经济学中的维度分析：新古典经济学研究

这个简单的想法标志着量纲分析最基本的原则，这就是它的重要性，使theidea上升到公理的水平（Sonin，2001）。尺寸均匀性的公理或原则。当且仅当方程中涉及的每个可观测项本身都是等维的时，包含可观测项的方程是有效的，并且在理论的上下文中具有真正的意义。这一公理的起源早于量纲分析的形式化，因为要从任何方程中计算结果，必须使结果与产生这种结果的术语或观察值一致，即，只能在相同性质的现象之间建立因果关系（Macagno，1971）。以下定理是根据公理推导出来的。定理。当且仅当等式两边的项均为等维项时，涉及可观测项的方程的数值有效性才存在。考虑以下示例。一种理论认为，唯一相关的可观测值是可用机器的数量X、工人总数P、不活动工人的数量以及生产机器的数量Y。建议生产机器的数量由以下等式给出：    根据量纲均匀性原理，我们只能计算Y i的有效结果，并且只有当 是等维的。术语X与Y是等维的，因为两者都代表相同可观测量的两个量，因此有可能在两个术语之间建立相等的关系。条款  和在自我之间是等维的，因此两者的相减具有物理意义。

然而 和相对于X或Y不是等维的，因此在这些可见物之间建立加法关系是没有意义的，如方程所示。从量纲的角度来看，方程式Y缺乏所有意义和当前所涉及的可观测值的真实意义，因为无法确定将机器数量与工人数量相加或再细分的意义。验证方程Y的唯一方法是合并不同的可观测项或附加项，以便均匀化方程的维数。2、经济学中的维度分析本节将维度分析的原则应用于经济理论，并分析了构成大多数经济增长模型基础的一些基本经济关系。结果表明，从量纲分析的角度来看，这些关系存在不一致性，这些不一致性是可以纠正的，但代价是面临新的分析含义。量纲分析植根于前科学思想的第一个原始概念，一些文化已经构建了这些概念来描述物理世界，并用定量的术语解释其功能。例如，它在西方思想中的起源可以追溯到古代希腊数学家的几何公式。然而，它的现代基础和形式是在三个世纪前开始建立的，主要是在二十世纪，它在自然科学中被广泛采用。据了解，1765年，伦纳德·欧拉（LeonardEuler）是第一个写单位和维度问题（主要关注物理学的模型和理论）的人。

后来，约瑟夫·傅立叶（JosephFourier）在1822年出版的《热的分析理论》（the Analytical Theory of Heat）一书中再次研究了这个问题，他评论了现在所知的维度均一性原则，甚至发展了一些目前用于维度分析的常见规则。后来，直到1877年瑞利勋爵出版了《声音理论》一书，该书提出了一种与现代量纲方法非常相似的方法，其中给出了许多如何使用量纲分析方法的例子，该领域才有重大进展。尽管有上述贡献，建立量纲分析方法和现行规则的最臭名昭著的是E.Buckingham，他于1914年建立了最常用的量纲分析格式（Macagno，1971）。2.1存量、流量和经济维度尽管维度分析的概念在经济学中几乎是未知的，但一些直觉已经渗透到存量和流量的概念中。Shone（2002）指出了两种主要类型的经济可观测值之间的区别，即存量型可观测值和流量型可观测值。可观测存量是指某一经济量在某一日期（即在某一准确时间点）的价值。假设我们可以观察到的经济量是钱的数量()  在经济中。该可观测值在每个时刻都有一个定义值，例如截至12月31日，并将有另一个定义值(’)  在之前或之后的任何其他瞬间。也就是说，股票的维度特征与任何时间间隔无关。相反，可观测流量是指某个经济量在一个时间间隔内的总值或平均值。

例如，如果我们考虑对商品的需求() 在一个给定的时间段内，比如在一年内，这样的可观测值是流动类型的，因为它是一个随时间分布的可观测值，因此它的值是在相同的时间间隔内定义的。换言之，可观察到的流量随时间具有直接的维度依赖性。如果我们假设观察到的存量和流量由连续可微函数表示，存量和流量之间的关系可以用数学方法表示如下：哪里() 与股票类型相关的函数是否可见，以及() 与流动类型相关的功能是否可见。因此，由于导数本身是一个依赖于时间的数学运算符，因此任何可观察到的股票都可以通过导数运算符转换为可观察到的流量。另一种看待存量和流量之间差异的方法是()  在这种情况下，相当于给定数量或库存的变化率（即速度）().因此，考虑到它们之间的差异，两个可观测值可以相等（即等维）的唯一方法是使用另一个术语来均匀化关系的维度。在这种情况下，使关系均匀化的术语是派生操作符，因为该操作符转换() 从库存到流程().这个定义也可以用其离散时间等价物表示。请注意，尽管变量是时间的函数，但这并不意味着它们包含与时间相关的维度。

只有当一个与时间相关的可观测值被明确合并时，如导数算子，变量的维数才会合并一个与时间相关的维数（T）。因此，股票和流量不是等维的，也就是说，它们不能进行比较、均衡、相加或相减，因为这些操作没有定义为在非等维观测值之间进行操作。库存和流量维度的差异带来了必须考虑的限制，尤其是在组合不同性质的观测值时。一旦讨论了存量和流量的概念，就应该考虑在经济学中可以使用什么样的维度。在物理领域之外，基本维度的选择并不那么简单，因为它在很大程度上取决于应用领域和所使用的理论。例如，在新古典经济学理论中，将时间作为基本维度似乎就足够了(),  货币价值(),  元素的数量()  以及实用程序().这组维度为将维度问题纳入经济增长模型提供了一个很好的起点，因为似乎没有比这四个维度所代表的维度更多的基本经济特征。因此，本文将使用它们。2.2经济增长模型中的维度分析。在本节中，我们分析了经济增长模型中的两个基本身份：代表性家庭的收入身份和代表性公司的利润身份。

这两种身份都衍生出决定生产动态和实物资本积累的关系。考虑一个封闭经济体的经济增长模型，该经济体只包含两个经济主体，一个家庭和一个公司。两者都在市场上交换单一的消费/生产商品，即实物资本。这种独特的代表性商品同时用作生产投入品和消费品。这组尺寸是在Shone（2002）中提出的。然而，为什么这一套是足够的，这是一个尚未确定的问题。两者都可以被视为系统所有其他代理的集合或代表，因此它们也可以接受代表性家庭和代表性公司的名称。与具有代表性的家庭和企业一样，这种商品可以被视为经济中分配商品的总和。除了单一商品的存在外，假设还有另一个仅影响生产过程的经济因素（即，它仅作为生产投入）。这一因素被称为劳动力。这两个因素（物质资本和劳动力）的结合发生在生产过程中，并导致生产更多的物质资本，这些物质资本可能会在生产过程中再次使用，也可能不会在生产过程中再次使用。根据经济增长模型的传统假设，可以认为双方参与的市场结构是完全竞争的。

家庭和企业作为代理人，不考虑与生产投入和代表性商品相关的市场价格，做出决策。另一方面，假设家庭是生产要素及其收入的所有者, 对于向公司提供这些投入的租金，将由以下人员提供：哪里和表示实物资本的租赁价格和劳动力.（Acemoglu，2009年，第32页）。考虑到每个加法项的维数，现在分析等式（2）的维数同余。实物资本表示瞬间存在的商品数量，即可观察到的库存。与实物资本不同，劳动力代表一种可观察的流动，因为它是根据每个时间间隔使用的工作单位来衡量的。因此，与和是：具有象征着物质资本数量的维度，劳动力数量的维度和 时间维度。收入以时间间隔内收到的货币单位表示，例如，个人报告的服务租金收入可能以美元/月表示。因此.  然而，在模型的背景下，请参见Pindyck和Rubinfeld（2009年，第219页）。发展起来，没有中央银行，因此没有货币单位。也就是说，我们正在考虑一种以货换货的非货币经济。因此，收入是有形资本货物的流动型经济可观测，即。

替代品其尺寸表示为：价格，和表示多少货币单位相当于一个实物资本单位或一个工作单位，但在非货币经济的背景下，价格仅表示多少实物资本单位相当于一个工作单位。因此，它们的尺寸如下所示：因此，根据每个变量的尺寸重写等式（2）： 因此，比较每个相加项的维数，可以发现：这显示了收入认同方程（2）维度分析的第一个主要结果：描述家庭收入的关系在维度上并不一致，因为在平等的双方都发现了相同的维度，这并不令人满意。这个错误是从哪里来的？请注意，在非货币经济的假设下，实物资本的价格变为一维量。见第1节。维度的不一致是由物质资本和劳动的不同维度性质产生的。公式（2）中假设，有形资本和劳动力这两个因素可以相互相加，因为这两个因素都乘以各自的价格。然而，这两个因素的性质不同，一个因素描述股票，另一个因素描述流量。目前正在审查坚定的一面。理论上认为，企业的行为是以利润最大化为目标的。

同样，假设生产过程仅依赖于生产投入（实物资本和劳动力），并且该过程可以用生产函数来描述:因此，公司的利益将通过以下方式实现：  哪里 表示以每个时间间隔的实物资本单位报告的公司效益，表示公司进行的生产，类似地以每段时间的物理资本单位表示，和是物质资本和劳动力的价格，表示公司使用的实物资本金额，以及生产时间间隔内使用的劳动力单位数。如前所述，根据每个术语的维度重写等式（5）：因此 因此，在等式（5）的维度中发现不一致：与公式（2）的不一致性一样，它源自两个性质不同的术语进行比较的事实（在本例中添加）；它将存量（实物资本）与存量（劳动力）进行比较。如何纠正这种尺寸不一致性？有两种选择。第一种是考虑对实物资本的不同解释，以便它假设对流动作出反应的维度, 因此 获取正确的尺寸。然而，很难证明对 当它是收入身份的一部分时。第二种选择是考虑对该术语的不同解释.

假设那样，而不是,  引入了回报率（收益率），即。,  这表示在每个时间间隔内，一个物理资本单位给出了多少物理资本。另一方面，应考虑到实物资本可以合并或退出生产投入市场。也就是说，新资本被纳入市场，但同样，当资本因磨损、破坏、崩溃或过时而离开市场时，也会发生资本损失。在这些考虑因素下，也有理由引入资本折旧率，这将被视为隐含性的常数，即。  （Barro&Sala-i-Martin，2009年，第32页）。因此，如果将这些变化输入公式（2）和公式（5），考虑到和是：发现式（2）和式（5）的尺寸不一致性得到解决，如下所示。鉴于我们认为市场不平衡，K和L的分项指数已被取消。换句话说，公司所需的资本和劳动力数量是完全匹配的      介绍一定不要显得奇怪；Barro&Sala-i-Martin（2009）通过将其正确命名为收益率来强调这一术语。重要的是不要混淆收入价格和收益率的概念，因为两者都代表着不同性质的两个观察值。价格只会将股票转换为股票，而利率会将股票转换为流量。此外，为了保持等式（7）和等式中的尺寸对称性。