养老金计划的随机模型

极限x（t）=limN的存在性→∞如果a（x，t）和b（x，t）是x中的一致Lipschitz连续函数，则xN（t）由以下定理定理1（Skorokhd[36]）保证∈ R、 t型∈ [t，t]，则极限x（t）Pr=limN→∞xN（t）（概率收敛）存在，是（32）的解。pdf的收敛性由定理2（[32]）保证，（33）的解xN（t，ω）的pdf pN（x，t | x）收敛于asN→ ∞ 到FPE的溶液p（x，t | x）p（y，t | x，st型=[b（y，t）p（y，t | x，s）]y- [a（y，t）p（y，t | x，s）]Y初始条件限制↓ sp（y，t | x，s）=δ（y- x） 。我们通过对Xn（t）的500条基本轨迹xi（t）进行平均，为0，构造了10000条Xn（t）的轨迹≤ t型≤ 600个月。轨迹xi（t）由schemexi（t）=xi（t）构成- 1） +φxi（t- 1） ·N（0，1），对于1≤ t型≤ 600，xi（0）=1。对数正态分布的质量如【1】所示。2.4工资随机模型我们假设成员i在时间t之前的工资增长si（t）由SDEdsi（t）=a（si，t）dt+b（si，t）dwi（t），si（t）=1，（34）控制，其中wi（t）是独立的MBM。2.4.1漂移和扩散系数的离散近似方案我们通过（34）的连续轨迹近似年度CPI调整工资向量的离散轨迹。我们用S（τ，x）表示在τ时间序列中相对于初始值乘以x的所有个体的集合。第j个人的工资增长过程轨迹用xj（t）表示。近似SDE（34）的系数由经验平均值（13）确定。工资模型的构建数据（13）取自收入动态数据库的面板研究【37】。PSID是自1968年以来对美国个人和家庭的代表性样本进行的纵向调查。

不断收集个人及其后代的信息，包括就业、收入、财富、支出、健康、婚姻、生育、儿童发展、慈善、教育和许多其他主题的数据。出于养老金目的，我们对个人养老金计划缴款感兴趣。不幸的是，PSIDdatabase不能提供完整的跨年度个人养老金缴款时间序列，因此我们使用从劳动中赚取的总工资，并假设缴款比率。此外，由于数据的不连续性和稀疏性，奖金、独立业务、二级专业实践、佣金、小费和其他来源的收入未纳入其中。建造的轨迹跨越1970年至1992年这一时期。总共考虑了58807人，其中只有3669人在1970年开始工作。图5（第21页）给出了每年开始工作的人数。使用劳工统计局的历史CPI值，将所有工资数据调整为生活成本。对于高噪声波动率估计，最大波动率值的3%被忽略为异常值，最高工资增长率的5%也被忽略（25000%的增长率等）。1965年1970年1975年1985年1990年1995050015002000250030000350040004500人加入劳动力的人数图5：按年份统计的PSID调查的加入劳动力的人数。工资模型的漂移系数和差异系数如第2.2.2节所述计算。具体而言[1]，dsi（t）=ξsi（t）dt+ηsi（t）dwi（t），si（ti）=1，（35）带ξ（t）≡ -0.0328，η（t）≡r、 （36）2.5养老基金随机模型的构建在我们的养老计划模型中，养老基金的资产投资于股票市场指数，如标准普尔500指数。

该指数的价值是其组成部分股票价格的市场资本化加权平均值。我们使用以下定义：ovi（t）=截至时间t，基金应付给成员i的金额的增长。oTi={Ti<Ti<…<tin=t}=与第i个成员对养老基金的缴款相对应的间隔[Ti，t]的均分。oci（t）=∧si（t）=总供款（雇主和雇员）是工资的∧的恒定分数（约10%）。oαi=会员的第一份工资（美元）。通过以下观察，我们将近似投资组合回报的模型Zn（t）合并到vi（t）方程的推导中。对于每0≤ j≤ n、 tijis时的分摊美元金额由αici（tij）给出，其中该金额的升值由tij通过Tinj合成，由Zn（tin）/Zn（tij）给出。因此，养老金总金额中归属于第j次供款的部分由αici（tij）Zn（t）Zn（tij）（37）给出，养老金总增长中归属于第j次供款的部分由（37）除以αi得出。因此，养老基金从时间ti0到时间t的总增长由vi（t）=Xτ给出∈Tici（τ）Zn（t）Zn（τ）=Zn（t）Xτ∈Tici（τ）Zn（τ）。（38）通过将（38）表示为Riemann-sumvi（t）=Zn（t）得到vi（t）的连续模型tnXj=1ci（jt） Zn（jt）t（39）式中t=（tij- tij公司-1） 是连续工资之间经过的固定时间。基于PSID数据库，t=1年。我们把vi（t）写成积分形式vi（t）=Zn（t）tZtici（u）Zn（u）du, （40）以美元支付给成员i的绝对金额现在可以表示为vi（t）=αivi（t）。（41）我们通过微分（40）获得vi（t）的SDE，并应用链式规则DVI（t）=dZn（t）tZtici（u）Zn（u）du+ 锌（t）ci（t）Zn（t）dt.

（42）将（23）、ci（t）=∧si（t）和（40）代入（43），我们得到了SDEdvi（t）=[ψ（t）vi（t）+∧si（t）]dt+Φ（t）vi（t）dW（t）。（43）系统（35），（43）的解（si（t），vi（t））的联合概率密度函数p（v，s，t）的福克-普朗克方程如下所示：pt=-v[（ψv+λs）p]-s（ξsp）+sηsp+vΦ（t）vp. （44）2.6养老金的概率密度函数Vi（t）的概率分布函数是指在t时个人i可支付的养老金超过y美元的概率。计算时，Pr（Vi（t）>y）=Pr（Vi（t）>yαti）=1- Pr（vi（t）≤yαti），（45）我们从FPE（44）计算过程vi（t）和si（t）的联合跃迁概率密度函数p（v，s，t | v，s，ti），初始条件p（v，s，ti | v，s，ti）=δ（v- v、 s- s） ，（46）其中v=s=1.2.6.1边界条件随机过程si（t）始终为正，因为它是高斯过程的指数。此外，随机过程vi（t）总是正的，因为它是一个对数正态过程与两个对数正态过程之比的乘积之和。因此，接合密度不能包含边界上的任何质量，且thusp（v，0，t）=p（0，s，t）=0。（47）由于随机过程无法达到v=0和s=0的边界，因此条件（47）是通过数值设定的。网格的遥远边界描述了市场/工资在给定时间内达到前所未有水平的可能性。因为在这些级别上没有数据，所以在遥远的边界v=Nv，s=Ns处，FPE的零条件是，网格覆盖角G={0<v<Nv，0<s<Ns}。边界G是模型的一部分，与数据一致。因此，我们设置（v，s，t）G=0。

（48）2.6.2初始条件我们近似δ（v- v、 s-s） 通过具有小标准偏差的多元正态分布进行数值计算，并将pj设置为协方差矩阵为∑的多元高斯分布=σv0σs,h类m NvNsNvNsNvh Nsm（51）0.025 0.2 720 25 1440 50 18 5 1.0805·10-172表2：网格大小、域大小和错误。式中σv，σs 平均u=（v，s）T=（1，1）T。对于每个v=（v，s）T∈ Rpj，l=2πpdet（σ）exp-（五）- u）T∑-1（v- u)==2πσvσsexp-（五）- 1） 2σv-（s）- 1） 2σs. （49）我们用步骤离散Ron a（t，v，s）网格(kh、，m） 缩写P（vj，sl，tn）=pnj，l，表示j，l，n≥ 0，（50），其中vj=jh，sl=lm和tn=nk、 初始密度由^pj归一化，l=pj，l/RRpj，lto确保归一化r∞-∞R∞-∞p（v，s，0）ds dv=1。零条件的位置对不消失域中的解的影响可以忽略不计。将网格边界从（Nv，Ns）扩展到（Nv，Ns），Nv>Nv，Ns>N会导致与边界对应的有限差分模式的线性方程发生变化。在隐式方法方案（见下文）下，误差过滤域内部的系数取决于m，手k、 因此，如果我们证明NVZNSZPJ，ldsdv-NvZNsZpj，ldsdv（51）可以忽略不计，然后通过上述论证，我们得出结论，溶液中的变化可以忽略不计。有几种数值方法可以近似正常CDF【40】、【41】、【42】。我们对扩展到36×10的18×5网格进行了数值计算（51）。下面的附录1给出了计算的数值分析。表2.2.6.3结果总结了数值精度。采用有限差分法（FDM）构造了FPE初边值问题的数值解。

我们使用稳定的隐式BTCS（一阶后向时间中心空间）[38]方法来近似t>t时G中的p（v，s，t）。养老基金规模为y的概率等于基金增长率等于y和初始工资α的比例的概率。这个比率是问题的无量纲参数。下表显示了目标养老金规模的概率初始工资储蓄期隐含年回报概率3.11 25年1.64%65.40%3.33 25年2.15%54.40%3.55 25年2.61%45.17%4.00 25年3.60%28.27%4.44 25年4.17%16.16%5.00 25年4.98%7.37%5.83 25年6.02%1.72%6.67 25年6.90%0.34%表3：25年储蓄的养老金规模概率。假设10%的工资贡献，不同的比率。我们认为，初始工资为α，储蓄年限为t年的目标养老金y具有隐含的年回报率r，ifPti=1α（1+r）i=y。图6给出了t=25时的联合密度函数p（v，s，t）的三维图，图8给出了t=50时的联合密度函数p（v，s，t）（第26页）。2.7养老金消费的随机模型我们考虑养老金消费过程Vi（t），即个人退休后的剩余美元-tyears，这里是退休时间，β是一个恒定的年度美元消费率。假设Ti={Ti<Ti<…<tin=t}是成员i退休的等距年份。Vi（t）的初始条件由Vi（t）=Vr给出，其中Vis为个人在工作期间累积的养老金。退休后工资停止。

我们通过改变Zn的初始条件，合并了近似投资组合回报模型，推导出了▄Vi（t）的方程，从而得到了一个新的过程▄Zn（t），d▄Zn（t）=ψ（t）▄Zn（t）dt+Φ（t）▄Zn（t）dW（t），对于t>ti，▄Zn（ti）=Zr（52），并进行以下观察；每0<j≤ n、 ~Vi（tij）的值增加了~Zn（tij）/~Zn（tij-1） ，相对于上一年Vi（tij-1） ，而β-依多拉被消耗。目标养老金规模初始工资储蓄期隐含年回报概率5.00 40年1.05%59.38%6.50 40年2.23%54.51%7.00 40年2.55%49.17%7.50 40年2.85%41.77%9.50 40年3.83%21.69%11.00 40年4.43%14.86%15.00 40年5.65%1.07%表4：40年储蓄的养老金规模概率。0123450510152001234567x 10-t=25年的3vp（v、s、t）s0123450510152002468x 10-t=25年的3sp（v，s，t）图6：25年的联合pdf p（v，s，t）。v轴上的栅格有720个点，间距为0.03，s轴上的栅格有25个点，间距为0.2。t=0.1因此，通过递归关系▄Vi（tij）=▄Vi（tij）给出▄Vi（tij）的值-1） Zn（tij）Zn（tij-1)- βi，对于0<j≤ n、 Vi（ti）=Vr0 2 4 6 8 10 12 14 16 1800.511.522.533.5x 10-t=50年的3vp（v，s，t）0 1 2 3 4 500.511.522.533.5x 10-t=50年的3p（v，s，t）图7：50年的联合pdf p（v，s，t）。（左）投影在v轴上的p（v、s、t）。（右）投影在s轴上的p（v、s、t）。0 5 10 15 2001234567x 10-t=25年的3 VP（v、s、t）0 1 2 3 501234567x 10-t=25年的3p（v，s，t）图8：25年的联合pdf p（v，s，t）。（左）投影在v轴上的p（v、s、t）。（右）p（v，s，t）投影在s轴上并以其闭合形式，~Vi（t）=Vr▄Zn（t）Zr- βnXj=1▄Zn（t）▄Zn（tij）=▄Zn（t）VrZr- βnXj=1Zn（tij）！。

（53）01234505101500.511.522.533.5x 10-t=50年的3vp（v、s、t）s02405101500.511.522.533.5x 10-3svp（v，s，t）表示t=50年图9：联合pdf p（v，s，t）表示50年。v轴上的栅格有720个点，间距为0.03，s轴上的栅格有25个点，间距为0.2。t=0.1通过将（53）表示为Riemann和▄Vi（t）=▄Zn（t）VrZr，获得▄Vi（t）的连续模型-βitnXj=1tZn（ti+jt） ！，（54）其中t=（tij-tij公司-1） =1是连续时间段之间经过的恒定时间（时间以年为单位）。该过程▄Vi（t）近似于积分▄Vi（t）=▄Zn（t）VrZr公司- βitZtiduZn（u）. （55）我们对（55）进行微分，以获得SDEdVi（t）=dZn（t）VrZr公司- βitZtiduZn（u）+锌（t）dVrZr公司- βitZtiduZn（u）=dZn（t）VrZr公司- βitZtiduZn（u）+锌（t）-βidtZn（t）. （56）现在，使用（56）中的（52）和（55），我们得到了非齐次线性SDEd▄Vi（t）=hψ（t）▄Vi（t）- βiidt+Φ（t）~Vi（t）dW（t），~Vi（ti）=Vr。（57）式（57）的解由（9）给出，其减少到▄Vi（t）=H（t）1.- βitZtidsH（s）, 对于t>ti，Vi（ti）=Vr，（58），其中H（t）=VreftZti公司ψ（s）-Φ（s）ds+tZtiΦ（s）dW（s）.我们从（58）中得出结论，对于t>ti，Vi（t）=0，因此tztidsh（s）=βi。（57）解的pdf的福克-普朗克方程如下所示： pt=-~v[（ψ）~v- βi）~p]+Φ（t）vv  p（59）对于t>ti，v>0，其中▄p=▄p（▄v，t▄Vr，ti）是▄Vi（t）的转移概率密度函数，初始条件为→ti▄p（▄v，t▄Vr，ti）=δ（▄v- Vr）。