdBbt+Xj=1κjtdDj（t，t）+mXi=d+1ξitdSit+dXi=1（Bi，lt）-1（Fit）+dBi，lt-dXi=1（Bi，bt）-1（配合）-dBi，bt+dXi=1ξitdSit+dAC，Rt。在现金/回购账户绝对连续的假设下，也使用（3.8）和（3.19），我们得出（3.32）。为了获得Vp（Д，eAC）动态的方便线性化d表示，我们引入了有效融资利率f和有效回购利率hi。很明显，有效率通常取决于交易者的策略。引理3.5。过程Vp（Д，eAC）满足[0，bτ]dVpt（Д，eAC）=（\'ftFt+\'hitFit- \'ctCt）dt+Xj=1κjtdDj（t，t）+mXi=1ξitdSit+deAt+deCt（3.33），其中有效融资利率\'f等于\'ft:=flt{ft≥0}+fbt{Ft<0}（3.34）和有效回购利率'hi，i=1，2，d由“hit：=hi，lt{Fit”给出≥0}+hi，bt{拟合<0}。（3.35）3.4.2非线性概率估值公式Recall that bηt：=expZtηudu, Bζjt：=经验值Ztζ聚都, Bγit：=经验值Ztγiudu式中，η，ζ，ζ，γi，i=1，2，d和νi，i=d+1，d+2，m是任意适应的可积过程。设Qζ，γ，ν为概率测度，使得过程（Bζj）-1Dj（t，t），j=1，2，（Bγi）-1Si，i=1，2，d和（Bνi）-1Si，i=d+1，d+2，m是Qζ，γ，ν-局部鞅s。然后引理3.2和3.5给出了以下结果，这是定理3.1的非线性对应。为了这个结果的有效性，需要施加一些温和的可积性假设。根据定义2.1，重新证明CSA结算支付满足θτ=Rτ+Cτ-.26 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski定理3.2。假设可抵押违约合约（A、C、R、τ）可以通过交易策略Д复制，并且相关过程Vη（Д，eAC）是Qζ、γ、ν下的真鞅。

在事件{t<τ}上，对于每个t，则nVpt（ν，AC，R）等于∈ [0，T]，Vpt（ν，AC，R）=BηtEQζ，γ，ν-Z（t，bτ）（bηu）-1deACu+CT（BηT）-1{τ>T}- Rτ（Bητ）-1{τ ≤T}燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νZbτt（ηu-\'fu）fu（Bηu）-1du+Xj=1Zbτt（ηu- ζju）Dju（Bηu）-1件燃气轮机（3.36）+BηtEQζ，γ，νdXi=1Zbτt（(R)hiu- γiu）Hiu（Bηu）-1du+mXi=d+1Zbτt（ηu- νiu）Hiu（Bηu）-1件燃气轮机.在{t<τ}事件中，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=BηtEQζ，γ，ν-Z（t，bτ）（bηu）-1水- θτ（Bητ）-1{τ ≤T}+ZbτT（ηu-\'fu）fu（Bηu）-1件燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νXj=1Zbτt（ηu- ζju）Dju（Bηu）-1du+dXi=1Zbτt（(R)hiu- γiu）Hiu（Bηu）-1件燃气轮机（3.37）+BηtEQζ，γ，νmXi=d+1Zbτt（ηu- νiu）Hiu（Bηu）-1du+Zbτt（(R)cu- ηu）Cu（Bηu）-1件燃气轮机其中，有效费率f、H和c分别由（3.34）、（3.35）和（3.5）给出。证据在引理3.5中，定理3.2的证明类似于定理3.1的证明，因此省略了它。3.4.3具有资金、违约和流动性的非线性风险中性评估。根据使用短期利率计算的净价格，REM 3.2可用于确定对交易者价格的各种调整的贡献。为此，可以使用定理3.2的以下结果，这与推论3.2相对应。回想一下，我们使用了简写符号Qr=Qr，r，r。如第3.3.2节所述，我们假设事件{τC=τI}在Qr下可以忽略不计，因此，在不损失一般性的情况下，CSA收尾付款θτ假定由（2.5）给出。推论3.3。在{t<τ}事件下，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=BrtEQr-Z（t，bτ）（Bru）-1水- θτ（Bητ）-1{τ ≤T}+ZbτT（ru-\'\'fu）fu（布鲁）-1件燃气轮机+ BrtEQr公司dXi=1Zbτt（ru-(R)hiu）Fiu（Bru）-1du+Zbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.

（3.38）我方维持第3.3.1 a节中关于CSAcloseout Payoffθ确切规格的假设。还记得，排除了共同违约的可能性。然后，命题3.1可以很容易地扩展到涵盖非线性设置的情况。在方程式（3.30）中，需要分别用“f”、“HIA”和“c”替换f、hiandc。下一个结果的证明类似于Propo position 3.1的证明，因此省略了它。融资成本、违约和抵押下的估值27提案3.2。根据（3.27）给出的无风险平仓估值Q，在{t<τ}事件中，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=πrt（A）+BrtEQr{τ ≤T}{τC<τI}LCΥ+- 1{τI<τC}LIΥ-燃气轮机+ BrtEQr公司Zbτt（ru-\'\'fu）fu（布鲁）-1du+dXi=1Zbτt（ru-(R)hiu）Fiu（Bru）-1件燃气轮机（3.39）+BrtEQrZbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.命题3.2反过来导致（A、C、R、τ）的除息价格e正式分解为其“净”价格和估值调整（其解释见第3.3.2节），这将在每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=πrt（A）+CVAt- DVAt+FVA’ft+mXi=1FWA’hit+LVAt。（3.40）3.4.4非线性BSDE估价和HedgingAs采用线性设置，定理3.2和推论3.3未提供交易者价格的封闭式表达式，因为其右侧涉及多个未知过程。事实上，关联的BSDE是非线性的，所以它的解（如果存在且唯一）不明确。在交易者初始禀赋为零的长期假设下，方程（3.33）得出了投资组合价值Y的以下非线性BSDE：=Vp（Д，eAC）和对冲比率（U，Z）：=（κ，ξ）（复制策略的剩余成分可用引理3.3找到）。

那么等式πt（A，C，R，τ）=Yt- 对于每个t，t保持事件{t<τ}∈ [0，T]。提案3.3。投资组合的价值Y=Vpt（Д，eAC）和对冲比率（U，Z）=（κ，ξ）满足Yt=\'\'ftbYt-dXi=1'hitZitSit- ？ctCtdt+Xj=1UjtdDj（t，t）+mXi=1ZitdSit+deAt+deCtwherebYt=Yt-Xj=1UjtDj（t，t）-mXi=d+1 Zitsitand from（3.34）–（3.35）(R)ft：=flt{bYt≥0}+fbt{bYt<0}，\'命中：=hi，lt{ZitSit<0}+hi，bt{ZitSit≥0}，\'ct：=clt{ct<0}+cbt{ct≥0}.bτ处的终端条件为Ybτ=1{τ>T}CT- 1{τ ≤T}Rτ，其中回收率Rτ等于（分别见（3.10）和（2.4）），Rτ=1{τC<τI}（RCΥ+- Υ-) + 1{τI<τC}（Υ+- RIΥ-)式中，Υ=Qτ- Cτ-.给定风险as集的任何特定半鞅模型，通常可以证明定价BSDE在适当的随机过程空间中具有唯一解。例如，Nieand Rutkowski[30，31，32]研究了一个合同（a，C）（因此违约不被视为e d）的估值和对冲，该合同同时具有外部和内部抵押。28 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski4市场不完整在上一节中，我们假设我们正在评估的合同可以得到回复。现在，我们想简单地检查一下，如果放松这个假设，会发生什么。我们将集中讨论以下情况：合同受到银行和交易对手双方的影响，而银行不能交易自己或交易对手的债券（即κ=κ=0）。为了进一步简化设置，我们假设所有对冲工具都在回购市场上交易（即d=m），并且回购利率是所有头寸和交易方向的sa me（即hi，l=hi，b=HF）。此外，我们将在与第3节更为相似的框架中重新解释第2.7节的一些发现。

为此，我们假设借款账户BBsatiesDBBT=fbtBbtdt- LIBbt-d1{t≥τI}。这模拟了这样一个事实，即在银行违约时，只有一个分数RI=1- 银行的贷款将偿还给债权人。由于我们的模型中包含违约，我们还将利用方程式（3.7）和（3.8）来确定合同产生的现金流。为了对无法复制的合同进行估价，我们需要稍微扩展第3节交易策略的定义，包括合同本身。更具体地说，我们感兴趣的是购买并持有形式为（1，ψlt，ψbt，ψ，…，ψd，ξ，…，ξd）的策略，其中1表示银行持有的一单位衍生资产。本质上，我们在本小节中的估价论据是基于这样一种理念，即合同交易的扩展市场模型应保持无关税。更具体地说，我们将假设该合同已经由银行持有，并且我们对过程π进行研究，以便银行的减赤财富在选定的市场衡量下具有鞅属性。因此，π在这里被理解为银行准备在任何给定日期t出售合同的价格。因此，π的签署公约与第2节之前采用的公约一致，与第3节的惯例不同，在第3节中，我们检查了银行在时间t可以输入的合同的基于复制的估价。我们分别用Wt（Д，AC，R）和Wpt（Д，AC，R）表示财富和投资组合的价值，以便在事件{t<τ}时，Wpt（ψ，AC，R）=πt+ψltBlt+ψbtBbt+dXi=1（ψitBit+ξitSit）=πt+ψltBlt+ψbtBbt=πt+Ft（4.1）和Wt（Д，AC，R）=Wpt（Д，AC，R）- 其中，π是πt（A，C，R，τ）A的s horthand，其中我们使用等式ψitBit+ξitSit=0。

回想一下，关于抵押品的惯例是Ct>0表示银行收到抵押品，而Ct<0表示银行将其过账。因此，需要在抵押品账户前填写minussign，因为如果银行清算所有资产，则财富Wt（Д，AC，R）是银行在时间t时将获得的。在违约时间，投资组合的价值和财富满足{τ≤ T}，Wpτ（Д，AC，R）=Wτ（Д，AC，R）=Rτ+ψlτBlτ+ψbτBbτ。（4.2）该策略的增益过程由[0，T]给出，Gt=1{T<τ}πT+ZtψludBlu+Ztψbu-dBbu+dXi=1ZtξiudSiu+ZtψiudBiu+ZtdAC，Ru- 1{t<τ}ct其中我们定义了AC，Ru=deAu+deCu- 1{u<τ}cuCudu+d（1{u≥τ}Rτ），我们记得eat=1{t<τ}At+1{t≥τ}Aτ-andeCt=1{t<τ}Ct+1{t≥τ}Cτ-. 我们只考虑自我融资策略，即满足[0，T]Wt（Д，AC，R）=W（Д，AC，R）+Gt- G、 在融资成本、违约和抵押29项下对贬值财富的估值Wηt（Д，AC，R）：=（Bηt）-1Wt（Д，AC，R），我们得到Wηt（Д，AC，R）=Wη（Д，AC，R）+Gηt- Gη，其中dgηu=（Bηu）-1dπu+（Bηu）-1ψludBlu+（Bηu）-1ψbu-dBbu+dXi=1（Bηu）-1（ξiudSiu+ψiudBiu）- （Bηu）-1{u<τ}cuCudu+（Bηu）-1水+（Bηu）-1d（1{t≥τ}Cτ-) + （Bηu）-1d（1{t≥τ}Rτ）- ηu（Bηu）-1（πu+ψluBlu+ψbuBbu）du+ηu（Bηu）-1{u<τ}Cudu。为了进一步研究，我们提出了一个假设，即过程Gη是一个鞅，在概率测度e Qh下的过滤G，这是定义3.7中引入的测度Qζ，γ，ν的特例。更明确地说，概率度量Qhis的特征是过程'Si=（Bh）的性质-1Si，i=1，2，d或等效的过程ESD'Sit=（Bht）-1（dSit- htSitdt）（4.3）是Qh局部鞅s。备注4.1。因为在本节中，我们讨论的是一个不完整的市场模型，所以概率测度qh的唯一性无法成立。

因此，应该承认，我们在下文中呈现的潜在评估结果实际上取决于对特定度量Qh的选择。当t<bτ=τ时，Gη在Qhyields下的假设鞅性质∧ T，EQh（GηT∧τ- Gηt∧τ| Gt）=EQh（Gηbτ- Gηt | Gt）=0，因此我们在事件{t<bτ}上得到，（bηt）-1πt=EQhZbτt（Bηu）-1ψludBlu+Zbτt（Bηu）-1ψbu-dBbu+dXi=1Z（t，bτ）（bηu）-1（ξiudSiu+ψiudBiu）燃气轮机+ EQhZ（t，bτ）（bηu）-1水-Zbτt（Bηu）-1'cuCudu+1{τ<T}（Bητ）-1（Rτ+Cτ-)燃气轮机- EQhZbτtηuψluBludu+ZbτtηuψbuBbudu-Zbτtηu（Bηu）-1 CUDU燃气轮机其中，我们使用简写符号πtf表示过程πη，ht（A，C，R，τ）。我们用表达式代替微分，并使用（2.4）以及等式ξiuSiu+ψiuBiu=0来获得事件{t<bτ}，（bηt）-1πt=EQhZbτt（Bηu）-1（(R)fu- ηu）Fudu+Z（t，bτ）（bηu）-1deAu+Zbτt（Bηu）-1（ηu- (R)cu）Cudu燃气轮机+ EQh{τ<T}（Bητ）-1（Qτ+1{τ=τI}LI（QτI- CτI-)-- LIψbτI-BbτI-燃气轮机- EQh{τ<T}（Bητ）-1{τ=τC}LC（QτC- CτC-)+燃气轮机式中，ft=ψltBlt+ψbtBbt=（Wt- πt+Ct）+- （重量- πt+Ct）-= F+t- F-t30 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowskiand Wt=Wt（Д，AC，R）。方程（4.1）给出了关于{t<bτ}，（bηt）-1πt=EQhZbτt（Bηu）-1（(R)fu- ηu）（吴- πu+Cu）+- （吴- πu+Cu）-杜邦燃气轮机+ EQhZ（t，bτ）（bηu）-1deAu+Zbτt（Bηu）-1（ηu- (R)cu）Cudu燃气轮机（4.4）+等式{τ<T}（Bητ）-1.Qτ+1{τ=τI}LI（QτI- CτI-)-- 1{τ=τC}LC（QτC- CτC-)+燃气轮机+ EQh{τ<T}{τ=τI}LI（Bητ-)-1（Wτ-- πτ -+ Cτ-)-燃气轮机.先验地，上述暂定定价公式中的右侧取决于所选战略的财富过程sW。