广义信息比

在绩效评估中，应首先尝试这些方法，以获得良好的模型；一个好的模型的重要性已经在我们的仿真结果中得到了证明。然而，sinceno模型是完美的，管理者可能会以任何未确定的形式进行协同变化或博弈，在仔细选择模型后，可以依靠无模型GIR度量来解释剩余相关性。如果模型确实明确规定，并声称捕获了所有投资风格和经理人协变量，这意味着由于抽样误差，任何剩余相关性都是随机的，那么就不应该观察任何系统模式，也不应该观察使用GIR优于IR或Alpha来衡量和排序基金池的好处。有足够的研究方向可以遵循。本文中的模拟是专门为限制某些因素而设计的，模拟结果是程式化的，因此可能无法反映真实的基金风格或实际绩效。GIR能够在多大程度上为真正的共同基金产生稳健的衡量和稳定的排名，这是一种自然的延伸。对于收益率显著偏离正态分布（即得出GIR所需的假设）的对冲基金和其他机构基金，GIR的表现仍然是一个开放的问题。最后，尽管GIR易于计算，但它对长期以来的基金回报率L相对于基金数量n有着严格的要求（即经验法则L 2n建议立即使用）。本文提倡增加采样频率，并使用weeklyreturns证明其有效性。然而，这种方法不适用于那些无法获得更高频率回报的基金。此外，当n大于L时，nn残差协方差矩阵的逆不存在。

鉴于这些应用中的测量困难，本文呼吁按照Lediot和Wolf（2003）以及Bai和Shi（2011）的思路重新审视经济计量工作，以准确估计高维协方差矩阵。参考Bai，J.和Shi，S.，2011年。“估计高维协方差矩阵及其应用”。《经济和金融年鉴》12（2），199-215。Berk，J.B.和Green，R.C.，2004年。理性市场中的共同基金流量和绩效。《政治经济杂志》1121269–1295。Busse，J.1999年。共同基金的波动时间：来自每日收益的证据。财务研究回顾121009–1041。Carhart，M.M.，1997年。共同基金业绩的持续性。《金融杂志》52，57-82。Chevalier J.和Ellison G.1999年。一些共同基金经理是否比其他人更好？行为和性能中的横截面模式。《金融杂志》54875-99。Cohen L、Frazzini A和Malloy C.2008年。投资的小世界：董事会关系和共同基金回报。《政治经济学杂志》116，951–79。Cohen R、Coval J和Pastor L.2005。根据基金经理所管理的公司来判断基金经理。《金融杂志》601057-96。Daniel，K，M.Grinblatt，S.Titman和R.Wermers，1997年，《用基于特征的基准衡量共同基金绩效》，金融杂志521035-1058。Deadman、Edvin、Nicholas J.Higham和Rui Ralha，2013，“计算矩阵平方根的阻塞Schur算法”，计算机科学讲稿，7782。第171-182页。Dawson，D.C.和B.V.，Landau，1982，《多元正态分布之间的Frechet距离》，多元分析杂志12450-455。Elton，E.、M.Gruber、C.Blake，2003，《激励费和共同基金》，金融杂志58（2），779–804。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French。1993

“股票和债券收益中的常见风险因素”，《金融经济学杂志》33，3–56。Fama，Eugene F.和Kenneth R.French，2015，五因素资产定价模型，金融经济学杂志116，1-22。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French，2016年，《用五因素模型剖析异常》，《金融研究评论》，第29卷（1），69-103。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French，2018，《选择因素》，即将出版的《金融经济学杂志》。Galichon，Alfred，2016，《经济学中的最优运输方法》，普林斯顿大学出版社。Galichon，Alfred，2017，《最优运输方法在计量经济学中的一些最新应用调查》，《计量经济学杂志》，doi:10.1111/ectj。12083Givens，Clark R.，和Shortt，Rae Michael，1984，概率分布的一类Wasserstein度量。密歇根数学。J、 31（2），231–240。Goetzmann W、Ingersoll J、Spiegel M和Welch I，2007，《投资组合绩效操纵和防操纵绩效衡量》，金融研究回顾201503–1546。Goodwin，T.H.，1998，《信息比率》，金融分析师杂志54（4），34–43。Gottesman A和Morey先生，2006年。经理教育和共同基金绩效。《经验金融杂志》13:145–82。Grinblatt，M.和Titman，S.，1989，《共同基金绩效：季度投资组合持有量分析》，商业杂志62394-415。Grinblatt，M.和Titman，S.，1994，《月度共同基金收益和绩效评估技术研究》，金融和定量分析杂志29419-444。Grinblatt M、Titman S和Wermers R.1995年。动量投资策略、投资组合绩效和羊群效应：共同基金行为研究。《美国经济评论》，85（10），88–105。Grinold，R.C.和Kahn，R。

N、 ，1992，信息分析，投资组合管理杂志18（3），14–21。Grinold，R.C.和Kahn，R.N.，1995年，伊利诺伊州芝加哥Richard D.Irwin，主动投资组合管理。侯克伟、陈雪和鲁章，2015，《消化异常：投资方法》，《金融研究评论》28650-705。侯克伟、陈雪和陆章，2016，《新因素模型的比较》，工作论文。Hunter、David、Eugene Kandel、Shmuel Kandel和Russ Wermers，2014，《利用活跃同行基准进行共同基金绩效评估》，金融经济学杂志112，1-29。Jones，C.S.和Shanken，J.，2005年。共同基金业绩与各基金的学习情况。《金融经济学杂志》78，507–552。Kosowski，R.、A.Timmermann、R.Wermers和H.White，2006年。共同基金“明星”真的能挑选股票吗？Bootstrap分析的新证据。《金融杂志》61（6），2551–2595。Kothari，S.P.和Warner，J.B.，2001，《共同基金绩效评估》，金融杂志，第56期，1985-2010年。Knott，M.和C.S.Smith，1984，关于分布的最优映射，优化理论及其应用杂志43，39-49。Ledoit，O.和Wolf，M.，2003年，《利用投资组合选择改进股票收益协方差矩阵的估计》，经验金融杂志10，603–621。MacKinlay，A.C.，1995，《多因素模型不能解释CAPM的偏差》，《金融经济学杂志》38，3-28。MacKinlay，A.C.和Lubos Pastor，2000，《资产定价模型：对预期收益和投资组合选择的影响》，《金融研究评论》13（4），883-916。默顿，R.C.，1980年。估计市场预期回报。《金融经济学杂志》8323–361。Modigliani，F.和Pogue，G.A.，1974年，《风险与回报导论–II》，金融分析师杂志30（3），69–86。Newey，W.D.和K.D。

West，1987，《简单、半正定异方差和自相关协方差矩阵》，计量经济学55703-708。Olkin，I.，和F.Pukelsheim，1982，给定色散矩阵的两个随机向量之间的距离，线性代数及其应用48，257-263。Pastor、Lubos和Robert F.Stambaugh，2002，《比较资产定价模型：投资视角》，《金融经济学杂志》56335-381。Pastor、Lubos和Robert F.Stambaugh，2002，《共同基金绩效和看似无关的资产》，金融经济学杂志63（3），315-349。Pastor、Lubos和Robert F.Stambaugh，2015，《积极管理中的规模和技能》，金融经济学杂志116，23-45。Sensoy，Berk A.，2009，《共同基金行业的绩效评估和自定基准指数》，金融经济学杂志92，25-39。William F.Sharpe，1992，《Sharpe比率》，投资组合管理杂志21（1），49-58。William F.Sharpe，1994，《资产配置：管理风格和绩效衡量》，投资组合管理杂志18（2），29-34。Treynor，J.L.和F.Black，1973，《如何使用安全分析改进投资组合选择》，商业杂志46，66-86。Villani，Cedric，2003，《优化运输主题》，数学讲稿，美国数学学会。Cedric Villani，2009，《最佳交通：新旧》，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften，338，Springer，Berlin。Wermers，Russ，2011，《共同基金、对冲基金和机构账户的绩效衡量》，《财经年鉴》3537-574。附录两个多元正态分布之间的距离给定两个正态分布随机向量~(,Σ) 和~(,Σ) 在Rn中，定义demenedrandom向量=- 和=-.

定义平方二次Wasserstein距离≡[||- ||]=|- |+ ||- ||.  为便于说明，表示| |∑- Σ||≡||- ||.  因此=|- |+ |Σ- Σ|                   （A.1）在高斯测度下，仍需说明的是Σ- Σ=Tr（∑）+ Σ- 2.Σ/ΣΣ//)               （A.2）对于增广随机向量(,) 在R2n中，用ψ表示其协方差矩阵=ΣΣ（A.3）然后Σ- Σ=Tr（∑）+ Σ- 2.), 以及Σ- Σ就是找到C=因此 和 a最大相关，受ψ是正定协方差矩阵的约束。因此，优化问题变得2.()                         （A.4）s.t.∑- Σ>0（A.5），其中（A.5）是Schur补码约束。根据（A.5）对（A.4）进行求解，得到（A.2）。Dowson和Landau（1982）以及Givens和Shortt（1984）给出了详细的证明，其中Wd也被称为Frechet距离。（A.2）也可以从最佳运输图中得出（Knott和Smith，1984；Olkin和Pukelsheim，1982）。检查最佳运输计划图(,Σ) 到,Σ,  对于零均值随机向量~(0,Σ), 允许=, 其中，最佳映射矩阵由下式给出=Σ/Σ/ΣΣ//Σ/（A.6）给定= （A.6）我们有==ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ=ΣΣΣΣΣΣΣΣ=ΣΣΣΣΣ=Σ（A.7）在单变量情况下，其中∑=和∑=是定标器，最优映射矩阵简化为定标器=()/=/.

然后=( )很容易验证。检查一下确实是最佳的，我们有||- ||=||||+ ||||- 2.,=Σ+ Σ- 2.,T=Σ+ Σ-2.ΣT=Σ+ Σ- 2. ΣΣΣ=(Σ+ Σ- 2.ΣΣΣ)（A.8）倒数第二个等式由跟踪运算符的循环特性决定。还可以导出反向最优传输映射。允许=, 其中，最佳映射矩阵如下所示：=Σ/Σ/ΣΣ//Σ/. 很容易验证=.图1：。不同模型下三个绩效指标的距离指标（基金数量n=200，评估期长度L=360个月）此图描述了错误指定模型和真实模型之间三个绩效指标（*，IR和GIR）随时间的距离指标。图1中的CAPM（MKT）是四个错误指定的模型（因子）。a、 图1中的FF3（MKT SMB HML）。b、 图1中的Carhart4（MKT SMB HML UMD）。c、 图1中的FF5（MKT SMB HML RMW CMA）。d、 真正的型号是FF6（MKT SMB HML RMW CMA UMD）。从1963:07开始的每个月，从346只Fama French characteristics分类投资组合中随机选择200只基金，其中包括15只10单变量，425双变量-，332个三重分类Portfolios。选定的基金持有360个月，由*、IR和GIR在期末进行绩效评估。在滚动窗口的基础上进行模拟，直到评估期的最后一个月达到2016:12（样本结束），在每个图中为*、IR和GIR创建282个重叠的距离度量时间序列观测值。

所有数据均来自法国数据库。距离度量定义为欧几里德2-范数| |∑ - Φ|| （即和平方差的平方根），其中a是字母，  和  是残差协方差矩阵，分别由错误指定的模型和真实模型生成。为了计算距离度量，GIR使用 和, 和∑和Φ对称正有限平方根  和, 分别地IR在中仅使用对角线信息 和  （即∑）和Φa异方差对角矩阵）；对于*，和∑和Φ是同余对角矩阵，其元素设置为等于其各自的横截面平均值。表1：。一个示例：五个动量组合此表显示了在两个基准模型（因子）下使用归一化alpha*、IR和GIRmeasures对五个动量组合进行绩效评估的结果：FF3（MKT SMB HML）和Carhart4（MKT SMB HML UMDo），其中UMDOI与FF3的三个因子正交。专家组A报告了1963:07至2016:12期间时间序列回归的系数（t统计）和Rs。面板B显示残余协方差矩阵( 和) 和最优映射或缩放矩阵（∑）/和Φ/) 在每个模型下。面板C显示了每个投资组合的三个绩效指标的值、FF3和Carhart4之间的绩效指标差异以及每个指标的两个模型之间的距离指标。根据FF3，三个绩效指标定义为：=Σ/, =D/,  *=/, 其中∑是一个对称正定矩阵，作为, D仅使用∑的对角线元素，和是残差标准误差的横截面平均值。

距离度量是欧几里德2-范数|||| （即和平方差的平方根）。