经济学中的维度分析：新古典经济学研究

（8） ，劳动力因素 可以用新变量的变化来表示，, 库存类型：假设其呈指数增长，因此以.变量  被称为人口存量，必须被解释为代表性家庭中居住者或经济主体的数量。因此，与此变量相关的维度是人口数量. 从维度的角度来看，劳动因素的这种重新表述是一致的。微分算子的引入并不违背:代表性住户租用的资本和劳动力数量 .这种重新表述基于这样一个假设，即当市场处于均衡状态时，所有可用劳动力都会被使用。因此，劳动力的每个成员只提供一个单位的劳动力，独立于与该因素相关的工资，即。.为了简化表示法，将不会明确指出变量的时间依赖性。当执行关于时间的微分时，将使用牛顿的点表示法。当对其他变量进行微分时，将使用莱布尼茨符号。此外，变量的引入 允许将原始变量正确转换为人均变量。应该注意的是，当等式（9）输入到生产函数中时，该函数不仅取决于人均实物资本，还取决于.

这一事实来源于生产函数的同质性。准确确定方程式（7）、方程式（8）中所做修改的效果，并引入在生产函数中，函数(;  )  是明确计算的。从公式（7）开始，用人均变量重写方程，并根据时间推导：  开发表达式，       哪里定义为资本参与生产，以及  作为劳工的参与。如果考虑资本和劳动力持股保持不变的假设，即。,  资本收益率和劳动力价格保持不变，即：。，  ,  然后可以直接积分等式（11）。结果就是柯布-道格拉斯函数：任何生产函数都必须遵守的一个必要条件是规模收益不变假设。换言之，函数在其每个参数中都必须是齐次一阶函数。见Acemoglu（2009年，第29页）。具有积分常数。该计算验证了对公式（7）和公式（8）所做的修改，因为已明确获得科布-道格拉斯生产函数。等式（9）中所示的劳动力作为人口存量变化的新表示，以及将其纳入生产函数也是合理的。3.

新古典经济增长模型的维度分析本节分析了新古典经济增长模型的维度一致性，并纳入了第二节中提出的修正。新古典主义模型的基本版本是在封闭经济的背景下建立的，在封闭经济中存在一个生产和消费单一商品的单一市场；这就是说，这种商品既可以转化为生产投入（如实物资本），也可以转化为消费品。同样，假设聚合原则是有效的（存在代表性代理），因此，参与市场的所有代理的优化的一般问题可以简化为解决单个优化问题。新古典主义模型与第一个增长模型（如索洛-斯旺模型）的主要区别在于，新古典主义模型明确考虑了代议制住房的消费，并以这种方式内生化储蓄，而储蓄在以前的模型中被视为外生变量。在索洛-斯旺模型中，假设投资（在封闭经济和完全竞争市场的背景下）等于储蓄函数，而储蓄函数又等于固定（外生）收入比例（索洛，1956）。在新古典主义模型中，不再考虑这一假设。

户主储蓄现在明确地用收入来描述和消费:为了更详细地解释新古典主义模型，建议回顾Cass（1965）、Samuelson（1970）和Acemoglu（2009）。   因此，描述代表性住房资本积累的方程式如下所示：    为了减少公式（14）中涉及的变量数量，并获得一个变量的微分方程，引入了人均变量。因此：   另一方面，企业利润最大化的条件意味着在市场均衡中，生产函数必须满足以下条件（Acemoglu，2009，第33页）： 可以根据人均变量改写这些条件：  将这些条件引入式（15），得到修正的索洛-斯旺方程：  方程式式（16）与文献中所示的原始方程相似，只是人均生产函数存在差异，因为现在函数明确取决于增长率，.人均消费量定义为：参见Acemoglu（2009）、Barro和Sala-i-Martin（2009）或Solow（1956）。Eq的目标。

（16） 是描述人均物质资本积累对两个因素影响的函数：生产函数  人均消费量.为了解决这个方程并研究物质资本的动态，有必要定义生产函数的显式形式，并提出消费的动态。正是在这种情况下，该模型被解释为一个最优控制问题。在新古典主义模型的情况下，优化（最大化）的是一个时间间隔（也称为规划期）内的社会福利。该模型的基本假设是，在规划期内的每一时刻，社会福利都可以通过效用函数建模，而效用函数只取决于消费水平。这样，模型认为可以假设存在一个代表所有经济决策的单一代理人（代表性家庭）。该代理寻求优化其福利，其由效用函数表示这完全取决于代理的消耗量：然而，考虑到公用事业公司的未来流程，优化是跨期执行的。因此，代理在无限的时间范围内优化其效用的现值; 也就是说，它最大化了以下表达式： 等式（18）中的成本函数仅取决于两个变量，即状态变量 和控制变量.

乘数的存在是由于效用的未来价值的折扣，这是由主观折扣率决定的 严格地说，一般来说，最优控制问题寻求优化功能成本,  这取决于状态变量,  描述系统动力学和控制变量.  这些变量可以通过优化成本函数的方式进行控制或选择。效用函数是根据人均变量定义的：大于零; 该条件确保了等式（18）的成本函数是收敛的，并且还保证了优化问题的解的存在（Acemoglu，2009，pp.252）。相反，优化问题要满足状态变量的演化。在这种情况下，由于国家变量是人均实物资本,  优化将取决于满足资本的动态方程，即索洛-斯旺修正方程，公式（16），（卡斯，1965）。简言之，新古典主义模型认为，经济增长问题可以被视为一个最优控制问题，假设代表性代理人寻求最大化其当前效用： 受资本积累限制，等式（16）：   一旦确定了新古典主义模型的基础，就要对其进行量纲分析。首先计算公式中各项的尺寸。

(19):以这种方式：因此，成本函数没有任何维度的不一致，因为通过整合效用流  关于时间，所述术语被转换为自闭症股票。同样，折扣项也不会带来任何问题，因为指数参数的维数为零，而折扣项作为一个整体是无量纲的。继续计算约束方程各项的尺寸，公式（20）：       计算式（20）的维数表明，其维数是一致的。值得注意的是，当定义了与人口存量相关的人均变量时，等式（19）和等式（20）的维度一致性得到了保证。这些修改对模型有什么影响？要确定影响，必须解析模型。最优控制问题的求解采用了庞蒂亚金最大值原理的方法。这一原理建立了一组必要的条件，使得状态变量和控制变量的解轨迹可以被认为是最优的。

这些条件用一个函数表示，该函数被称为ontryagin哈密顿量。在新古典主义模型中，只有一个状态变量，即人均实物资本存量,  作为一个控制变量，即人均消费。为了更深入地了解该方法，建议审查Acemoglu（2009年，第227-275页）和Pedregal（2004年，第195-224页）。, 以及一个单一的约束函数，即资本积累方程，式（20）。因此，与模型相关的哈密顿量如下：    哪里  表示co状态变量。因为模型的目标函数明确取决于贴现因子导致的时间,  必须使用自治哈密顿量（也称为当前时间）的定义，将模型转换为自治优化问题：同样，co状态变量在当前时间定义为：因此，通过重写等式（22）：   对于状态变量的轨迹 和控制 为了达到最优并满足约束方程，当前时间的哈密顿量必须满足以下条件：       coestate变量被解释为股本的影子价格。换言之，它是单位资本在效用方面的价值。

因此，该变量的尺寸为：.见Acemoglu（2009年，第235页）。方程（25-27）构成了微分方程组，其解将决定消费和人均实物资本的最优解。在继续求解模型之前，分析了先前方程的尺寸：  哈密顿量和方程（25-27）的量纲分析结果表明，这些方程在量纲上是一致的。通过求解方程组（25-27），可按以下方式重写：       然后，为了获得仅由两个微分方程组成的系统，当将等式（28）引入其他两个关系式（29-30）中时，将其删除。因此，得出了人均消费的动力学方程：    其中术语表示效用函数的边际弹性。方程（30）中还明确引入了柯布-道格拉斯函数，以充分表达资本的动态方程：   式（31）和式（32）确定了修正后新古典模型最优控制问题的最优消费轨迹和物理资本人均轨迹。修正模型的等维性通过公式（31）和公式（3）的分析得到证实。

(32):    对模型的动力学特性进行彻底分析，并提出修正，这超出了本文的范围。然而，可以说，分析最优轨迹（公式（31）和公式（32））的最合适方法是通过相空间分析，因为这种分析允许以全局方式可视化轨道的动态行为，以及系统平衡点的稳定性分析，提供了动力学的基本特征。在最后一节中进行的分析表明，只要对收入公式（7）和收益公式（8）所做的修改被接受，新古典主义模型就符合维度同质性原则。同样，在人口存量方面引入percapita变量也是一项必要的要求，因为否则该模型将无法通过将人均资本汇率与生产函数正确关联而符合同质性原则。应该认为弹性系数是无量纲数，在这种情况下，效用边际弹性的量纲可以通过一点代数快速验证： .见Barro&Sala-i-Martin（2009）或Shone（2002）。修正后的新古典模型（等维）的理论含义尚未得到充分探讨，也没有与原始模型的结果进行比较。